李雙寶，周新星

（中國民航大學a.科技創(chuàng)新研究院；b.理學院，天津 300300）

機械系統(tǒng)中不必要的振動可能會損害系統(tǒng)或降低結構的性能。飛行器飛行過程中，機翼的顫振會影響其表面氣流的流動方式，從而降低機翼的升力，進而降低飛行器的性能。同時，航空發(fā)動機的喘振會導致其核心機氣流的紊亂，甚至損傷葉片。因此，有效抑制結構中的有害振動是航空工程中的一個重要問題。

最初研究的熱點聚焦于線性減振器，其具有結構簡單易實現(xiàn)的特點，但其只能在頻率很窄的區(qū)域產(chǎn)生減振效果。因而很多學者對非線性減振器展開研究[1-5]。非線性能量阱[6]（NES，nonlinear energy sink）作為一類特殊的被動非線性減振器，因其可以靶向被動吸收主結構中振動的能量而被廣泛研究[7-10]。這些研究主要考慮非接地類型NES。Jiang 等[11]研究了接地立方NES 在周期激勵下，穩(wěn)態(tài)運動的動力學行為，研究指出這類NES 的非線性特性具有良好的寬頻特性。Mcfarland 等[12]實驗驗證了接地立方NES 中的靶向能量轉(zhuǎn)移行為。對于接地立方NES 的研究結果表明[13]，接地立方NES 可以等效于一個輕質(zhì)的非接地立方NES，因而對接地NES 的優(yōu)化設計方案和參數(shù)優(yōu)化設計并沒有進一步研究。然而高鐵軌道的振動抑制，地面落振實驗臺的振動抑制等工況更適合使用接地的減振器。Yao 等[14]研究了一種對旋轉(zhuǎn)裝置具有優(yōu)良減振性能的接地NES，這說明接地NES 具有廣泛的工程應用前景。實際上，對接地類型吸振器的優(yōu)化設計研究較少，王孝然等[15]研究了線性接地式三要素型吸振器的參數(shù)優(yōu)化設計。對于非接地NES 也可以做出類似的研究，NES 的主要缺陷在于其減振特性需要耦合系統(tǒng)的能量高于一定值以后才能發(fā)揮作用。借鑒非接地NES 的研究結果可知[7-10]，雙穩(wěn)態(tài)特性的引入能很好地解決NES 的能量閾值問題。在接地NES 中引入雙穩(wěn)態(tài)特性，并進一步研究其動力學行為是目前研究的一個盲點。

本文主要通過攝動分析和Melnikov 方法，研究接地雙穩(wěn)態(tài)NES 耦合系統(tǒng)在周期激勵下的松弛振蕩行為和外激勵閾值曲線對這類接地雙穩(wěn)態(tài)NES 結構參數(shù)設計的指導意義，并進一步在理論上給出這類NES的優(yōu)化設計準則。

1 力學模型

本文研究的力學模型是兩自由度系統(tǒng)，如圖1 所示。由線性振子（LO，linear oscillator）弱耦合一個接地雙穩(wěn)態(tài)NES。其中，LO 的質(zhì)量、剛度、阻尼分別標記為m1，kp和c1。NES 的質(zhì)量記為m2，其雙穩(wěn)態(tài)特性通過壓縮剛度為k 的彈簧這一幾何非線性的方式實現(xiàn)，兩個子系統(tǒng)通過彈簧k1和阻尼c2弱耦合。

圖1 力學模型Fig.1 Mechanical model

LO 和NES 的位移分別用x1（t）和x2（t）表示。NES結構的原點位置位于接地壓縮彈簧接地的豎直位置，而NES 結構初始時刻位于平衡位置S，NES 結構壓縮彈簧的原長為l，而在原點處的長度為l0。

由于系統(tǒng)中的恢復力是一個無理函數(shù)，采用多項式逼近的方法近似該無理恢復力。根據(jù)拉格朗日方程和適當?shù)膮?shù)變換得到無量綱耦合系統(tǒng)動力學方程[16]。

結構的雙穩(wěn)態(tài)特性由式（1）的第2 項杜芬方程所體現(xiàn)，系統(tǒng)存在著兩個穩(wěn)定和一個不穩(wěn)定的平衡位置。式中：f 表示無量綱化以后的外激勵剛度；τ 和Ω 分別無量綱的時間和頻率；y1和y2分別表示LO 和NES 無量綱化以后的位移。耦合系統(tǒng)的物理參數(shù)和式（1）中的無量綱參數(shù)如表1 所示。

表1 系統(tǒng)的參數(shù)取值Tab.1 Parameter value of the system

2 動力學分析

2.1 慢不變流形

在式（1）描述的兩自由度耦合系統(tǒng)中，LO 發(fā)生的松弛振蕩依賴不同時間尺度的運動。因而分析系統(tǒng)的動力學行為就必須綜合考慮不同時間尺度下，耦合系統(tǒng)的動力學行為。為了刻畫這種動力學行為，可以應用復化平均法。首先在系統(tǒng)引入復變量

將式（2）代入式（1）中，保留系統(tǒng)的長期項得到

考慮到外激勵頻率和LO 固有頻率之間的共振響應關系，引入失諧參數(shù)σ，并滿足Ω=1+εσ，代入式（3）中。引入時間變量τs=εsτ，其中s=0，1。對式（3）進行多尺度展開，得到ε0階和ε1階尺度下的動力學方程如下

引入極坐標變換如下

式中：N1、N1和θ1、θ2均為實數(shù)，令?φ2/?τ0=0，并代入式（4）的第2 項得到慢不變流形（SIM，slow invariant manifold）描述如下

2.2 外激勵閾值

分析可知，滿足一定條件時耦合系統(tǒng)的SIM 存在兩個奇異值點。對式（7）右側變量Z2求導，令導數(shù)為0，得到臨界值Z2l方程。通過Z2臨界值可以得到系統(tǒng)外激勵閾值。首先定義函數(shù)

并根據(jù)式（4）進行變量代換可得

將式（9）代入式（5）第2 項，由鏈式法則得到

式中f1，f2和g 可以通過式（4）和式（5）偏導關系求得。由文獻[17]可知，系統(tǒng)存在兩類不動點，一類被限制于系統(tǒng)SIM 上，滿足條件f1=f2=0，g≠0；另一類不動點對應臨界情況，滿足f1=f2=g=0 這一退化條件，此時可將式（9）化為式（10）的矩陣形式

式中系統(tǒng)運動的幅值Ψ1和Ψ2，以及相應的相位β1和β2可通過令式（10）等于0 獲得。非退化條件的滿足，使式（11）的兩個方程線性相關，故僅需考慮其中一個方程即可得到系統(tǒng)外激勵閾值解析表達式。將變量Z2臨界值代入就得到外激勵閾值表達式

非線性系統(tǒng)可能會發(fā)生混沌運動，因而外激勵幅值和耦合系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運動的關系也是重要的問題，通過Melnikov 方法可以解析地獲得系統(tǒng)的混沌閾值。

2.3 Melnikov 分析

耦合系統(tǒng)的混沌運動和各子系統(tǒng)之間的內(nèi)共振響應有著密切的聯(lián)系。Melnikov 函數(shù)作為度量擾動后雙曲不動點的穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形之間距離的工具，能給出系統(tǒng)發(fā)生混沌的判斷條件[18]。

考慮到外激勵的周期特性，經(jīng)歷充分長的時間之后可以假定LO 周期振動。此時可以將LO 的運動視為NES 結構的外激勵。因而可以將系統(tǒng)的方程降維成

式中：l1=a1-β，l2=b1，h1=η2/ε。

由于LO 受到外界周期正弦激勵可以將其運動近似為如下周期運動

式中A 表示線性振子運動振幅。在式（13）中，若ε=0，系統(tǒng)變?yōu)槲磾_動系統(tǒng)。存在一對連接式（13）中雙曲不動點的同宿軌道q0（τ），其可以被解析地求解出。圖2 表示不同負剛度下式（13）中的同宿軌道。

圖2 同宿軌道Fig.2 Homoclinic orbits

由Melnikov 方法，式（13）對應系統(tǒng)的Melnikov 函數(shù)為

式中：f（u，v）=（v，l1u-l2u3）T；g（u，v）=（0，Acos（Ωτ）-h1v）T。

通過計算可得到系統(tǒng)Melnikov 函數(shù)，如果其有簡單零點，那么擾動后的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形橫截相交[14]。得到系統(tǒng)的混沌閾值曲線表達式如下

不同負剛度下系統(tǒng)的混沌閾值曲線如圖3 所示。

圖3 不同負剛度下系統(tǒng)的混沌閾值曲線Fig.3 Chaotic threshold curves under different negative stiffnesses

從圖3 可知，隨著NES 負剛度上升，系統(tǒng)閾值函數(shù)曲線也上升，這說明在一定范圍內(nèi)提升系統(tǒng)負剛度可抑制正弦外激勵下系統(tǒng)的混沌運動。但是混沌運動的發(fā)生意味著耦合系統(tǒng)中發(fā)生了內(nèi)共振，因而設計此類接地雙穩(wěn)態(tài)NES 時，適當降低結構的負剛度是一種提升NES 減振特性的思路。

同樣，如圖4 所示為不同立方剛度下系統(tǒng)的混沌閾值曲線。

圖4 不同立方剛度下系統(tǒng)的混沌閾值曲線Fig.4 Chaotic threshold curves under different cubic stiffnesses

從圖4 可知，隨著系統(tǒng)立方剛度增大，結構的閾值函數(shù)曲線在下降。因而可以適當提升結構的立方剛度，使得耦合系統(tǒng)的各子系統(tǒng)在更寬的外激勵幅值區(qū)域內(nèi)發(fā)生內(nèi)共振。適當增大接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的立方剛度可以提高其減振性能。

考慮NES 結構的兩類特殊情況：一種是系統(tǒng)的負剛度為0，此時接地雙穩(wěn)態(tài)NES 變?yōu)榻拥亓⒎絅ES；另一種是對應著立方剛度的消失，此時減振裝置變?yōu)橐粋€線性結構。通過對比這兩類特殊情況，進一步說明接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的減振特性。

3 動力學特性

3.1 與接地立方NES 對比

當系統(tǒng)中的負剛度趨于0 時，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 變?yōu)榻拥亓⒎絅ES。為了更好地說明吸振裝置在外激勵作用下的減振特性，引入度量NES 阻尼力做功占比的指標，NES 系統(tǒng)的能量耗散率可表示為

NES 系統(tǒng)的能量耗散率越高，相對而言，其減振性能也會較好。接地雙穩(wěn)態(tài)NES 和接地立方NES 結構在不同外激勵下的能量耗散率對比如圖5 所示。

圖5 接地雙穩(wěn)態(tài)NES 和接地立方NES 能量耗散率對比（τ0=100）Fig.5 Energy dissipation rates of the grounded bistable NES and the cubic NES（τ0=100）

從圖5（a）可知，當激勵振幅較低時，隨著振幅逐漸增大，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的能量耗散率逐漸下降，但是其一直高于84%。當外激勵振幅到達SIM 的第1 個閾值后，系統(tǒng)的能量耗散率開始上升，達到最大值約90%；當外激勵振幅接近SIM 的第2 個閾值后，系統(tǒng)能量耗散率又開始下降；直到外激勵幅值接近SIM 的第3 個閾值，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的能量耗散率恢復上升。應該指出，隨著外激勵幅值的變化，接地雙穩(wěn)態(tài)NES的能量耗散率總是高于82%。從耦合系統(tǒng)能量耗散率分析，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 在外激勵變化過程中一直維持著較高的減振性能。

從圖5（b）可知，由于接地立方NES 中不存在同宿軌道，因而混沌閾值并未給出。接地立方NES 的能量耗散率變化趨勢和SIM 上計算出的兩個閾值相關。在外激勵較低時，接地立方NES 的能量耗散率隨著外激勵振幅的增大而增加。直到外激勵振幅到達SIM 的第1 個閾值，此時NES 的能量耗散率達到局部最大約為82%，然后開始下降；在外激勵振幅到達SIM 的第2個閾值又恢復上升。

通過對比圖5（a）和5（b）可以發(fā)現(xiàn)，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 和接地立方NES 的能量耗散率在外激勵幅值較高時區(qū)別并不明顯，可是當外激勵幅值較低時，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的能量耗散率明顯要優(yōu)于接地立方NES。

進一步，不同外激勵下LO 的振幅響應曲線如圖6所示。實線表示系統(tǒng)在τ∈[100，500]區(qū)間內(nèi)LO的平均振幅Ae，而虛線代表這一區(qū)間內(nèi)LO 的最大振幅Am。

圖6 耦合接地雙穩(wěn)態(tài)NES 和接地立方NES 的主結構振幅響應Fig.6 Amplitude response of the main structure for coupled grounded bistable NES and cubic NES

耦合接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的LO 在不同外激勵振幅下的響應曲線如圖6（a）所示。隨著外激勵的增加，主系統(tǒng)的振幅也隨之增加，不過增加的速度和外激勵閾值相關。當外激勵振幅較低時，LO 的振幅和外激勵振幅類似線性增長。當外激勵幅值達到混沌閾值，隨著外激勵振幅增大，振幅增速突然提升，LO 最大振幅和平均振幅之差增大，此時系統(tǒng)發(fā)生暫態(tài)強調(diào)諧響應。繼續(xù)增加外激勵振幅，LO 最大振幅和平均振幅的差值逐漸降低。

耦合接地立方NES 的振幅響應曲線如圖6（b）所示，耦合接地立方NES 的LO 在外激勵作用下振幅的響應方式近似于線性。

對比圖6（a）和6（b）的振幅響應曲線可以發(fā)現(xiàn)，在外激勵較低時，耦合接地雙穩(wěn)態(tài)NES 系統(tǒng)的振動幅值明顯低于耦合接地立方NES 系統(tǒng)；在外激勵幅值較高時，兩者區(qū)別不大。這和非接地的情況類似[19]。

3.2 不同外激勵下的響應方式

3.1節(jié)通過對比接地雙穩(wěn)態(tài)NES 和接地立方NES的能量耗散率和LO 振幅以突出接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的減振優(yōu)勢。本節(jié)具體討論耦合接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的系統(tǒng)在不同外激勵下的響應方式以研究其動力學特性。不同外激勵幅值下NES 的時間歷程圖如圖7 所示。

圖7 NES 在不同外激勵下的響應Fig.7 Response of the NES under different external force

從圖7 可知，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的響應過程和耦合系統(tǒng)的兩個勢阱相關。由圖7（a）可知，當外激勵較低時，NES 只能在初始平衡位置的勢阱附近來回振蕩。接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的負剛度特性使得其能夠吸收LO 的大部分能量，進而將其能量耗散率維持在較高的水平。隨著外激勵的增大，如圖7（b）和7（c）所示，系統(tǒng)的運動形式轉(zhuǎn)變?yōu)闀簯B(tài)強調(diào)諧響應，這時LO 振動的最大振幅和平均振幅之差增大。耦合系統(tǒng)穩(wěn)定周期運動時，NES 可能跨阱運動，也可能單阱運動。由于非線性系統(tǒng)的混沌特性，當外激勵幅值處于特定范圍內(nèi)時，NES 運動的方式具有較大的隨機性。繼續(xù)增大外激勵振幅后，如圖7（d）所示，耦合系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期運動狀態(tài)時，NES 做跨阱周期運動。

不同外激勵閾值下，系統(tǒng)在SIM 上的投影如圖8所示。從圖8（a）可知，外激勵閾值較低時，耦合系統(tǒng)的SIM 投影在系統(tǒng)的SIM 附近小范圍振蕩，不跨越SIM的穩(wěn)定分支和不穩(wěn)定分支。一旦外激勵超過混沌閾值時，如圖8（c）和8（d）所示，系統(tǒng)會在SIM 的穩(wěn)定分支和不穩(wěn)定分支振蕩，以松弛振蕩的形式轉(zhuǎn)移耦合系統(tǒng)中LO 的能量。當外激勵幅值較大時，如圖8（d）所示，系統(tǒng)周期運動的投影在SIM 穩(wěn)定分支上振蕩。

圖8 耦合系統(tǒng)在慢不變流形上的投影Fig.8 Projection on the SIM of the coupled system

當耦合系統(tǒng)能量水平較低時，NES 系統(tǒng)的負剛度使得耦合系統(tǒng)各子結構之間發(fā)生明顯的能量轉(zhuǎn)移，和非接地情況類似[15]，這是雙穩(wěn)態(tài)NES 相對于立方NES的優(yōu)勢。另一方面，因為其能夠在較寬的頻帶內(nèi)和LO發(fā)生內(nèi)共振關系，這類接地雙穩(wěn)態(tài)NES 可以在較寬的頻率范圍內(nèi)吸收LO 的能量以達到振動抑制的效果。

3.3 寬頻特性

通過之前動力學分析可以發(fā)現(xiàn)，接地雙穩(wěn)態(tài)NES可以在頻率較寬的范圍內(nèi)吸收LO 的能量實現(xiàn)其真的抑制的特點。不同頻率下NES 的能量耗散率如圖9 所示。

圖9 NES 在不同頻率下的能量耗散率Fig.9 Energy dissipation rates of NES under different frequencies

從圖9 可知，在較寬的頻帶內(nèi)接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的能量耗散率一直都高于82%，因而其減振性能在較寬的頻帶內(nèi)較好。進一步分析發(fā)現(xiàn)，在固有頻率附近NES的能量耗散率達到最低值。這說明NES 可在較寬的頻帶內(nèi)，被動吸收LO 的能量并在自身將能量耗散。

與相同質(zhì)量與阻尼的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD,turned mass damper）對比，如圖10 所示，解釋說明接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的寬頻特性。

圖10 主結構的幅頻響應曲線Fig.10 Amplitude frequency response of the main structure

當外激勵頻率f 和LO 固有頻率相差較遠時（小于0.9 或大于1.1），NES 和TMD 的響應曲線類似。當外激勵頻率接近LO 共振帶時，TMD 的減振性能明顯不如接地雙穩(wěn)態(tài)NES。進一步觀察發(fā)現(xiàn)，當外激勵頻率和LO 固有頻率一致時，TMD 并沒有很好的減振效果。耦合TMD 時LO 的振幅大于0.8，而耦合NES 時LO 的振幅不超過0.2。說明在這種條件下NES 的減振特性要優(yōu)于TMD。

通過對比發(fā)現(xiàn)，在較寬的頻率范圍內(nèi)NES 都可以保障LO 的振幅低于0.1，這說明NES 具有良好的寬頻特性。

4 結語

本文主要研究一類接地雙穩(wěn)態(tài)非線性能量阱在周期激勵下的動力學特性。研究結果表明，該接地雙穩(wěn)態(tài)NES 在外激勵較低時，其負剛度特性使得其減振性能明顯優(yōu)于接地立方NES。進一步討論不同外激勵頻率下，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的動力學特性，以及與相同質(zhì)量和阻尼的TMD 的幅頻響應曲線對比說明，這類接地雙穩(wěn)態(tài)NES 具有良好的寬頻特性。