沈 程 (浙江省杭州市拱宸中學(xué) 310015)

數(shù)學(xué)建模問題貼近于生活,不拘泥于數(shù)學(xué)工具,需要學(xué)生用自主思考能力去鉆研、去摸索,探尋解決問題的方法,得出相關(guān)結(jié)論后從而驗證結(jié)論的對與錯?？梢?數(shù)學(xué)建模思想成為新課程改革背景下實施素質(zhì)教育的有效途徑,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力成為廣大初中數(shù)學(xué)教師追求的目標(biāo),而打造“模力”課堂不僅能提高教學(xué)效率和教學(xué)成果,還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,幫助學(xué)生運用所學(xué)去解決實際問題。

一、數(shù)學(xué)建模的概述

數(shù)學(xué)建模是指利用數(shù)學(xué)語言,通過建立數(shù)學(xué)參數(shù)和變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,將抽象的問題具體化、形象化,從而更直接、簡便地解決實際問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)建模是一項創(chuàng)造性的活動,需要建模者擁有豐富的想象力,將抽象的問題與數(shù)學(xué)模型巧妙地聯(lián)系起來;需要建模者擁有空間想象能力,將現(xiàn)實的空間問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題;更需要建模者具備較強的數(shù)學(xué)知識,將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題靈活解決。

對于一線教師而言,初中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點是在學(xué)生已掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上,教會學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的思想和方法。課堂案例設(shè)計源于生活,使學(xué)生能靈活地運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題,使課堂學(xué)習(xí)更具活力,更具有“模力”。(見下圖)

數(shù)學(xué)模型的關(guān)系圖

二、打造“模力”課堂的意義

1.加強數(shù)學(xué)建模教學(xué),開發(fā)學(xué)生智力

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性,解決數(shù)學(xué)問題要求學(xué)生具有較強的邏輯思維能力。而初中數(shù)學(xué)對學(xué)生計算能力要求較高,各類題型都需要多種方式的計算,函數(shù)、公式、畫圖等解題方式給學(xué)生創(chuàng)造了充分發(fā)揮思維能力的空間。打造“模力”課堂將具體的事物和問題模式化,做好數(shù)模之間的轉(zhuǎn)換,有助于激發(fā)學(xué)生腦力活動。通過“模力”課堂的建模教學(xué),還可以幫助學(xué)生通過類比、歸納、猜想等探究性方法,不斷設(shè)法證明或否定猜想,經(jīng)過嚴(yán)格論證培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力,對學(xué)生智力開發(fā)具有極大幫助。

2.重視歸納聯(lián)想能力,提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性

學(xué)好數(shù)學(xué)不能死記硬背,而要學(xué)會靈活運用。一個數(shù)學(xué)題目看似是單獨的一個問題,但其脫離不了生活實際。如果學(xué)生具備歸納聯(lián)想的能力,就能舉一反三地將一種方法有效應(yīng)用于多個實際問題,并通過建模思想輕松地解決問題。通過對現(xiàn)實生活中的各活動進行階段性歸納和總結(jié),在教師的啟發(fā)和指引下,通過“模力”課堂上的數(shù)學(xué)建模思想,使學(xué)生做到“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”,用數(shù)學(xué)來解決生活中的問題,從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性。

3.建立數(shù)學(xué)模型解題,培養(yǎng)學(xué)生綜合能力

首先,數(shù)學(xué)建模的問題是多元化的,解決問題的方法也是多元化的。在“模力”課堂上通過激發(fā)學(xué)生豐富的想象力,鏈接多學(xué)科知識和不同方法解決實際問題,能培養(yǎng)學(xué)生高度靈活的綜合能力。其次,建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題是將實際問題用數(shù)學(xué)的語言進行表達,能夠提升學(xué)生溝通交流能力。最后,數(shù)學(xué)建模問題中所給的條件和數(shù)據(jù)往往不是精確的,有時很混亂,學(xué)生需要具備抽絲剝繭抓住重點的能力,充分利用已知信息,尋找突破口來解決問題,從而提升學(xué)生分析和判斷的綜合能力。

三、“模力”課堂下初中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)路徑

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)加強學(xué)生建模思想的滲透和培養(yǎng),提高學(xué)生建模能力,充分利用課堂時間將數(shù)學(xué)建模思想落實到課堂教學(xué)的各個環(huán)節(jié)之中,打造“模力”課堂,讓學(xué)生參與建模過程,用模型思維來解決生活中的實際問題。

1.轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念,課堂滲透數(shù)學(xué)建模思想

“模力”課堂能夠打破傳統(tǒng)教育方式,以數(shù)學(xué)建模思想貫穿整個教學(xué)環(huán)節(jié)。例如,浙教版八年級上冊第三章“一元一次不等式”教學(xué)中,其概念是初中階段的重要核心概念之一,課堂上滲透數(shù)學(xué)建模思想,引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程解決實際問題的思路。首先教師在問題提出后,不要直接告訴學(xué)生解題思路,可以先給學(xué)生列一個簡單的不等式來“拋磚引玉”,然后逐漸給出線索,提供關(guān)鍵詞并給予學(xué)生思考時間。引導(dǎo)學(xué)生從生活中的實際問題出發(fā),將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,教導(dǎo)學(xué)生建立不等式模型,最后再用一元一次不等式模型來解決問題,從而提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的習(xí)慣和意識,通過類比方法的引導(dǎo),促進學(xué)生滲透數(shù)學(xué)建模思想。

2.將實際問題融入教學(xué),幫助學(xué)生學(xué)以致用

將社會熱點問題或?qū)嶋H生活中的問題引入課堂教學(xué)中,使學(xué)生掌握相應(yīng)的建模方法,不僅能提升學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,還能使學(xué)生學(xué)以致用,體會數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的快樂。

例如,浙教版七年級上冊有關(guān)儲蓄及儲蓄利息的內(nèi)容,與每個家庭決策的實際問題息息相關(guān)。教師可在導(dǎo)課時拋出問題:“如果5年后你們上大學(xué)需要學(xué)費30000元,你們的父母準(zhǔn)備參加一個教育儲蓄,你覺得存多長時間最劃算呢?”接著繼續(xù)引導(dǎo):“這個問題是很實際的生活問題,我們可以通過數(shù)學(xué)模型來進行解答決策,是不是很神奇?”然后列出問題:媽媽準(zhǔn)備辦理教育儲蓄,以備5年后讓你上大學(xué)時使用,目前銀行定期存款利率分別是:一年期1.5%,三年期2.1%,五年期2.75%。提問學(xué)生可以有幾種存款方案,回答主要有三種方案:第一種是直接存入一個五年期;第二種是先存入一個3年期,3年后將本息和自動轉(zhuǎn)存2個1年期;第三種方案是先存入一個1 年期的,后將本息和自動轉(zhuǎn)存下一個1年期。

再次提問:“你認(rèn)為哪種教育儲蓄方式開始存入的本金較少?”

讓學(xué)生了解基本概念:本金、利息、本息和、期數(shù)等概念,隨后建立數(shù)學(xué)模型:利息=本金×利率×期數(shù);本息和=本金+利息;利息稅=利息×稅率(20%);利潤=每個期數(shù)內(nèi)的利息/本金×100%。接著引導(dǎo)學(xué)生試著思考哪種方案更合理,通過分別計算每種教育儲蓄的本金金額再進行比較,答案便一目了然。解答思路如下。

第一種方案:設(shè)存入一個5年的本金是X元,依題意得方程X(1+5×2.75%)=30000,解得X=26374。

第二種方案:設(shè)存入一個三年期開始的本金為Y元,Y(1+2.1%×3)(1+1.5%)(1+1.5%)=30000,解得Y=27394。

第三種方案:設(shè)存入一年期本金為Z元,Z(1+1.5%)(1+1.5%)(1+1.5%)(1+1.5%)(1+1.5%)=30000,解得Z=27848。

通過結(jié)論可知第一種方案存入一個5年期的本金最少。

這個實例再次驗證了數(shù)學(xué)源于生活,課堂需要融入學(xué)生所熟悉的生活實際問題。用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)建模的思想方法將語言文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言來表示實際問題中的數(shù)學(xué)關(guān)系,通過提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力來培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力。

3.利用開放性問題,打開學(xué)生建模思路

數(shù)學(xué)開放知識覆蓋面大,綜合性強,解題方法的靈活性較高,再加上題意新穎構(gòu)思精巧,此類問題的解題思路并無固定模式,需要使用反證法、分類討論法、類比猜想法等方法或者綜合使用,從而打破數(shù)學(xué)知識單一呈現(xiàn)性的難題,通過開放性問題的教學(xué)可以打開學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思路。

例如,學(xué)習(xí)浙教版八年級上冊“二元一次方程與一次函數(shù)”時,這堂課中滲透數(shù)形結(jié)合思想與建模思想?？梢詮囊粋€數(shù)學(xué)故事入手,通過四個環(huán)節(jié)的探究以二元一次方程與一次函數(shù)的基本聯(lián)系展開探究,上升至一次函數(shù)在實際情景中的應(yīng)用以提升思維高度。通過設(shè)計開放性的題目,把問題拋給學(xué)生,實現(xiàn)了一題多變的訓(xùn)練,拓展了思維廣度,凸顯了學(xué)生尋找問題、探究問題、解決問題的過程。

4.巧用教學(xué)媒體,打造“模力”課堂

課堂是師生溝通交流、發(fā)揮潛能、思想碰撞的場所,網(wǎng)絡(luò)時代下多媒體教學(xué)為學(xué)生營造了一個生動形象的教學(xué)環(huán)境,通過學(xué)生視覺、聽覺等全方位的接觸,更形象地呈現(xiàn)了知識點所表達的內(nèi)容,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情。

例如,在浙教版七年級上冊“一元一次方程”學(xué)習(xí)中,課堂中教師通過輕松愉快的動畫創(chuàng)設(shè)了有效的學(xué)習(xí)情境,用砝碼演示天平中蘊含的“等量關(guān)系”,充分抓住了方程的本質(zhì)。重視方程模型的建構(gòu),即從等式入手探究含有未知數(shù)的等式。在整個課堂教學(xué)過程中,學(xué)生通過看、議、說等過程,不斷去建構(gòu)方程的概念模型,打造出有“模力”的課堂。

四、結(jié)語

讓數(shù)學(xué)建模走進中學(xué)課堂不僅僅只是一個理念問題,更要切實付諸于數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中。如何讓數(shù)學(xué)建模活動成為中學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)中的重要板塊并切實可行地發(fā)揮作用,是一線教師需要認(rèn)真研究并努力解決的問題,也是當(dāng)前新課程改革亟待解決的難題。教師充分利用課堂短暫的教學(xué)時間,深入滲透數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性,打造出高效的“模力”課堂,才能使問題化抽象為具體,才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性;通過培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模方法來解決日常生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)問題的能力,使學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)的實用價值。