劉巧蓮，孫肖麗，孫 敏

(棗莊學(xué)院 a.信息科學(xué)與工程學(xué)院；b.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 棗莊 277160)

0 引言

方程是數(shù)學(xué)學(xué)科一個(gè)重要研究對(duì)象，其可以描述科學(xué)領(lǐng)域的許多問(wèn)題，如測(cè)量學(xué)中的勾股定理、量子力學(xué)中的薛定諤方程、金融學(xué)中的布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式等。另外，還有很多問(wèn)題可以通過(guò)等價(jià)變形轉(zhuǎn)化成方程形式，如可微約束優(yōu)化問(wèn)題的一階必要條件是一個(gè)變分不等式，而該不等式可以通過(guò)投影算子轉(zhuǎn)化成一個(gè)非線性方程[1]。因此，學(xué)者們對(duì)各類(lèi)方程的解析解與數(shù)值解進(jìn)行了深入的研究，與方程相關(guān)的研究成果浩如煙海。

本文考慮一類(lèi)代數(shù)方程，即時(shí)變非線性方程。與微分方程類(lèi)似，時(shí)變非線性方程中也含有時(shí)間參數(shù)t。二者的不同之處在于，微分方程描述的是一個(gè)變量隨時(shí)間變化所滿足的規(guī)律或定律，比如描述放射性元素鐳衰變的微分方程

M′(t)=-KM(t)，K>0，

其中M(t)表示時(shí)刻t鐳的留存量。該方程是“鐳的衰變速度與留存量成正比”這一規(guī)律的數(shù)學(xué)描述或建模。而時(shí)變非線性方程(time-varying nonlinear equation，TVNE)具有如下數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：求x(t)∈Rn滿足

F(x，t)=0，t∈[0，tf]，

其中映射F：Rn+1→Rn關(guān)于變量x，t可導(dǎo)，tf>0表示所研究對(duì)象的最終時(shí)間節(jié)點(diǎn)。在每個(gè)固定時(shí)刻，TVNE退化成一個(gè)代數(shù)方程，因此可以將TVNE看成一個(gè)代數(shù)方程流。TVNE可以描述很多的實(shí)際問(wèn)題，比如在冗余機(jī)械臂路徑規(guī)劃中，在一個(gè)規(guī)劃周期內(nèi)，希望每個(gè)時(shí)刻點(diǎn)機(jī)械臂末端執(zhí)行器與目標(biāo)路徑都是一致的，因而可以將該問(wèn)題描述成一個(gè)時(shí)變非線性方程[2]。

零化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(zeroing neural network，ZNN)是解決各種時(shí)變問(wèn)題的基準(zhǔn)求解器[3-4]，其可分為兩類(lèi)：(1)連續(xù)時(shí)間ZNN，往往是一個(gè)微分方程；(2)離散時(shí)間ZNN，往往是一個(gè)差分方程。相比于連續(xù)時(shí)間ZNN，離散時(shí)間ZNN在結(jié)構(gòu)上更簡(jiǎn)單，操作更方便，應(yīng)用更靈活。目前，對(duì)離散時(shí)間ZNN的研究主要是基于一步前向差商(分)的顯式線性(單)多步長(zhǎng)方法，如Euler格式、Adams格式等。2019年，Sun等[5-6]研究了離散時(shí)間ZNN，先后提出了一種通用的兩步到六步的離散時(shí)間ZNN。比如，文獻(xiàn)[6]借助于Routh穩(wěn)定性分析理論，給出了一般六步離散連續(xù)時(shí)間ZNN，并給出了精確描述其自由參數(shù)值的范圍；借助于Jury穩(wěn)定性理論，給出了步長(zhǎng)的精確范圍。傳統(tǒng)的ZNN在無(wú)噪聲環(huán)境下是有效的，然而在現(xiàn)實(shí)生活中噪聲是一種常見(jiàn)的現(xiàn)象，信息采集系統(tǒng)采集的數(shù)據(jù)往往受到各種噪聲的污染。JIN等[7]設(shè)計(jì)了一個(gè)帶積分項(xiàng)的ZNN公式，用于解決具有加性常數(shù)噪聲的實(shí)時(shí)變矩陣求逆問(wèn)題。ZNN公式可以看作是一種比例積分微分控制律，即控制理論中的PID控制。與以往經(jīng)典的零化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(實(shí)際上是PD控制)相比，該模型對(duì)噪聲的敏感性大大降低，因此積分項(xiàng)的引入增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。在線性噪聲和任意有界噪聲下，文獻(xiàn)[7]證明了所提ZNN的殘差有上界，且上界與模型的設(shè)計(jì)參數(shù)成反比。

1 連續(xù)時(shí)間ZNN

文章將F(x，t)簡(jiǎn)記為F，類(lèi)似將偏導(dǎo)數(shù)F1(x，t)、F2(x，t)、F11(x，t)、F12(x，t)、F22(x，t)簡(jiǎn)記為F1、F2、F11、F12、F22。

為了獲取具有更高階截?cái)嗾`差的算法，考慮如下的二階微分方程：

e"(t)=-γe(t)-λe′(t)，

(1)

式中：γ>0，λ>0是設(shè)計(jì)參數(shù)。在式(1)中，令e(t)=F(x，t)，得

(2)

令x1(t)=x(t)，x2(t)=x′(t)，則得到一個(gè)新的連續(xù)時(shí)間ZNN

(3)

假設(shè)1二階微分方程(1)中的參數(shù)γ，λ使得二次多項(xiàng)式s2+λs+γ=0的兩個(gè)根全在左半平面。

定理1連續(xù)時(shí)間ZNN(3)產(chǎn)生的殘量誤差F(x，t)收斂于0。

證明根據(jù)上面的分析，式(3)等價(jià)于式(1)。顯然式(1)可以分解成

(4)

在(4)式兩端做拉普拉斯變換得

式中：εi(s)是ei(t)的象函數(shù)。對(duì)上式整理得

根據(jù)假設(shè)1，上式右端的傳遞函數(shù)的兩個(gè)極點(diǎn)都位于左半平面，因此二階系統(tǒng)(4)是穩(wěn)定的并且終止定理成立，于是有

因此命題成立。

2 離散時(shí)間ZNN

令tk=kτ，其中τ>0是采樣周期。將e(tk)簡(jiǎn)記為ek。下面利用具有二階截?cái)嗾`差的中心差商來(lái)近似導(dǎo)數(shù)[7]

則有

將上面的中心差商代入(1)式得

整理得

(5)

H(z)=(2+λτ)z2+(-4+2γτ2)z+(2-λτ)。

(6)

γ>0，4-γτ2>0，λτ>0.

(7)

證明根據(jù)Jury穩(wěn)定判據(jù)，只需要保證特征方程(6)的根全落在單位圓內(nèi)即可。于是根據(jù)Jury穩(wěn)定表格，只需要保證

式中：ai是(6)式中zi(i=0，1，2)的系數(shù)。對(duì)上面的不等式整理得本命題的結(jié)論。

注1滿足不等式組(7)的參數(shù)是存在的，比如γ=λ=1，τ=0.1。

下面中心差商公式應(yīng)用到(2)式，得到如下的離散時(shí)間ZNN

(8)

注2當(dāng)F11，k≠0時(shí)，公式(8)是一個(gè)非線性差分方程，其求解難度較大。當(dāng)(1)是一個(gè)時(shí)變線性方程組時(shí)，有F11，k=0，此時(shí)可以比較方便的使用式(8)。

下面利用具有四階截?cái)嗾`差的中心差商來(lái)近似導(dǎo)數(shù)[7]

則有

將上面的中心差商代入(1)式得

整理得

(9)

H(z)=(1+λτ)z4-(16+8λτ)z3+(30-12γτ2)z2-(16-8λτ)z+(1-λτ)。

(10)

為了避免(8)式的隱式結(jié)構(gòu)，再考慮利用兩步前向差商來(lái)離散化(2)式。

引理1令兩步前向差商

(11)

證明考慮如下的泰勒展開(kāi)式

于是有

因此命題成立。

將一步前向差商與兩步前向差商(11)代入連續(xù)時(shí)間ZNN(2)得

整理得

(12)

H(z)=z2+(-2+λτ)z+(1+2γτ2-λτ)。

(13)

γ>0，γτ2-λτ+2>0，λ>2γτ.

(14)

證明利用與定理2一樣的證明過(guò)程可以得到本命題的結(jié)論。

注3滿足式(14)的參數(shù)是存在的，比如γ=λ=1，τ=0.1。

下面將兩步前向差商公式(11)應(yīng)用到(2)式，得到如下的離散時(shí)間ZNN

整理可得

(15)

注4利用上面的設(shè)計(jì)思路，可以設(shè)計(jì)更多的離散時(shí)間ZNN。

注5離散時(shí)間ZNN(15)中的F11，k(xk+1-xk)2涉及張量運(yùn)算，其具體的計(jì)算方法可以參考文獻(xiàn)[9]。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

問(wèn)題1考慮時(shí)變非線性超越方程問(wèn)題

F(x，t)=2x+sinx-t，t∈[0，10].

圖1 CTZNN求解問(wèn)題1的結(jié)果

由圖1可以看出，CTZNN比較好的解決了這個(gè)時(shí)變非線性超越方程，最終的誤差穩(wěn)定在10-5。

問(wèn)題2考慮時(shí)變線性方程組問(wèn)題

根據(jù)前面的分析，式(8)(記為DTZNN(8))可以求解這個(gè)問(wèn)題，參數(shù)γ=λ=1，τ=0.01，兩個(gè)初始值取為x0=[-1，0]T，x1=[-1，0.02]T，求解的結(jié)果顯示在圖2中，其中縱坐標(biāo)表示誤差，定義是

圖2 DTZNN(8)求解問(wèn)題2的結(jié)果

(Error)k=Fk。

由圖2可以看出，DTZNN(8)比較成功的解決了這個(gè)時(shí)變線性方程組問(wèn)題，在前10s內(nèi)，誤差一直在呈現(xiàn)周期性的下降趨勢(shì)，第10s時(shí)的誤差在10-4數(shù)量級(jí)。

問(wèn)題3考慮時(shí)變非線性方程組問(wèn)題

根據(jù)前面的分析，式(15)(記為DTZNN(15))可以求解這個(gè)問(wèn)題，參數(shù)γ=λ=1，τ=0.01，兩個(gè)初始值取為x0=[0，0]T，x1=[0.01，0.01]T，求解的結(jié)果顯示在圖3中。

圖3 DTZNN(15)求解問(wèn)題3的結(jié)果

由圖3可以看出，DTZNN(15)比較成功的解決了這個(gè)時(shí)變非線性方程組問(wèn)題，在前10s內(nèi)，誤差幾乎一直在呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，第10s時(shí)的誤差在10-3數(shù)量級(jí)。