甘肅省慶陽(yáng)市鎮(zhèn)原縣屯字中學(xué) (744502) 郭宏剛

以基礎(chǔ)函數(shù)“l(fā)nx”作為題設(shè)背景的數(shù)列型不等式證明一類問(wèn)題,是出現(xiàn)在近年高考或各地模擬考試中的熱點(diǎn)題型,這類問(wèn)題常與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用緊密聯(lián)系,把與lnn(n∈N*)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列型不等式的證明設(shè)置在試題的最后一問(wèn),證題時(shí)利用前面小問(wèn)中的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性結(jié)論來(lái)證明.下面以一道高三階段性測(cè)試題來(lái)探究一類數(shù)列型不等式的證明方法.

1 試題呈現(xiàn)

該題以基本函數(shù)“l(fā)nx”為題設(shè)背景,其中第(2)小題是證明數(shù)列型不等式問(wèn)題,這一小題解答的基本路徑是:逆向分析,尋找與所證不等式等價(jià)的不等式,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)推得基礎(chǔ)函數(shù)的不等式,進(jìn)而將結(jié)論予以賦值轉(zhuǎn)化為數(shù)列的不等關(guān)系,最后利用數(shù)列比如裂項(xiàng)、累加等方法,或運(yùn)用“放縮法”證得數(shù)列不等式.

2 試題解答

①當(dāng)a≤0時(shí),易知當(dāng)時(shí)當(dāng)x>0時(shí),f′(x)<0,此時(shí)f在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)變化情況列表如下:

x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)極大值極小值

綜上所述,當(dāng)a≤2時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a>2時(shí),f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增.

下面重點(diǎn)探究第(2)問(wèn)中數(shù)列型不等式的證明.

點(diǎn)評(píng)：證法1首先將所證的數(shù)列不等式進(jìn)行逆向分析,結(jié)合其結(jié)構(gòu)形式的特點(diǎn),利用由(1)函數(shù)單調(diào)性所證得的不等式證明.

點(diǎn)評(píng)：證法2在由(1)函數(shù)單調(diào)性所證得的不等式的基礎(chǔ)上,通過(guò)賦值、累加證得所證不等式.

為了介紹證法3,這里給出對(duì)數(shù)均值不等式.

對(duì)數(shù)均值不等式證明詳見(jiàn)文[1].

3 變式探究

若稍加改變一下題設(shè)中的函數(shù)表達(dá)式,第(2)小題中所證的數(shù)列型不等式不變,則有:

(1)解關(guān)于x的不等式f(x)>0;

解析：(1)易得f(x)>0的解集為(0,1).

(2)同上述測(cè)試題的證法.若將題設(shè)條件中的函數(shù)式改為關(guān)于基礎(chǔ)函數(shù)“ex”的不等式,所證的數(shù)列型不等式不變,則有:

變式2 (2022年新高考Ⅱ卷的第22題)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)<-1,求a的取值范圍;

由此可以看出,上述測(cè)試題的第(2)小題其實(shí)就是該高考題的第(3)小題.在強(qiáng)調(diào)高考命題深化改革的今天,通過(guò)改編、整合等手段來(lái)給予以往高考真題新的生命,從而演變?yōu)樾碌脑囶},已成為高考命題的一種常態(tài)化趨勢(shì).以“題”為鑒,這就啟示我們?cè)趶?fù)習(xí)備考的過(guò)程中重視對(duì)以往高考真題的深層次探究,通過(guò)探究,分析高考命題和考查的思想方法、本質(zhì)及學(xué)科核心內(nèi)容,關(guān)注命題者的意圖、解題需要的能力和科學(xué)的思維方法,使復(fù)習(xí)跳出題海,并“打磨利器,有的放矢”,利用對(duì)以往高考真題檢驗(yàn)復(fù)習(xí)效果,使復(fù)習(xí)備考“擇高處立,向闊處行”.

解析：(1)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)a=1.

4 方法總結(jié)

對(duì)比上面三種證法,利用對(duì)數(shù)均值不等式(即證法3)證明數(shù)列型不等式,可以避開(kāi)求導(dǎo)、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性等復(fù)雜過(guò)程,簡(jiǎn)捷明了、操作性強(qiáng),是證明數(shù)列型不等式這一類問(wèn)題的通性通法.

運(yùn)用對(duì)數(shù)均值不等式證明與lnn(n∈N*)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列型不等式的方法步驟是:分析→選取→賦值→得證,即:①分析研究所證數(shù)列不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn);②合理選取對(duì)數(shù)均值不等式鏈中的某個(gè)不等式;③對(duì)選取的對(duì)數(shù)均值不等式鏈中的不等式中的a,b恰當(dāng)賦值,有時(shí)結(jié)合放縮技巧;④證得不等式.

對(duì)典型試題解法的探究,就是指對(duì)問(wèn)題從不同視角來(lái)審視,以不同的切入點(diǎn)探究問(wèn)題,其實(shí)質(zhì)是對(duì)試題的“二次開(kāi)發(fā)”.通過(guò)對(duì)試題的剖析和思考,展開(kāi)問(wèn)題的來(lái)龍去脈和知識(shí)間的縱橫聯(lián)系,站在一定的高度去思考問(wèn)題,突出數(shù)學(xué)本質(zhì),使知識(shí)達(dá)到融會(huì)貫通,使思維得到升華,進(jìn)而優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì).