李海玉

在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中，特別是指數(shù)、對(duì)數(shù)同構(gòu)思想有著廣泛的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)變換的核心是[elnx=x=lnex]，利用這個(gè)恒等式，可以統(tǒng)一函數(shù)的結(jié)構(gòu)，從而找到相應(yīng)的函數(shù)模型，下面以2022年高考甲卷理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題為例說(shuō)明利用同構(gòu)法求解的妙處。

原題呈現(xiàn)：

已知函數(shù)[f（x）=exx-lnx+x-a]

（1）若[f（x）≥0，]求[a]的取值范圍；

（2）證明：若[f（x）]有兩個(gè)零點(diǎn)[x1，x2，]則[x1?x2<1]

解：對(duì)于第一問(wèn)，[f（x）=exx-lnx+x-a（x>0）]，[f（x）=ex（x-1）x2-1x+1=（ex+x）（x-1）x2]

令[f（x）=0，]解得[x=1]，所以當(dāng)[0

當(dāng)[x>1]時(shí)，[f（x）>0，∴f（x）]單調(diào)遞增；[∴f（x）min=f（1）=e+1-a]，要使得[∴f（x）≥0]恒成立，即滿足：[∴f（x）min=f（1）=e+1-a≥0]，即[a≤e+1]，所以[a]得取值范圍是[e+1，+∞]。

對(duì)于第二問(wèn)，方法很多，本文主要介紹同構(gòu)的解法

法一：同構(gòu)+對(duì)數(shù)均值不等式

（2）由題知[ex1x1-lnx1+x1-a=0ex2x2-lnx2+x2-a=0]，所以[ex1x1-lnx1+x1=ex2x2-lnx2+x2]，

即[e x1-lnx1+x1-lnx1=e x2-lnx2+x2-lnx2]，構(gòu)函數(shù)[g（x）=ex+x]，則[g（x1-lnx1）=g（x2-lnx2）]，顯然[g（x）=ex+x]在[0，+∞]上單增，所以[x1-lnx1=x2-lnx2]，即[lnx1-lnx2x1-x2=1]，

由對(duì)數(shù)均值不等式可得[x1x2

（法二：偏對(duì)稱構(gòu)造+同構(gòu)）由（1）可知，[0f（1x2）]

因?yàn)閇f（x1）=f（x2）]即只用證[f（x2）>f（1x2）]

構(gòu)造函數(shù)[F（x）=f（x）-f（1x）][=exx-lnx+x-e1x1x+ln1x-1x]，下證[F（x）>0]

即證[exelnx+x-lnx>e1xeln1x+1x-ln1x]

即證[ex-lnx+x-lnx>e1x-ln1x+1x-ln1x]，構(gòu)造函數(shù)[g（t）=et+t]，而[g（t）=et+t]是定義上的單調(diào)遞增函數(shù)，

只用證：[g（x-lnx）>g（1x-ln1x）]

即證明：[x-lnx>1x-ln1x]

下證：[h（x）=x-lnx-1x+ln1x>0]，因?yàn)閇h（x）=1-2x+1x2=x2-2x+1x2=（x-1）2x2>0]，所以[h（x）]在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增，[h（x）min>h（1）=1-ln1-11+ln11=0]，即[x-lnx>1x-ln1x]

所以[x1x2<1].

（法三：偏對(duì)稱構(gòu)造+同構(gòu)）由（1）可知，[0f（1x2）]

因?yàn)閇f（x1）=f（x2）]即只用證[f（x2）>f（1x2）]

構(gòu)造函數(shù)[F（x）=f（x）-f（1x）][=exx-lnx+x-e1x1x+ln1x-1x]，下證[F（x）>0]

即證[exx+lnex-lnx>e1x1x+lne1x-ln1x]

即證[exx+ln（exx）>e1x1x+ln（e1x1x）]，構(gòu)造函數(shù)[g（t）=lnt+t]，而[g（t）=lnt+t]是[（1，+∞）]的單調(diào)遞增函數(shù)，

只用證：[g（exx）>g（e1x1x）]

即證明： [exx>e1x1x]，即證明：[ln（exx）>ln（e1x1x）]，即[x-lnx>1x-ln1x]下面證法同法二（略）。

同構(gòu)法是學(xué)習(xí)和求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種常見(jiàn)思維方法，用同構(gòu)法解決問(wèn)題的一般過(guò)程是：分析變形——生成同構(gòu)——構(gòu)造函數(shù)——利用模型的性質(zhì)解題。在運(yùn)用同構(gòu)法解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們要注意觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，挖掘隱含的函數(shù)共性，然后借助“共性”構(gòu)造函數(shù)模型，最后利用數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)解決問(wèn)題。