張 軍，王郁赫，任宗金，孫文舉，蔡佳樂

（大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

1 引言

多維力傳感器廣泛用于機(jī)器人［1-2］、航空航天［3］等領(lǐng)域，用于力和力矩的測量與反饋，其測量精度直接影響裝備性能。基于石英的壓電力傳感器具有高剛度、動態(tài)特性好和耐高溫等特點，適于強(qiáng)振動、大溫變等惡劣工況［4-5］下高頻動態(tài)力的測量，在大型精密裝備研發(fā)中起著重要作用。

在使用前，力傳感器需經(jīng)標(biāo)定獲取其靈敏度參數(shù)［6］，包括主向靈敏度和耦合靈敏度，用于測量與解耦，其標(biāo)定精度一般取決于標(biāo)定模型與標(biāo)定裝置精度。標(biāo)定模型一般采用改進(jìn)傳統(tǒng)矩陣方法［7］和機(jī)器學(xué)習(xí)［8］方法，以提高標(biāo)定精度。Yu［9］等針對機(jī)器人腕力傳感器采用旋轉(zhuǎn)標(biāo)定方法以減少安裝偏差帶來的精度損失。李映君［10］等采用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)改進(jìn)了力傳感器標(biāo)定算法。田雨［11］提出基于深度置信網(wǎng)絡(luò)的壓電多維力傳感器標(biāo)定解耦方法。此外，標(biāo)定裝置的角度偏差也會使傳感器在標(biāo)定中損失精度［12］。付立悅［13］等從不確定度角度指出加載力源偏角是砝碼張線式裝置標(biāo)定誤差的主要來源。范志強(qiáng)［14］等分析了壓電薄膜式力傳感器在標(biāo)定中安裝基面傾角帶來的精度影響。上述研究表明，標(biāo)定中安裝和加載帶來的角度偏差會影響標(biāo)定精度，導(dǎo)致獲取的傳感器參數(shù)不準(zhǔn)確。為了減小標(biāo)定角度偏差的影響，研究多集中于精度評定和裝置精度提高［15］，但精度提升的成本較高。對于削弱和分離角度偏差引入的誤差，則缺乏相關(guān)研究。

本文改進(jìn)了傳統(tǒng)標(biāo)定模型，分析標(biāo)定角度偏差來源與影響并引入標(biāo)定模型，以組內(nèi)自制壓電式三維力傳感器為研究對象，采用實際測量+優(yōu)化算法的方法獲取了傳感器的真實性能參數(shù)，有效分離了角度偏差的影響。解耦效果證明，改進(jìn)的新標(biāo)定模型更貼合實際數(shù)據(jù)。最后，基于新模型分析了標(biāo)定角度偏差對傳感器耦合特性的影響。

2 原理

2.1 傳感器結(jié)構(gòu)與偏差來源

壓電石英三向力傳感器一般包含3 組晶組，每組包含2 片石英晶片。兩組Y0°晶組基于剪切效應(yīng)測量Fx和Fy，一組X0°晶組基于縱向效應(yīng)測量Fz，實現(xiàn)正交三維力測量。標(biāo)定傳感器時，為了標(biāo)定側(cè)向力（Fx，F(xiàn)y），通過螺栓和螺母將傳感器預(yù)緊在上下壓塊間形成標(biāo)定結(jié)構(gòu)，如圖1 所示。預(yù)緊力一般是側(cè)向力的10 倍，保證傳感器通過摩擦感受足夠的側(cè)向力。

圖1 壓電傳感器與預(yù)緊標(biāo)定結(jié)構(gòu)Fig.1 Piezoelectric sensor and preload calibration structure

對于多維力傳感器，一般在不同測量方向分別進(jìn)行單維力標(biāo)定，逐步獲取每個方向的靈敏度。理想情況下，標(biāo)定力源的加載方向與傳感器的測量敏感軸完全共線。而標(biāo)定角度偏差，例如加載偏斜、安裝偏角等，會使二者存在夾角，降低主向靈敏度，增大了耦合靈敏度（橫向靈敏度）。對于圖1 所示坐標(biāo)系下的力傳感器，偏差來源如圖2 所示。在傳感器預(yù)緊成標(biāo)定結(jié)構(gòu)時，夾具固定上下壓塊，力矩扳手施加預(yù)緊力，帶動傳感器相對上下壓塊轉(zhuǎn)動［16］，敏感軸繞Z軸轉(zhuǎn)動，如圖2（a）所示；固定基面不平，傳感器傾斜，敏感軸繞X/Y軸轉(zhuǎn)動，如圖2（b）所示；標(biāo)定裝置加載力源偏斜，對其他非標(biāo)定方向產(chǎn)生附加分力，如圖2（c）所示。

圖2 標(biāo)定角度偏差來源Fig.2 Sources of calibration angle deviation

為敘述方便，以繞軸順時針旋轉(zhuǎn)為正，用x表示傳感器的敏感坐標(biāo)系繞X軸轉(zhuǎn)動的角度，y，z同理，用θab表示b方向加載力源對a方向的偏角。

2.2 裝置偏差測量

以實驗室的三維力加載裝置和力傳感器為對象，測量圖2 中偏差值。

測量傳感器轉(zhuǎn)角時，下壓塊固定在臺面上，將精度為0.02 mm 的數(shù)顯千分表打在傳感器側(cè)面，推動傳感器移動29 mm，千分表示值差為0.11 mm，通過反正切函數(shù)測得z為+0.22°，如圖3（a）所示。

圖3 傳感器轉(zhuǎn)角與基面傾角測量Fig.3 Measurement of sensor angle and base angle

測固定基面傾角時，將精度為0.1°的傾角儀緊貼單元與底面，通過讀數(shù)讀取傾角值，測得x為+0.5°，如圖3（b）所示，同理測得y為-0.4°。

測量力源傾斜偏角時，以測量X向加載偏角為例，傾角儀1 為0 時，一方向讀取傾角儀2 示數(shù)，測得θzx為-0.15°；另一方向?qū)⑶Х直泶怪贝蛟跍y量處，加載桿向前移動距離，根據(jù)千分表示值差求出θyx為-0.13°，如圖4 所示。其他方向偏角測量同理。

圖4 標(biāo)定力源偏角測量Fig.4 Deflection measurement of calibration force source

為方便后續(xù)的計算處理，將測量角度值單位換為弧度制（rad），測量結(jié)果如表1 所示。

表1 角度偏差測量Tab.1 Angle deviation measurement （rad）

結(jié)果表明，傳感器標(biāo)定中確實存在角度偏差，理論上標(biāo)定精度會降低。

2.3 標(biāo)定模型改進(jìn)

壓電力傳感器受力產(chǎn)生電荷，電荷經(jīng)放大器轉(zhuǎn)為電壓信號。由于使用的石英壓電系數(shù)不同，Y0°晶組靈敏度是X0°晶組的兩倍左右，實際中電荷放大器會將它們歸一化為-1 附近的力電系數(shù)。為了便于比較，這里使用力電系數(shù)代表傳感器靈敏度。

傳統(tǒng)標(biāo)定模型如下：

其中：U為輸出電壓向量，K為力電系數(shù)矩陣，F(xiàn)為標(biāo)定力值向量，kab為力電系數(shù)。當(dāng)a=b時，為該向主向力電系數(shù)；當(dāng)a≠b時，為b對a的耦合力電系數(shù)。

考慮標(biāo)定角度偏差下，K為帶有偏差的力電矩陣，F(xiàn)也不是標(biāo)準(zhǔn)的正交標(biāo)定力源，用Kr代表真實的傳感器矩陣，F(xiàn)I代表理想正交的標(biāo)定力源。

z的測量基準(zhǔn)為千分尺所固定的面，即為下壓塊，相當(dāng)于自轉(zhuǎn)或相對轉(zhuǎn)動，而x，y的測量基準(zhǔn)為大地坐標(biāo)系（出廠校準(zhǔn)的傾角儀）。在旋轉(zhuǎn)矩陣中左乘代表繞大地坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，右乘代表繞自身坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，用旋轉(zhuǎn)矩陣R1與R2修正傳感器的力電矩陣，得到K與Kr的關(guān)系：

其中：

考慮角度較小，旋轉(zhuǎn)矩陣采用簡化形式。以X向加載標(biāo)定為例，產(chǎn)生的Z向干擾力為：

將公式推至3 個方向，則得到F與FI的關(guān)系：

其中：

式中：lx，ly，lz分別代表x，y，z主方向的加載系數(shù)，理想下均為1。將式（3）與式（5）帶入傳統(tǒng)模型式（1），建立新模型：

其中：Kr即為真實的傳感器力電系數(shù)矩陣，去除了角度偏差影響，U是采集的電壓，F(xiàn)I是理想的正交加載力，力大小可通過標(biāo)準(zhǔn)力傳感器測得。

新模型共有21 個參數(shù)，x，y，z和θab在2.2 中已測得，lx，ly，lz可由勾股定理求解，剩余9 個力電系數(shù)為未知量?？紤]測量儀器和方法的精度較低，采用優(yōu)化算法，首先通過實驗獲得U，再根據(jù)數(shù)據(jù)建立合理的目標(biāo)函數(shù)與約束條件，以測量值為優(yōu)化起點，給予參數(shù)一定的變化范圍，獲取傳感器參數(shù)。

3 標(biāo)定實驗與參數(shù)獲取

3.1 標(biāo)定實驗

在2.2 的基礎(chǔ)上繼續(xù)實驗，標(biāo)定裝置配備MCL-S 型標(biāo)準(zhǔn)力傳感器，放大器為聯(lián)能LN5861，采集卡為DT9800，軟件為DEWESOFT，如圖5 所示。傳感器Z向量程為12 000 N，X，Y向量程為2 400 N。根據(jù)劃好的中心線，在傳感器中心分別對3 個方向加載階梯力，記錄輸出，得到傳感器3 個方向的電壓輸出如表2～表4 所示。加載過程中，采用儀器復(fù)測表1 中的參數(shù)，參數(shù)無變化，測量后卸載。

表2 X 向加載輸出數(shù)據(jù)Tab.2 X-directional load output data

表3 Y 向加載輸出數(shù)據(jù)Tab.3 Y-directional load output data

表4 Z 向加載輸出數(shù)據(jù)Tab.4 Z-directional load output data

圖5 力傳感器標(biāo)定設(shè)備Fig.5 Equipment for calibration of force sensor

3.2 參數(shù)獲取與比較

傳統(tǒng)參數(shù)獲取方式是采用最小二乘法分別擬合3 個輸出方向?qū)屋斎敕较虻闹本€斜率，從而求得主向和耦合力電系數(shù)。新模型增加了角度矩陣，參數(shù)數(shù)量較多，難以采用上述方法求解。由于摩擦和加載振動等原因，數(shù)據(jù)摻雜隨機(jī)誤差，所以采用優(yōu)化算法求解。為了盡量避免局部最優(yōu)解，加入約束條件。

優(yōu)化模型包括設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件3 個步驟，設(shè)計變量即為式（6）中的21 個參數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)采用文獻(xiàn)［17］中基于極大似然法建立函數(shù)，即：模型輸出與實際數(shù)據(jù)差的二范數(shù)平方和越小，模型越貼合數(shù)據(jù)。根據(jù)表2～表4得到：

約束條件如下：

（1）受限于測量儀器和方法的精度，根據(jù)傾角儀測量精度0.1°，將表1 測量值作為參數(shù)優(yōu)化起點，限制范圍為±0.002 rad，彌補(bǔ)測量精度不足，同時一定程度上也能避免局部最優(yōu)解。

（2）單方向加載系數(shù)平方和的根應(yīng)在1 附近，以滿足勾股定理，考慮實際加載和采集有一定偏差，平方根限制為1±0.01，如式（8），避免不合理參數(shù)。

算法選擇斯坦福大學(xué)開發(fā)的稀疏非線性優(yōu)化求解算法（Sparse Nonlinear Optimizer，SNOPT），其核心是基于序列二次規(guī)劃優(yōu)化算法，適合于解決各類規(guī)劃問題，可集成于MATLAB 和COMSOL 等計算軟件。該算法處理實際大規(guī)模問題時的計算速度比一般智能算法快，且收斂性好［18-19］。

考慮到配合壓電傳感器使用的電荷放大器靈敏度設(shè)置位數(shù)一般到小數(shù)點后3 位，為了保證精度，同時縮短收斂時間，將優(yōu)化容差（停止閾值）設(shè)置為0.000 1，最小化目標(biāo)函數(shù)Q以求解21個參數(shù)。所有參數(shù)連續(xù)3 次迭代差值小于閾值時即認(rèn)為收斂，經(jīng)過12 次優(yōu)化，計算收斂。

R1，R2，C的求解結(jié)果如下：

力電系數(shù)的優(yōu)化求解過程如圖6 所示。

圖6 參數(shù)求解迭代過程Fig.6 Parameter solving iterative process

將分離偏差前后力電系數(shù)，即K與Kr的元素進(jìn)行對比，見表5～表6。角度偏差對主向力電系數(shù)標(biāo)定的影響較小，但對耦合力電系數(shù)的影響較大。由于偏差存在，部分耦合力電系數(shù)的變化較大甚至反向，會獲取虛假的系數(shù)，導(dǎo)致傳感器性能評定的謬誤。

表5 耦合力電系數(shù)比較Tab.5 Comparison of coupling coefficients

表6 主向力電系數(shù)比較Tab.6 Comparison of main direction coefficients

4 模型效果對比與分析

4.1 解耦效果對比

理論上如果模型貼近傳感器的實際情況，應(yīng)更貼合實驗數(shù)據(jù)，解耦誤差更小。為驗證新模型的合理性，采用兩種模型對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行解耦，即將表中3 個方向的加載力值代入模型，比較模型計算的電壓輸出與表中記錄的電壓輸出間的差值，如圖7 所示。

圖7 解耦誤差比較Fig.7 Decoupling error comparison

用解耦誤差的均值、極值進(jìn)一步比較，以舊模型的解耦誤差為基準(zhǔn)，分析新模型相比其解耦誤差下降的比例，如表7～表8 所示。

表7 解耦誤差均值下降比例Tab.7 Decoupling error mean reduction ratio（%）

Y向加載時，X向耦合輸出的解耦誤差沒有下降，因其原本耦合輸出較小，新舊模型的解耦差值幾乎重合。而從其他方向的均值來看，解耦誤差減少了80% 左右，極值減少了20%～49%。結(jié)果顯示，新模型更吻合實際數(shù)據(jù)，驗證了新模型的正確性。新模型矩陣相乘后仍為3×3 矩陣，在降低解耦誤差的同時沒有增加復(fù)雜性。

4.2 耦合系數(shù)占比研究

由于結(jié)構(gòu)與制作原因，多維力傳感器難免具有耦合靈敏度，精確測量耦合靈敏度或解決耦合問題［20］是研究焦點。由于標(biāo)定角度偏差會影響傳感器的耦合特性，將傳感器轉(zhuǎn)角和固定基面傾角合稱為安裝偏差。根據(jù)新標(biāo)定模型，每個偏差影響矩陣均已知，分析安裝偏差與力源偏斜偏差兩種因素對耦合力電系數(shù)的影響占比，具體步驟如下：

（1）將R1KrR2C作為所有角度偏差作用下的標(biāo)定結(jié)果A；R1KrR2表示僅受安裝偏差影響的標(biāo)定結(jié)果B；KrC表示僅受標(biāo)定力源偏斜影響的結(jié)果C；

（2）將B 與C 的耦合系數(shù)元素分別與真實結(jié)果Kr相應(yīng)元素做差，求得安裝偏差和力源偏斜對耦合系數(shù)的影響數(shù)值。

（3）將Kr元素和（2）影響數(shù)值除以A 中對應(yīng)元素，求得耦合系數(shù)下的傳感器自身、安裝偏差和力源偏斜的數(shù)值占比。

理論上矩陣間為乘法，會疊加影響，不應(yīng)加減。但由于角度較小，經(jīng)過驗算，Kr與兩個因素影響差值和與A 各項差不到0.000 1，可以忽略。如圖8 所示，標(biāo)定角度偏差對于傳感器耦合性能的影響不可忽略，在部分耦合系數(shù)中，標(biāo)定角度影響占比達(dá)到70%以上，應(yīng)加以控制。本次標(biāo)定中，力源偏斜主要影響了X，Y向?qū)向力的耦合系數(shù)，而安裝偏差主要影響了X，Z向?qū)向力的耦合系數(shù)。

圖8 耦合力電系數(shù)占比分析Fig.8 Proportion analysis of coupling coefficients

5 結(jié)論

本文針對力傳感器標(biāo)定角度偏差影響精度的問題，以壓電三向力傳感器為對象，相比舊標(biāo)定模型與傳統(tǒng)參數(shù)獲取方法，建立了考慮標(biāo)定中多環(huán)節(jié)角度偏差的新模型，并通過測量和優(yōu)化計算結(jié)合獲取參數(shù)，基本實現(xiàn)了分離角度偏差的傳感器標(biāo)定。新模型大部分方向的解耦誤差均值下降80%左右，極值下降20%～49%，驗證了新方法有效性。

研究表明，一般被當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)力源的標(biāo)定裝置，其偏差會影響傳感器的標(biāo)定精度，尤其會在耦合靈敏度的標(biāo)定中引起謬誤，放大或縮小真實的靈敏度。從標(biāo)定精度角度，如何控制或者給出偏差容差范圍，給出標(biāo)定裝置的精度檢定標(biāo)準(zhǔn)，值得進(jìn)一步研究。經(jīng)矩陣維數(shù)推廣和數(shù)量增加，本文模型可推廣到六維力傳感器或測力儀的標(biāo)定中，覆蓋更多影響因素。