盧明

三角形中位線的性質(zhì)是平面幾何中的一個(gè)重要定理.該定理的結(jié)論既包含兩線段所在直線的位置關(guān)系，又包含兩線段之間的數(shù)量關(guān)系，在解答平面幾何問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．在運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì)解題時(shí)，有時(shí)需要運(yùn)用平行關(guān)系，有時(shí)需要運(yùn)用倍分關(guān)系，可以根據(jù)具體情況，按需選用.下面結(jié)合例題予以說(shuō)明.

一、三角形中位線的定義和性質(zhì)

三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形有三條邊，所以三角形的中位線應(yīng)該有三條，如圖1所示：如果點(diǎn) D、E、F 分別是 AB、BC、CA的中點(diǎn)，那么線段 DE、EF、FD 都是三角形的中位線.

三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.由此不難得到三角形的中位線與第三邊的關(guān)系：（1）位置關(guān)系：三角形的中位線與第三邊互相平行，如在圖1中，有 DF∥ BC；（2）數(shù)量關(guān)系：三角形的中位線等于第三邊的一半，如在圖1中，有 DF = BC.

二、三角形中位線的性質(zhì)在解題中的應(yīng)用

中位線的性質(zhì)在解三角形問(wèn)題時(shí)通常有以下三種用途：第一種是用于三角形的線段長(zhǎng)度的計(jì)算；第二種是證明線段間的位置關(guān)系或由位置關(guān)系得出角之間的關(guān)系；第三種是求解三角形內(nèi)線段間的和、差、倍分關(guān)系.

1.利用三角形中位線的性質(zhì)證明角相等

由于三角形的中位線與三角形第三邊之間存在平行的位置關(guān)系，因此，在證明兩個(gè)角相等的時(shí)候，就可以借助或構(gòu)造三角形的中位線，利用兩直線平行，同位角及內(nèi)錯(cuò)角相等來(lái)證明.這樣既快捷，又簡(jiǎn)便.

例 1? 如圖 2，四邊形 ABCD中，AB=CD，點(diǎn) E，F(xiàn)分別是 AD，BC的中點(diǎn)，GH⊥EF交于點(diǎn) P . 延長(zhǎng) BA，F(xiàn)E相交于點(diǎn) Q，延長(zhǎng) CD交 FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) K，求證：∠AGH=∠DHG.

分析

證明

2.利用三角形中位線的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度

三角形中位線的長(zhǎng)度等于第三邊長(zhǎng)度的一半.利用好這個(gè)性質(zhì)，可以為我們求解兩線段的數(shù)量關(guān)系提供一個(gè)重要的依據(jù).所以當(dāng)題目中遇到三角形一邊的中點(diǎn)，所求的問(wèn)題涉及求線段的長(zhǎng)度時(shí)，常將三角形中位線的性質(zhì)和三角形其他知識(shí)結(jié)合起來(lái).

例2

分析

解

3.利用三角形中位線的性質(zhì)證明線段的倍分關(guān)系

三角形的中位線不僅體現(xiàn)了線段之間的位置關(guān)系，也體現(xiàn)了線段之間的數(shù)量關(guān)系.在證明線段的和差倍分等問(wèn)題中，最重要的是找到線段之間的數(shù)量關(guān)系，而很多題目是難以直接進(jìn)行數(shù)量轉(zhuǎn)換的，因此需作出正確的輔助線，找出圖形中形狀、位置或者數(shù)量上的聯(lián)系，借助中間量，將所求線段之間的間接關(guān)系轉(zhuǎn)化為直接關(guān)系，最終求得答案.

例5已知，如圖6，在△ABC 中 AB =AC，延長(zhǎng) AB 到 D，使 BD =AB，E 為 AB 的中點(diǎn)，求證：CD =2CE.

分析：這是證明線段的倍半問(wèn)題，證明一條線段等于另一條線段的二倍或一半時(shí)，常常是先找出短線段二倍長(zhǎng)的線段，或者取長(zhǎng)線段的一半，設(shè)法把線段的倍半問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問(wèn)題.這就是通常所說(shuō)的“加倍”“折半”的方法.

方法1：找出 CD 的一半，然后證明 CD 的一半和 CE相等，

取 CD 中點(diǎn) F，證 CF = CE.

證明：

方法2

證明：

由以上幾例不難看出，當(dāng)題目有中點(diǎn)這一條件時(shí)，應(yīng)設(shè)法尋找另一個(gè)“中點(diǎn)”，以構(gòu)造三角形的中位線，然后利用中位線的性質(zhì)解題.這是一種常用的解題技巧.