陳海珍

(邵武第一中學(xué),福建 邵武 354000)

反思是指學(xué)習(xí)者對自身數(shù)學(xué)認(rèn)知活動進(jìn)行周密且有批判性的回顧、反省、抽象、概括的過程,是個體進(jìn)行自我探究、自我調(diào)節(jié)、自我監(jiān)控,從而獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)幸福感與成就感的能力.反思性學(xué)習(xí)可使學(xué)生在心理上拉起一道“警戒線”,表現(xiàn)出優(yōu)良的批判性、深刻性的思維品質(zhì),成為一個自律的學(xué)習(xí)者,主動監(jiān)控自己學(xué)習(xí)活動的過程,從而對各種解決問題的方案進(jìn)行評價并進(jìn)行最優(yōu)處理.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中將“反思”提到了應(yīng)有的高度,即做題是解決問題的過程,包括描述問題、教學(xué)表達(dá)、建立模型、求解模型、得到結(jié)論、反思完善;體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的4個方面有情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思——主要是指能夠用數(shù)學(xué)語言直觀地解釋和交流數(shù)學(xué)的概念、結(jié)論、應(yīng)用和思想方法,并能進(jìn)行評價、總結(jié)與拓展.教學(xué)實踐表明,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思性學(xué)習(xí),不僅能驅(qū)動學(xué)生主動反思自身的學(xué)習(xí)過程,多角度地對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考與探究,改善學(xué)習(xí)策略,培養(yǎng)元認(rèn)知能力,而且能促使學(xué)生將原有知識遷移到新情境中解決問題,由淺層學(xué)習(xí)邁向深度學(xué)習(xí),促進(jìn)學(xué)生情感與思維向深度發(fā)展,進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 在反思中內(nèi)化,使“本質(zhì)”更突出

數(shù)學(xué)概念是教學(xué)的重點與難點,具有高度的抽象性.在抽象概念的過程中,教師不僅要讓學(xué)生親歷概念的生成過程,還要引領(lǐng)他們運用已學(xué)的知識、經(jīng)驗與方法對所學(xué)的概念進(jìn)行反思.這種具有深度思維的學(xué)習(xí)活動,不是對概念的簡單識記與模仿,而是在理解的基礎(chǔ)上對概念進(jìn)行分析、比較、辨別、評價,在具有深度思維價值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中掌握概念,深化學(xué)生對概念內(nèi)涵與外延的理解,優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu),使其對抽象概念的認(rèn)識從感性上升到理性,實現(xiàn)思維進(jìn)階,進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

案例1人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(必修第一冊)“古典概型”教學(xué)片斷.

在學(xué)習(xí)了“古典概型”定義后,教師引導(dǎo)學(xué)生反思:

反思1請同學(xué)們思考本節(jié)課開始引入的問題:一個袋子里裝有質(zhì)地、大小均相同的4個小球,分別是編號為a,b,c的3個紅球與編號為d的1個黑球.張明和林東玩摸球游戲:從袋子里一次性隨機取出2個小球,如果取出的球顏色一樣,則張明獲勝,否則林東獲勝.大家覺得此游戲是否公平呢?這是“古典概型”問題嗎?請說明理由.

反思2如圖1,向一個圓的內(nèi)部隨機投一顆豆子,這顆豆子等可能地落入圓面內(nèi)任意一點.它是“古典概型”嗎?請說明理由.

圖1 圖2

反思3如圖2,某人隨機向一個靶心射擊,此試驗有如下幾種結(jié)果:“命中10環(huán)”“命中9環(huán)”“命中8環(huán)”“命中7環(huán)”“命中6環(huán)”“命中5環(huán)”與“不中環(huán)”.它是“古典概型”嗎?請說明理由.

案例1中,教師提出了3個經(jīng)典問題,引領(lǐng)學(xué)生比較、判斷.在反思1中,教師故意讓紅球、白球的數(shù)量相差大一些,旨在讓學(xué)生難以憑直覺獲得“游戲是公平”的結(jié)論,以此激發(fā)學(xué)生的探究興趣.通過反思2與反思3,教師讓學(xué)生認(rèn)識到“古典概型”定義中“有限性與等可能性”這兩個基本特征缺一不可.通過反思,促進(jìn)了學(xué)生對“古典概型”內(nèi)涵的理解.

在課堂教學(xué)中,教師應(yīng)為學(xué)生提供豐富的背景知識,引領(lǐng)他們進(jìn)行反思性學(xué)習(xí):一是創(chuàng)設(shè)問題情境,讓學(xué)生通過思考獲得體驗與感悟,積累基本活動經(jīng)驗;二是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比反思,讓學(xué)生通過分析、比較、歸納等“再認(rèn)識”活動,把握概念的本質(zhì)特征,深化對概念的理解,從而提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2 在反思中感悟,使“糾錯”更深刻

由于受年齡特征、思維水平等因素的影響,學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中難免會產(chǎn)生一定的偏差.對于學(xué)生易錯的問題,不少教師采取“告訴”的辦法,直接告訴錯誤的原因和正確解法,學(xué)生似乎懂了,但過后仍“舊病復(fù)發(fā)”.其原因是這種單刀直入的講評往往使犯錯的學(xué)生處于一知半解的狀態(tài),沒能真正認(rèn)識到錯誤的本質(zhì).教學(xué)實踐表明:對于學(xué)生易錯的知識點,不能僅僅依賴正面的示范與不斷重復(fù)的訓(xùn)練,應(yīng)該變“告訴”為“自糾”,即以自身的反思構(gòu)建起對錯誤的認(rèn)識.因此,教師要適時為學(xué)生搭建“犯錯”的平臺,引導(dǎo)學(xué)生對解題過程進(jìn)行再思考,讓學(xué)生在對比正誤中,尋找出錯的根源,在“頓悟”中自我糾錯,并獲得新的規(guī)律與結(jié)論[1].這樣有助于學(xué)生跨越學(xué)習(xí)“高原”,積累基本活動經(jīng)驗,發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

案例2已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,φ>0)的部分圖象如圖3所示,則當(dāng)x∈(0,2π)時,使等式f(x)=f(0)成立的x的取值集合是______.

圖3

這是筆者所在學(xué)校高三一輪復(fù)習(xí)單元考中的一道試題,學(xué)生得分率較低.為了讓學(xué)生在“頓悟”中自我糾錯,教師沒有直接指出錯因,而是引導(dǎo)學(xué)生反思.

教師將學(xué)生中比較典型的一種錯解進(jìn)行投影:

錯解由圖象可得A=1,ω=2,從而

f(x)=sin(2x+φ).

故

因為f(x)=f(0),所以

又因為x∈(0,2π),所以

教師不動聲色,引導(dǎo)學(xué)生反思.

反思1以上解法是否正確?如果有錯,那么錯在何處?請說明理由.

師:觀察函數(shù)圖象,你有什么發(fā)現(xiàn)?

師:好!能把握圖象的特征,利用圖形驗證.

接著,教師將學(xué)生中的正確解法進(jìn)行投影,進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生反思.

故

即

從而

(限于篇幅,余下解答過程略.)

反思3以上方法為何不會出現(xiàn)增解呢?

圖4

通過展示學(xué)生的錯解,引導(dǎo)學(xué)生在合作、交流中探尋出錯的根源,讓學(xué)生原始的隱性的錯誤認(rèn)知“暴露”出來.通過正誤辨析,修正錯誤,不僅提高了學(xué)生思維的嚴(yán)密性,提升了自我監(jiān)控能力,還提煉出了帶有普遍性的規(guī)律,促進(jìn)了深度學(xué)習(xí),發(fā)展了數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 在反思中延展,使“遷移”更自然

在教學(xué)中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多視角、多維度地反思對數(shù)學(xué)定理、公式等規(guī)律的推導(dǎo)過程、思維策略.可引導(dǎo)學(xué)生反思問題特征,領(lǐng)會問題的實質(zhì),并對原問題進(jìn)行引申與拓展,這樣可將解決問題的方法與策略遷移到更廣闊的平臺,使學(xué)生在具有深度思維價值的學(xué)習(xí)活動中達(dá)到思維的進(jìn)階,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

案例3在推導(dǎo)了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程之后,教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生對“橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程”進(jìn)行反思.

反思1對于橢圓與雙曲線定義,應(yīng)怎樣用符號語言進(jìn)行表示?

反思2由等式

推導(dǎo)出了橢圓方程;由等式

推導(dǎo)出了雙曲線方程.大家想一想,我們還可能對哪些方程進(jìn)行推導(dǎo)呢?

反思2使學(xué)生產(chǎn)生了強烈的探究欲望,思維頓時活躍起來.

教師設(shè)置思維含量高的問題,能有效地驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行反思.反思與探索的過程,為學(xué)生匯聚了解決數(shù)學(xué)問題的正能量,使學(xué)生的思維更深刻,掌握知識的層次更有廣度與深度,提升了學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識遷移到新的問題情境中的能力[2].這種自省式的反思一旦成為學(xué)生的主動行為,“深度學(xué)習(xí)”必然不斷取代“淺層學(xué)習(xí)”,從而促使他們以高遠(yuǎn)的觀點、寬廣的視野思考問題、解決問題,讓有限的課堂“生長”出學(xué)生無限的能力,達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心素養(yǎng)的目標(biāo).

4 在反思中浸潤,使“經(jīng)驗”更穩(wěn)固

學(xué)生對知識的理解,需要通過歸納總結(jié)得以深化,因此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行階段性反思是提升學(xué)生學(xué)習(xí)效益的保證.可引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建該階段的思維導(dǎo)圖,引導(dǎo)學(xué)生對本階段的概念、公式、定理和法則進(jìn)行歸納,厘清相近概念、法則之間的邏輯關(guān)系;有針對性地設(shè)計“糾錯練習(xí)”,引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中不斷反思,以達(dá)到識錯、糾錯、防錯的功效.例如,學(xué)習(xí)了“直線的方程”這節(jié)內(nèi)容后,教師可引導(dǎo)學(xué)生做如下反思:1)反思知識結(jié)構(gòu):引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)直線方程5種形式之間是如何相互轉(zhuǎn)化的.2)反思易錯點:在求解直線方程時,如果沒有給出斜率,那么應(yīng)該討論直線的斜率是否存在;直線的截距式方程不能表示過原點的直線,因此運用其方程求解時,如果不能確定截距能否等于0,那么應(yīng)加以討論.3)反思數(shù)學(xué)思想方法:引導(dǎo)學(xué)生運用“坐標(biāo)法”對本單元內(nèi)容進(jìn)行串聯(lián),深化對解析幾何基本思想的認(rèn)識;引導(dǎo)學(xué)生反思、歸納本單元內(nèi)容的主要數(shù)學(xué)思想方法:數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、直接法、待定系數(shù)法等.引導(dǎo)學(xué)生對單元的知識和方法進(jìn)行充分反思,有利于知識的內(nèi)化與遷移,有利于學(xué)生從整體的“高度”駕馭相關(guān)知識,使學(xué)生的認(rèn)識從感性、模仿的層次螺旋上升到理性、創(chuàng)新的層次[3].

毋庸置疑,培養(yǎng)學(xué)生的反思能力不可能是朝夕之功,需日積月累、循序漸進(jìn)、逐步提升.因此,教師應(yīng)把握反思的契機,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思.通過反思性學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生良好的思維模式,不斷提升學(xué)習(xí)能力與元認(rèn)知水平.唯有如此,才能促進(jìn)學(xué)生的思維向高階發(fā)展,從而讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.