高城 劉彥鵬 嚴(yán)冠鵬 閆杰 陳小棋 侯永 靳奉濤 吳建華? 曾交龍3) 袁建民4)

1) (國防科技大學(xué)理學(xué)院,長沙 410073)

2) (西北核技術(shù)研究所,激光與物質(zhì)相互作用國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710000)

3) (浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,杭州 310023)

4) (中國工程物理研究院研究生院,北京 100193)

錫(Sn)是13.5 nm 光刻光源的材料,Sn 等離子體輻射性質(zhì)對光源設(shè)計(jì)意義重大.基于細(xì)致能級模型,在局域熱平衡假設(shè)條件下計(jì)算得到了Sn 等離子體輻射不透明度和發(fā)射譜.使用多組態(tài)Dirac-Fock 方法獲得了Sn6+-Sn14+離子的能級和輻射躍遷振子強(qiáng)度等基本原子參數(shù).針對波長在13.5 nm 附近的4d-4f 和4p-4d 躍遷系,重點(diǎn)考慮了4dm-4f m(m=1,2,3,4)和4pn-4dn(n=1,2,3)的電子關(guān)聯(lián)效應(yīng).在大規(guī)模組態(tài)相互作用計(jì)算中,每種電荷態(tài)離子的精細(xì)能級數(shù)目約為20 萬.對較強(qiáng)的吸收譜線(振子強(qiáng)度大于0.01),其長度和速度表示的相對差異為20%–30%.基于精密原子參數(shù),計(jì)算了Sn 等離子體在30 eV,0.01 g/cm3 條件下的透射譜,與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本符合.系統(tǒng)計(jì)算了溫度16–30 eV,密度0.0001–0.1 g/cm3 條件下的Sn 等離子體輻射不透明度和發(fā)射光譜,分析了極紫外(extreme ultraviolet,EUV)光譜隨溫度和密度的變化規(guī)律.研究表明溫度一定時(shí),密度增大會(huì)使得13.5 nm 附近的輻射不透明度和發(fā)射譜包絡(luò)增寬.而密度一定時(shí),隨著溫度的增加,輻射不透明度和發(fā)射譜在13.5 nm 附近存在明顯的窄化效應(yīng).本文工作有助于EUV 光刻光源的設(shè)計(jì)和研究.

1 引言

摩爾定律要求集成電路上的晶體管數(shù)目越來越多,尺寸越來越小[1,2].光刻技術(shù)是半導(dǎo)體行業(yè)的核心技術(shù)之一,其刻蝕集成電路節(jié)點(diǎn)的最小尺寸可以由瑞利公式確定[3]:R=kλ/NA,其中k表示工藝因子常數(shù),NA表示光學(xué)孔徑,λ為曝光光源波長.為了提高分辨率,減小工藝因子常數(shù)和增大光學(xué)孔徑數(shù)值已經(jīng)幾乎被研究者們做到了極限,目前聚焦的方向是減小光源波長[4].光刻光源波長從光學(xué)波段,進(jìn)入深紫外波段,現(xiàn)在商用光刻光源的最短波長為13.5 nm,位于極紫外(extreme ultraviolet,EUV)波段[5].

目前商用的EUV 光刻光源采用高功率CO2激光作用在錫(Sn)的液滴靶上,使之處于溫度20–40 eV,電子密度1018-1019cm-3的等離子體狀態(tài)[5].在此溫度和密度條件下,Sn 等離子體中的主要離子類型是高離化態(tài)的 Sn8+- Sn14+離子,這些離子的4d-4f 和4p-4d 等躍遷線集中在13.5 nm 附近[6,7].工藝上要求光源中心波長13.5 nm,帶寬2%[4].因此,研究在此波長范圍內(nèi)的Sn 等離子體輻射性質(zhì)對EUV 光源的數(shù)值模擬和工業(yè)設(shè)計(jì)非常重要.實(shí)驗(yàn)上,基于激光等離子體相互作用和電子束離子阱等平臺(tái),人們獲得了不同電荷態(tài)Sn 離子的譜線,并證認(rèn)了部分譜線,但是與實(shí)用需求還有很大距離[8-15].同時(shí),基于不同的理論方法,人們計(jì)算獲得了EUV 到可見光波段的不同電荷態(tài)Sn 離子的輻射原子參數(shù)[13-18].如基于FSCC (Fock space coupled culster)方法[19],Windberger 等[13]計(jì)算了 Sn11+- Sn14+的價(jià)電子躍遷譜線,波長范圍覆蓋260–780 nm.基于CI+MBPT (configuration interaction many body perturbation theory)方法[20];Torretti 等[14]計(jì)算了 Sn7+- Sn10+在光 學(xué)和EUV波段的譜線.

除了對Sn 高電荷態(tài)離子能級和輻射躍遷參數(shù)的測量,人們也開展了Sn 等離子體輻射不透明度和發(fā)射譜的實(shí)驗(yàn)研究[21-26].例如,Fujioka 等[22]測量了溫度約為30 eV,密度約為0.01 g/cm3的Sn等離子體透射譜.陳鴻等[24]使用激光輻照Sn 的液滴靶,對產(chǎn)生的極紫外輻射的譜線結(jié)構(gòu)和時(shí)空分布特性進(jìn)行了研究.Su 等[25]測量了激光產(chǎn)生的Sn等離子體的EUV 輻射特性的演化,并研究了自吸收的規(guī)律.理論方面,為了獲得Sn 等離子體準(zhǔn)確的EUV 輻射性質(zhì),基于細(xì)致原子模型的計(jì)算是必要的.但是對于Sn 這種含有多個(gè)電子的復(fù)雜原子體系,其輻射不透明度的精密計(jì)算是困難的.因?yàn)镾n10+及其鄰近電荷態(tài)離子具有未填滿的 4d 軌道,軌道塌縮效應(yīng)主要導(dǎo)致兩個(gè)方面的計(jì)算挑戰(zhàn): 一是組態(tài)相互作用很強(qiáng),計(jì)算中需要考慮復(fù)雜的電子關(guān)聯(lián)效應(yīng),以獲得精確的原子參數(shù);二是能級簡并效應(yīng)顯著,多電子激發(fā)組態(tài)仍然是束縛態(tài),對輻射不透明度的貢獻(xiàn)不可忽略,因此增加了輻射不透明度精細(xì)計(jì)算的困難.近年來,基于細(xì)致物理模型對Sn等離子體輻射不透明度的理論研究不多[27-30].且這些研究在計(jì)算原子參數(shù)時(shí),最多考慮到雙電子激發(fā)組態(tài),一般至多考慮了4d2-4f2和4p2-4d2的電子關(guān)聯(lián)效應(yīng).最近,基于COWAN 程序[31],Torretti等[29]和Sheil 等[30]開展了大規(guī)模組態(tài)相互作用計(jì)算,將組態(tài)規(guī)模擴(kuò)展到三電子激發(fā)態(tài),電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)至多考慮到4d3-4f3和4p3-d3,發(fā)現(xiàn)多電子激發(fā)組態(tài)對輻射不透明度的貢獻(xiàn)不可忽略.

上述的實(shí)驗(yàn)和理論工作加深了人們對Sn 等離子體EUV 輻射性質(zhì)的理解,展示了包含電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)的大規(guī)模組態(tài)相互作用計(jì)算對獲得精密原子參數(shù)和等離子體輻射性質(zhì)的重要性.但是電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)究竟是怎樣影響原子參數(shù)的,還需要更多精密計(jì)算的驗(yàn)證.同時(shí),對Sn 等離子體宏觀輻射性質(zhì),基于細(xì)致物理模型的理論研究還很少,更缺乏對EUV 輻射性質(zhì)的系統(tǒng)性研究,對獲得滿足工藝要求的EUV 光源的最優(yōu)等離子體條件也缺乏研究.因此,采取細(xì)致物理模型,系統(tǒng)研究Sn 等離子體在寬廣溫度和密度條件下的輻射特性,為EUV 光源設(shè)計(jì)提供理論支持是重要的.

本文基于細(xì)致能級模型(detailed-level-accounting,DLA)[27,28],在局域熱平衡近似下,研究Sn 等離子體在溫度16–30 eV,密度0.0001–0.1 g/cm3條件下的輻射不透明度和發(fā)射性質(zhì).首先基于原子結(jié)構(gòu)計(jì)算程序GRASP2K[32],針對典型的高電荷態(tài)Sn 離子( Sn6+- Sn14+),開展大規(guī)模的組態(tài)相互作用計(jì)算.對躍遷波長在13.5 nm 附近的4d-4f 和4p-4d 躍遷系,電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)包括了4dm-4fm(m=1,2,3,4)和4pn-4dn(n=1,2,3),以獲得精確的原子參數(shù).然后分析了單、雙和三電子等激發(fā)組態(tài)對輻射不透明度的貢獻(xiàn),展示了多電子激發(fā)組態(tài)對總輻射不透明度的重要性.最后討論了在寬廣的溫度和密度條件下,Sn 等離子體EUV 輻射的光譜特點(diǎn)和變化規(guī)律.

2 DLA 模型

使用DLA 模型計(jì)算輻射不透明度的方法可參見文獻(xiàn)[33-35].對溫度為T,密度為ρ的等離子體,在光子能量hν處,其輻射不透明度κ′為

其中μbb,μbf和μff分別是束縛-束縛、束縛-自由和自由-自由吸收系數(shù),μscatt為散射系數(shù),h為Planck常數(shù),ν為光子頻率,kB為Boltzmann 常數(shù).束縛-束縛吸收系數(shù)可以寫為

其中me為電子質(zhì)量,e為電子電荷,c為光速,S(hν)是譜線的線型函數(shù).本文采用Voigt 線型函數(shù)[33],

其中Ne和T分別為等離子體中的自由電子密度和溫度;z表示離子電荷數(shù); i,f 分別表示躍遷的初態(tài)和末態(tài);n和l表示對應(yīng)的主量子數(shù)和軌道量子數(shù).

透射率與輻射不透明度的關(guān)系是

其中L為等離子體長度.將此透射率與高斯型函數(shù)做卷積,寬度對應(yīng)光譜儀器的分辨本領(lǐng),就可以獲得與實(shí)驗(yàn)直接對比的透射率.

對局域熱動(dòng)平衡的稀薄等離子體,粒子占據(jù)數(shù)可由Saha-Boltzamnn 方程得到

其中,Ni表示電離度為i的離子的豐度,Ne為自由電子密度,Zi是i離子的配分函數(shù),?i是i離子的電離能,??i是i離子的電離能下降值,本文采用SP 模型得到[36].

熱平衡條件下,發(fā)射系數(shù)j(ν) 與吸收系數(shù)μ(ν)滿足Kirchhoff 定律[37]:

在得到總的吸收系數(shù)后,發(fā)射系數(shù)就容易得到了.

3 原子模型

本文主要研究Sn 等離子體EUV 輻射特性,此波段的輻射不透明度和發(fā)射譜主要由束縛-束縛躍遷貢獻(xiàn).計(jì)算用到的主要原子參數(shù)有能級和輻射躍遷振子強(qiáng)度,采用原子結(jié)構(gòu)計(jì)算程序GRASP2K 得到[32].GRASP2K 基于多組態(tài)Dirac-Fock (multi-configuration Dirac-Fock,MCDF)方法,原子態(tài)波函數(shù)被展開為具有相同宇稱和角動(dòng)量的組態(tài)波函數(shù)的線性組合:

其中,|Φα(Jπ)〉表示總角動(dòng)量為J、宇稱為π的原子態(tài)α的波函數(shù),|?(γiJπ)〉表示具有相同總角動(dòng)量和宇稱的組態(tài)波函數(shù),γi代表軌道占據(jù)數(shù)等表明該組態(tài)的信息,ai(α) 表示在這組組態(tài)波函數(shù)為基下的展開系數(shù).組態(tài)波函數(shù) |?(γiJπ)〉表達(dá)為單電子軌道波函數(shù)的Slater 行列式,而單電子軌道波函數(shù)由求解Dirac-Fock 方程得到[32].

在獲得原子波函數(shù)后,對電偶極躍遷Φα→Φα′,振子強(qiáng)度的長度表示fl和速度表示fv可以分別寫為

其中,gα為簡并度,?E為躍遷能量,ri為i電子的電偶極矩算符.

圖1 給出了不同電荷態(tài)Sn 離子的4s,4p,4d和4f 軌道波函數(shù).從圖1 可見4d 軌道的塌縮性質(zhì),且隨著電荷態(tài)的增加,原子核對4f 軌道的吸引越來越強(qiáng).13.5 nm 附近輻射的主要貢獻(xiàn)是Sn10+及其近鄰離子,這些高電荷態(tài)離子的4f 軌道塌縮效應(yīng)非常明顯.4d 和4f 的塌縮效應(yīng)使得軌道能量簡并,組態(tài)相互作用強(qiáng),能級結(jié)構(gòu)復(fù)雜.作為示例,Sn10+離子能級結(jié)構(gòu)示意圖見圖2.可以看出,從基組態(tài)[Ni]4s24p64d4(為描述簡便,此處[Ni]表示類Ni 的電子結(jié)構(gòu)),激發(fā)一個(gè)電子形成的4s24p64d34f,4s24p64d35s,4s24p54d5和4s4p64d5的組態(tài)能量較低.激發(fā)兩個(gè)電子形成的4s24p64d24f2能量范圍擴(kuò)展很寬,部分精細(xì)能級的能量處于連續(xù)態(tài)之上,而4s24p44d6的精細(xì)能級完全處于電離閾之下,這些低能束縛態(tài)對輻射特性的貢獻(xiàn)很大,原子參數(shù)的精度直接影響輻射不透明度和發(fā)射譜的精度.此外,由這些能量較低的組態(tài)激發(fā)形成的里德伯態(tài)如4s24p64d3nl(n>6)簡并度大,能級數(shù)目很多,給精確原子參數(shù)計(jì)算帶來挑戰(zhàn).

圖1 (a) Sn5+ ,(b) Sn8+ ,(c) Sn10+ 和(d) Sn13+ 離子的4s,4p,4d 和4f 軌道波函數(shù)Fig.1.Radial wavefunctions of 4s,4p,4d and 4f belonging to (a) Sn5+ ,(b) Sn8+ ,(c) Sn10+ and (d) Sn13+ .

圖2 Sn10+ 束縛組態(tài),其中長條表示相應(yīng)組態(tài)分裂而成的精細(xì)能級的能量范圍,虛線表示電離閾值Fig.2.Bound configurations of Sn10+ .Each bar represents the energy range of fine-structure levels belonging to the corresponding configuration.The dashed line represents ionization threshold.

13.5 nm 附近的強(qiáng)輻射譜線主要來自4d-4f 和4p-4d 躍遷系,電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)對原子參數(shù)精度影響很大[38-40].在本文的大規(guī)模CI 計(jì)算中,包括了4dm-4fm(m=1,2,3,4) 和4pn-4dn(n=1,2,3) 的電子關(guān)聯(lián)效應(yīng),這是目前為止考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)最為完整的計(jì)算.組態(tài)選取原則是: 從4s,4p 和4d 軌道激發(fā)一個(gè)、兩個(gè)和三個(gè)電子形成的組態(tài),以及從4d 軌道激發(fā)四個(gè)電子的組態(tài).以 Sn10+為例,CI 計(jì)算包含的組態(tài)如下:

基態(tài)和單激發(fā)態(tài): 4s24p64d4,4s24p64d34f,4s24p64d35l,4s24p54d5,4s24p54d44f,4s24p54d45l,4s4p64d5,4s4p64d44f,4s4p64d45l,其中l(wèi)=s,p,d,f,g;

雙激發(fā)態(tài): 4s24p64d24f2,4s24p64d24f5l,4s24p64d25s5l,4s24p64d25p5l,4s24p44d6,4s24p44d54f,4s24p44d55l,4s24p54d34f2,4s24p54d34f5l,4s4p54d6,4s4p54d54f,4s4p54d55l,其中l(wèi)=s,p,d,f,g;

三激發(fā)態(tài): 4s24p64d4f3,4s24p64d4f25l,4s24p34d7,4s24p34d64f,4s24p34d65l,4s24p54d24f3,4s24p54d24f25l,其中l(wèi)=s,p,d,f;

四激發(fā)態(tài): 4s24p64f4.

由這些組態(tài)分裂而成的精細(xì)結(jié)構(gòu)能級數(shù)目約為20 萬,其中奇宇稱和偶宇稱原子態(tài)的數(shù)目大致相當(dāng).與本文相比,Torretti 等[29]的CI 計(jì)算包括了單、雙和三電子激發(fā)組態(tài),雖然精細(xì)能級數(shù)目達(dá)到了30 萬,但是在計(jì)算中引入了標(biāo)度參數(shù),使用半經(jīng)驗(yàn)方法調(diào)整了徑向積分的數(shù)值.除了在上述CI 計(jì)算中包含的組態(tài)外,一些能量較高的里德伯態(tài),如4s24p64d3nl(n>5)和4s24p54d4nl(n>5)對輻射不透明度亦有貢獻(xiàn).在典型的實(shí)驗(yàn)條件下(30 eV,0.01 g/cm3),相比于基態(tài)和低激發(fā)態(tài),這些里德伯態(tài)對輻射不透明度的貢獻(xiàn)相對較小.因此,這些里德伯態(tài)沒有包含在大規(guī)模組態(tài)相互作用的計(jì)算中,相關(guān)的輻射躍遷參數(shù)采用單組態(tài)的方法獲得,即在計(jì)算中只包括偶極允許躍遷的初組態(tài)和末組態(tài),單個(gè)組態(tài)分裂形成的精細(xì)能級之間的組態(tài)相互作用考慮在內(nèi).

作為示例,表1 列出了屬于 Sn10+基組態(tài)4s24p64d4的34 個(gè)精細(xì)能級,能級符號(hào)取為(9)式中展開系數(shù)最大的電子組態(tài).作為比較,基于EBIT 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和其他理論結(jié)果一并列出[14].可以看出,本文計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)符合較好.除了第7 條能級本文結(jié)果比實(shí)驗(yàn)值大了約8.5%外,其余能級相對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差均不超過8%.在復(fù)雜元素輻射不透明度的計(jì)算中,上述能級的誤差對粒子數(shù)分布和輻射躍遷能量的影響是很小的.注意到CI+MBPT方法與實(shí)驗(yàn)值更為接近[14],這主要是因?yàn)樵撚?jì)算是僅針對基組態(tài)4s24p64d4而進(jìn)行的優(yōu)化計(jì)算.

表1 Sn10+ 基組態(tài)4s24p64d4 的精細(xì)能級(單位: eV),能級符號(hào)中省略了滿殼層的4s 和4p 軌道.Table 1. Fine-structure levels belonging to the ground configuration 4s24p64d4 of Sn10+ (Unit: eV),where the fully occupied 4s and 4p orbitals are omitted.

輻射躍遷振子強(qiáng)度是計(jì)算輻射不透明度和發(fā)射譜的基本參數(shù),文獻(xiàn)中可用于比較的數(shù)據(jù)很少.理論上,用長度和速度兩種規(guī)范得到的振子強(qiáng)度是相等的,而實(shí)際計(jì)算中組態(tài)展開只能取有限項(xiàng),因此兩者是有差異的,通常用長度和速度表示的差異來檢驗(yàn)計(jì)算精度.圖3 以 Sn10+為例,分析輻射躍遷振子強(qiáng)度的計(jì)算結(jié)果.圖3(a)給出了振子強(qiáng)度大于0.01 的長度和速度表示的比較.對小于0.1 的振子強(qiáng)度,兩種表示雖然有部分振子強(qiáng)度差異較大,但是整體上比較接近.對大于0.1 的振子強(qiáng)度,兩種表示符合很好.整體上,兩種表示符合得較好,表明了本文大規(guī)模組態(tài)相互作用計(jì)算的可信度.圖3(b)給出了振子強(qiáng)度大于0.01,且躍遷波長在11–20 nm 范圍內(nèi)的振子強(qiáng)度兩種表示方法的比值,這些躍遷線是13.5 nm 附近輻射不透明度和發(fā)射譜的主要貢獻(xiàn).上下兩條紅虛線分別表示比值為1 和0.8.可以看出,兩種表示的相對誤差基本在20%–30% 以內(nèi),這表明了本文計(jì)算的基本原子參數(shù)是基本可靠的.

圖3 Sn10+ 振子強(qiáng)度 (a) 振子強(qiáng)度的長度和速度表示,紅色虛線斜率為1;(b) 波長11–20 nm 的振子強(qiáng)度長度和速度表示的比值,上下兩條紅色虛線分別表示比值為1和0.8Fig.3.Oscillator strengths of Sn10+ : (a) Length and velocity forms of oscillator strengths;the slope of the red dashed line is 1;(b) ratio of length form to velocity form.The upper and lower red dashed lines represent 1 and 0.8,respectively.

4 結(jié)果和討論

獲得能級和振子強(qiáng)度等原子參數(shù)后,使用DLA模型計(jì)算可得到典型條件下Sn 等離子體EUV 輻射不透明度,如圖4 所示.等離子體溫度為30 eV,密度為0.01 g/cm3,相應(yīng)的電子密度約5.5 × 1020cm-3,主要的離子類型是 Sn9+,Sn10+,Sn11+和 Sn12+,豐度分別為5.4%,26.0%,41.6%和22.4%.在圖示的波長范圍內(nèi)(11.5–15 nm),束縛-束縛躍遷是輻射不透明度的主要貢獻(xiàn),束縛-自由和自由-自由躍遷的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì),這些強(qiáng)吸收線主要來自4d-4f 和4p-4d 躍遷. Sn9+- Sn12+都顯示了非常復(fù)雜的譜線結(jié)構(gòu). Sn9+的波長范圍最寬(12–14 nm),譜線結(jié)構(gòu)非常豐富,形成了準(zhǔn)連續(xù)的吸收包絡(luò).在吸收包絡(luò)上疊加了復(fù)雜的線譜,位于約13.8 nm 附近的最強(qiáng)吸收峰主要來自4d-4f 的躍遷.隨著電荷態(tài)的增大,譜線覆蓋的波長范圍越來越窄.對于Sn12+離子,譜線集中在12.6–13.4 nm.相比于Sn9+,高電荷態(tài)離子的吸收包絡(luò)更窄,而線譜特點(diǎn)更為明顯.圖4(e)給出了總的輻射不透明度(黑線),可見吸收結(jié)構(gòu)集中在13 nm 附近,形成了一個(gè)大的吸收包絡(luò),而包絡(luò)上疊加了豐富的線狀譜.

圖4 溫度30 eV,密度0.01 g/cm3 條件下Sn 等離子體中不同電荷態(tài)對輻射不透明度的貢獻(xiàn) (a) Sn9+ ;(b) Sn10+ ;(c) Sn11+ ;(d) Sn12+ ;(e)總不透明度,紅線為只包含基組態(tài)和單電子激發(fā)組態(tài)的結(jié)果,綠線為包括了基組態(tài)、單電子和雙電子激發(fā)組態(tài)的結(jié)果Fig.4.Radiative opacity of Sn at a temperature of 30 eV and a density of 0.01 g/cm3 contributed by different ionization stages:(a) Sn9+ ;(b) Sn10+ ;(c) Sn11+ ;(d) Sn12+ ;(e) total opacity.The red line represents the result including only ground and singly excited configurations.The green line represents the result including ground,singly and doubly excited configurations.

高電荷態(tài)Sn 離子的軌道塌縮效應(yīng)使得多電子激發(fā)組態(tài)依然是束縛態(tài)(如圖2 所示),它們對總輻射不透明度的貢獻(xiàn)是值得研究的,這對理解吸收結(jié)構(gòu)的特征是有益的.注意到在本文的大規(guī)模組態(tài)相互作用計(jì)算中,能級混合非常嚴(yán)重,很難分辨某一精細(xì)能級是來自哪個(gè)組態(tài).為此,我們另外設(shè)置了兩組不同組態(tài)規(guī)模的計(jì)算: 一是每種電荷態(tài)離子只包含基組態(tài)和單電子激發(fā)組態(tài)(記為A);二是在A 的基礎(chǔ)上加上雙電子激發(fā)組態(tài)(記為B).分別基于A 和B 兩種組態(tài)規(guī)模產(chǎn)生的輻射躍遷參數(shù),計(jì)算得到了輻射不透明度,分別如圖4(e)的紅線和綠線所示.因?yàn)橛?jì)算規(guī)模不同,所以振子強(qiáng)度大小和分布亦有不同.為了便于和最大計(jì)算規(guī)模的結(jié)果(黑線)相比,A 和B 的計(jì)算結(jié)果向長波范圍移動(dòng)了0.1 nm.容易看出,當(dāng)只包括基組態(tài)和單電子激發(fā)組態(tài)時(shí)(紅線),最強(qiáng)的吸收位于約12.8 nm處,主要來自各電荷態(tài)離子基組態(tài)4d-4f 和4p-4d 的吸收.在增加了雙電子激發(fā)組態(tài)后(綠線),12.8 nm處的強(qiáng)吸收峰增加了約50%.同時(shí),13–13.5 nm 范圍的吸收明顯增強(qiáng),這些吸收線來自單電子激發(fā)組態(tài)的4d-4f 和4p-4d 的躍遷.在熱平衡條件下,單電子激發(fā)態(tài)能量比基組態(tài)高,因此其占據(jù)數(shù)比基態(tài)小.但是它們的電子結(jié)構(gòu)復(fù)雜,電子耦合出的精細(xì)能級數(shù)目多,因此所占據(jù)的配分函數(shù)比例大,從而對輻射不透明度的貢獻(xiàn)也很大.以Sn10+為例,基組態(tài)貢獻(xiàn)的配分函數(shù)約占總配分函數(shù)的17.4%,單電子激發(fā)組態(tài)占73.1%,雙電子激發(fā)組態(tài)占9.5%,可見單電子激發(fā)組態(tài)對總吸收的重要貢獻(xiàn).進(jìn)一步包含三電子及更高激發(fā)組態(tài)后(黑線),譜線峰值強(qiáng)度增大,線譜分布更加集中,表明雙電子激發(fā)組態(tài)對輻射不透明度亦有較大貢獻(xiàn).

Fujioka 等[22]通過激光產(chǎn)生的X 射線加熱Sn靶,測量了Sn 等離子體輻射不透明度.輻射流體模擬預(yù)測了在X 射線峰值過后的1 ns,Sn 等離子體的平均溫度30 eV,平均密度0.01 g/cm3,面密度2.04 × 10-5g/cm2.理論和實(shí)驗(yàn)的透射譜比較如圖5 所示,其中ATOMIC 程序采用混合模型計(jì)算輻射不透明度,即對重要的躍遷線采取細(xì)致能級的描述,對次要的躍遷采取統(tǒng)計(jì)方法[28,41].從圖5(a)可見,理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果雖然整體上基本符合,但也存在明顯差異.在11–13.5 nm 波長范圍,實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示了一個(gè)較為緩慢的下降趨勢,而兩種理論計(jì)算都預(yù)測了非常陡峭的下降沿.與ATOMIC 相比,本文預(yù)測的下降沿位于更短的波長,且吸收峰的寬度更寬.此外,理論和實(shí)驗(yàn)的差異還表現(xiàn)在吸收峰的位置和細(xì)致結(jié)構(gòu)上: 一是實(shí)驗(yàn)測量的最強(qiáng)吸收峰位于13.5 nm 左右,而理論預(yù)測的位置均偏低;二是在上升沿,實(shí)驗(yàn)在16 和18 nm 處分別給出了兩個(gè)吸收峰,雖然本文預(yù)測了16 nm 處的吸收峰,但是兩種理論均沒有預(yù)測18 nm 處的寬吸收峰.可以看到,在13 nm 附近的最強(qiáng)吸收峰,理論預(yù)測吸收是飽和的,這也是與實(shí)驗(yàn)不符的.為了探究理論與實(shí)驗(yàn)差異的可能原因,本文計(jì)算了溫度分別為25,27 和32 eV 的透射譜,如圖5(b)所示.容易看出,溫度越高,吸收峰的寬度越窄.最強(qiáng)吸收峰的下降沿對溫度不敏感,而上升沿對溫度比較敏感.溫度越低,14–20 nm 波長范圍的透射率越小.這是因?yàn)殡婋x度隨溫度降低而變小,電荷態(tài)分布向低電離度離子偏移,相應(yīng)的吸收峰向長波范圍移動(dòng).對于透射譜上升沿可見的兩個(gè)吸收結(jié)構(gòu)(約16 和18 nm),前者來自 Sn10+的 4d-5p 躍遷,后者來自Sn9+的 4d-5p 躍遷(理論計(jì)算的位置約為17.6 nm).在溫度下降到25 eV 時(shí)(黑虛線),理論預(yù)測的這兩個(gè)吸收峰結(jié)構(gòu)清晰可見,但是此時(shí)理論預(yù)測的透射率比實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)明顯偏低.對于理論和實(shí)驗(yàn)之間的差異,可能的物理原因有: 一是原子參數(shù)的精度.振子強(qiáng)度的大小和分布是光譜的決定性因素.從圖5 可知,理論計(jì)算的最強(qiáng)吸收峰的位置和強(qiáng)度均與實(shí)驗(yàn)不符,提高原子參數(shù)精度可以改善理論和實(shí)驗(yàn)符合度.二是理論計(jì)算是基于局域熱平衡假設(shè)得到的,真實(shí)實(shí)驗(yàn)條件下,可能會(huì)存在一些非平衡因素,導(dǎo)致理論預(yù)測和實(shí)驗(yàn)測量的差異.

圖5 Sn 等離子體透射譜 (a)溫度30 eV,密度0.01 g/cm3時(shí)本文計(jì)算、ATOMIC[28]與實(shí)驗(yàn)[22]結(jié)果;(b) 本文計(jì)算的密度0.01 g/cm3,溫度為25,27,30 和32 eV 的Sn 等離子體透射譜.本文計(jì)算取儀器展寬為0.5 eVFig.5.Transmission spectra of Sn plasmas: (a) Present calculation,ATOMIC[28] and experimental results[22] of Sn at a temperature of 30 eV and a density of 0.01 g/cm3;(b) present calculated transmission spectra of Sn at a density of 0.01 g/cm3 and temperatures of 25,27,30 and 32 eV.The instrumental broadening in the present calculation is set to be 0.5 eV.

圖6 為溫度20 eV,密度0.0001–0.1 g/cm3的Sn 等離子體輻射不透明度和對應(yīng)條件下的發(fā)射譜,其中紅色虛線框標(biāo)出了中心波長13.5 nm,帶寬2%的波長范圍.在圖示的等離子體條件下,Sn等離子體中主要存在的離子類型為 Sn6+- Sn12+.在最低的密度0.0001 g/cm3,等離子體中 Sn11+離子的豐度最大(約50%).由它貢獻(xiàn)的輻射不透明度主要位于13 nm 附近,而13.5 nm 附近的輻射不透明度相對較小.密度增加至0.001 g/cm3時(shí),Sn10+離子豐度最大(約44%).此時(shí)在13.5 nm 附近的輻射不透明度最大.密度繼續(xù)增加時(shí),譜線結(jié)構(gòu)改變明顯: 由非常集中的單峰形狀變成了多吸收峰的結(jié)構(gòu).在最大的密度0.1 g/cm3,譜線的三吸收峰結(jié)構(gòu)清晰可見.密度較低時(shí),譜線非常集中,隨著密度的增加,強(qiáng)吸收峰覆蓋的波長范圍越來越寬,且形成了準(zhǔn)連續(xù)的吸收包絡(luò).例如,在0.001 g/cm3時(shí),吸收譜集中在13.5 nm 附近.在0.01 g/cm3時(shí),主要的吸收峰覆蓋了12–16 nm,而在0.1 g/cm3時(shí),強(qiáng)吸收峰則覆蓋了12–17 nm.這是因?yàn)? 密度較低時(shí),對輻射不透明度起主要貢獻(xiàn)的是基態(tài)和低激發(fā)態(tài),能量較高的激發(fā)態(tài)占據(jù)數(shù)小,對不透明度的貢獻(xiàn)小,因此譜線較為集中.隨著密度的增加,電子-電子和電子-離子碰撞速率增大,激發(fā)態(tài)占據(jù)數(shù)增大,對輻射不透明度的貢獻(xiàn)隨之增大.而激發(fā)態(tài)的能量分布范圍很寬,所以吸收譜的分布范圍也變寬了.同時(shí),隨著密度的增加,電子復(fù)合速率增大,電離度變低,電荷態(tài)分布向低電離度離子偏移,而低電荷態(tài)離子的吸收譜線分布的波長范圍更廣.此外,密度的增加使得電子碰撞展寬增加,譜線寬度增大,因此光譜逐漸形成了準(zhǔn)連續(xù)的吸收包絡(luò).

圖6 溫度為20 eV,密度為(a) 0.0001,(b) 0.001,(c) 0.01和(d) 0.1 g/cm3 的Sn 等離子體EUV 輻射不透明度(左圖)和發(fā)射系數(shù)(右圖).平均電離度分別為10.96,9.63,8.36 和7.16,自由電子密度分別為5.56 × 1018,4.89 × 1019,4.24 × 1020和3.63 × 1021 cm-3.紅色虛線表示中心波長13.5 nm,帶寬2%的波長范圍Fig.6.EUV Radiative opacity (left) and emissivity (right)of Sn plasmas at a temperature of 20 eV and densities of(a) 0.0001,(b) 0.001,(c) 0.01 and (d) 0.1 g/cm3.The average ionization is 10.96,9.63,8.36 and 7.16,respectively.The free electron density is 5.56 × 1018,4.89 × 1019,4.24 ×1020 and 3.63 × 1021 cm-3,respectively.The red-dashed lines represent the 2% wavelength region centered at 13.5 nm.

發(fā)射譜隨密度的變化規(guī)律和輻射不透明度是類似的,兩者譜線結(jié)構(gòu)相似,而相對強(qiáng)度不同.例如,密度為0.1 g/cm3時(shí),13–16 nm 范圍內(nèi)的強(qiáng)吸收和強(qiáng)發(fā)射均有3 個(gè)大的峰.吸收峰約在13.5 nm處最強(qiáng),而發(fā)射譜在此處是弱的,最強(qiáng)的發(fā)射峰位于約15.2 nm.隨著密度的增加,等離子體的發(fā)射系數(shù)隨之增大,但是光譜范圍也越來越寬.在EUV光源設(shè)計(jì)中,2%帶寬以外的發(fā)射光譜通常是不利于光刻的[42].以13.5 nm 為中心,2%帶寬以內(nèi)的發(fā)射率積分得到總的發(fā)射功率,如表2 所列.容易看到,隨著物質(zhì)密度的增加,總的發(fā)射功率是增加的.這主要是粒子數(shù)密度增加造成的,因?yàn)榘l(fā)射系數(shù)正比于上能級的粒子數(shù).同時(shí),密度的增加使得光譜分布越來越寬,且發(fā)射系數(shù)的峰值逐漸偏離13.5 nm.所以在EUV 光源的設(shè)計(jì)中,需要綜合考慮譜線結(jié)構(gòu)和發(fā)射功率.圖7、圖8 和圖6 類似,但是溫度分別為23 和27 eV.對于相同的溫度,隨著密度的增加,輻射不透明度和發(fā)射譜的變化規(guī)律與圖6 所示類似.表現(xiàn)為: 強(qiáng)譜線覆蓋范圍的越來越寬,同時(shí)強(qiáng)線譜的位置向長波長移動(dòng).這是因?yàn)槊芏仍黾?電子復(fù)合速率隨之增加,電荷態(tài)分布向低電離度偏移導(dǎo)致的.

表2 不同溫度和密度條件下,Sn 等離子體在(13.5 ± 2%) nm 波長范圍的總發(fā)射功率.a(b)表示a ×10bTable 2. Total emissivity of Sn plasmas in (13.5 ±2%) nm wavelength region at a variety of temperature and density.a(b) represents a × 10b .

圖7 溫度為23 eV,密度為(a) 0.001,(b) 0.005,(c) 0.01和(d) 0.1 g/cm3 的Sn 等離子體EUV 輻射不透明度(左圖)和發(fā)射系數(shù)(右圖)Fig.7.EUV Radiative opacity (left panel) and emissivity(right panel) of Sn plasmas at a temperature of 23 eV and densities of (a) 0.001,(b) 0.005,(c) 0.01 and (d) 0.1 g/cm3.

圖8 溫度為27 eV,密度為(a) 0.001,(b) 0.005,(c) 0.01和(d) 0.1 g/cm3 的Sn 等離子體EUV 輻射不透明度(左圖)和發(fā)射系數(shù)(右圖)Fig.8.EUV Radiative opacity (left panel) and emissivity(right panel) of Sn plasmas at a temperature of 27 eV and densities of (a) 0.001,(b) 0.005,(c) 0.01 and (d) 0.1 g/cm3.

圖9 給出了密度為0.0001 g/cm3,不同溫度的輻射不透明度.因?yàn)槊芏群艿?所以主要是基態(tài)和低激發(fā)態(tài)對輻射不透明度有貢獻(xiàn).此時(shí)譜線的電子碰撞展寬很小(約0.5 meV),表現(xiàn)出明顯的分立譜結(jié)構(gòu),譜線結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜.在16 eV 時(shí),等離子體中Sn9+和 Sn10+占據(jù)了約85%的豐度.兩者在13.5 nm附近貢獻(xiàn)了豐富的譜線結(jié)構(gòu).雖然發(fā)射譜集中在13.5 nm,但是因?yàn)槊芏鹊?所以譜線的強(qiáng)度不大.隨著溫度的增加,電離度增加,電荷態(tài)分布向高電荷態(tài)偏移,強(qiáng)譜線隨之向短波長范圍偏移.在溫度為23 eV 時(shí),主要的離子類型是 Sn12+,最強(qiáng)的譜線在13 nm 附近,此時(shí)13.5 nm 處的吸收峰就相對很弱了.圖10–12 與圖9 類似,但密度分別為0.001,0.01 和0.1 g/cm3.對于固定的密度,隨著溫度的增加,譜線結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出明顯的窄化現(xiàn)象.如圖11(密度0.01 g/cm3)所示,20 eV 時(shí),吸收和發(fā)射最強(qiáng)的譜線覆蓋的波長范圍是12.5–15.5 nm.當(dāng)溫度增加到30 eV 時(shí),則幾乎集中在12.5–13.5 nm很窄的范圍內(nèi).這是因?yàn)?溫度較低時(shí),電離度較低,低電荷態(tài)離子的結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜,譜線覆蓋的波長范圍更寬.隨著溫度增加,電離度增加,高電荷態(tài)離子豐度增加,其束縛態(tài)電子數(shù)目變少,躍遷線能量更為集中,因此譜線整體結(jié)構(gòu)變窄.分析(13.5± 2%) nm 波長范圍的總發(fā)射功率可看出,密度一定時(shí),隨著溫度的升高,總發(fā)射功率也隨之增加.例如,密度為0.001 g/cm3時(shí),溫度為20,23 和27 eV 時(shí)的總發(fā)射功率分別為7.86 × 1011,1.01 ×1012和1.13 × 1012W/cm3.溫度增加時(shí),雖然強(qiáng)發(fā)射線位置逐漸偏移出了(13.5 ± 2%) nm 的范圍,但是高激發(fā)態(tài)上的粒子占據(jù)數(shù)增加了,使得總發(fā)射功率增強(qiáng).

圖9 密度為0.0001 g/cm3,溫度為(a) 16,(b) 18,(c) 20 和(d) 23 eV 的Sn 等離子體EUV 輻射不透明度(左圖)和發(fā)射系數(shù)(右圖)Fig.9.EUV radiative opacity (left panel) and emissivity(right panel) of Sn plasmas at a density of 0.0001 g/cm3 and temperatures of (a) 16,(b) 18,(c) 20 and (d) 23 eV.

圖10 密度為0.001 g/cm3,溫度為(a) 18,(b) 20,(c) 23,(d) 25 和(e) 27 eV 的Sn 等離子體EUV 輻射不透明度(左圖)和發(fā)射系數(shù)(右圖)Fig.10.EUV radiative opacity (left panel) and emissivity(right panel) of Sn plasmas at a density of 0.001 g/cm3 and temperatures of (a) 18,(b) 20,(c) 23,(d) 25 and (e) 27 eV.

圖11 密度為0.01 g/cm3,溫度為(a) 20,(b) 23,(c) 25,(d) 27 和(e) 30 eV 的Sn 等離子體EUV 輻射不透明度(左圖)和發(fā)射系數(shù)(右圖)Fig.11.EUV radiative opacity (left panel) and emissivity(right panel) of Sn plasmas at a density of 0.01 g/cm3 and temperatures of (a) 20,(b) 23,(c) 25,(d) 27 and (e) 30 eV.

圖12 密度為0.1 g/cm3,溫度為(a) 20,(b) 23,(c) 25,(d) 27和(e) 30 eV 的Sn 等離子體EUV 輻射不透明度(左圖)和發(fā)射系數(shù)(右圖)Fig.12.EUV radiative opacity (left panel) and emissivity(right panel) of Sn plasmas at a density of 0.1 g/cm3 and temperatures of (a) 20,(b) 23,(c) 25,(d) 27 and (e) 30 eV.

5 結(jié)論

使用DLA 模型系統(tǒng)研究了作為EUV 光源典型條件下的Sn 等離子體輻射不透明度和發(fā)射譜(溫度16–30 eV,密度0.0001–0.1 g/cm3).在此條件下,Sn 等離子體中主要的離子類型是 Sn6+- Sn14+.基于MCDF 方法,采用大規(guī)模組態(tài)相互作用的計(jì)算,獲得了 Sn6+- Sn14+的能級和輻射躍遷振子強(qiáng)度等基本原子參數(shù),計(jì)算中包括了至多4d4-4f4和4p3-4d3的電子關(guān)聯(lián)效應(yīng).對較強(qiáng)的振子強(qiáng)度,其長度和速度表示差異在20%–30%.計(jì)算了30 eV,0.01 g/cm3條件下Sn 等離子體透射譜,與實(shí)驗(yàn)和其他大規(guī)模計(jì)算的結(jié)果基本符合.系統(tǒng)研究了Sn 等離子體輻射不透明度和發(fā)射譜隨溫度和密度的變化規(guī)律,展示了13.5 nm 附近的輻射特性的特點(diǎn).溫度固定時(shí),隨著密度增加,吸收譜變寬;而密度固定時(shí),隨著溫度升高,吸收譜變窄.研究了中心波長13.5 nm,帶寬2% 范圍的總發(fā)射功率隨溫度和密度的變化.需要注意的是,本文研究的典型條件下(約30 eV,0.01 g/cm3),Sn 等離子體通常沒有嚴(yán)格處于局域熱平衡狀態(tài),而是處于非平衡狀態(tài)[29].非平衡效應(yīng)會(huì)改變粒子數(shù)分布,從而影響輻射不透明度和發(fā)射譜的結(jié)構(gòu)和強(qiáng)度[43,44],這是EUV 光源設(shè)計(jì)需要考慮的物理因素,也是未來工作中需要細(xì)致研究的內(nèi)容.