王紅

【摘 要】圖像表征是契合小學生年齡特征的、能促進學生理解數(shù)學的活動。借助圖像表征實現(xiàn)文字與圖像之間的相互轉譯，幫助學生理解題意、厘清算理算法、優(yōu)化策略等，最終促進學生數(shù)學理解能力的發(fā)展，提升其數(shù)學學習能力。

【關鍵詞】數(shù)學教學 圖像表征 抽象 形象

表征是認知心理研究領域中的一個核心概念。“一般地，表征是指可反復指代某一事物的任何符號或符號集，它可以用某一種形式將一種事、物、想法、知識重新表現(xiàn)出來?！痹诮虒W中，我們常用的數(shù)學表征有圖像表征、動作表征、符號表征等?！皥D像表征是學生運用已有經(jīng)驗，將腦中‘心里圖畫’用示意圖、草圖等圖式形式表現(xiàn)出來，是對動手操作的糾正、補充、細化和深化，是對數(shù)學理解有意義的心智活動?！倍W生因年齡因素，其心智發(fā)展還不成熟，在數(shù)學學習的過程中較為抽象的知識對他們來說理解較為困難。圖像表征則是小學數(shù)學教學的重要路徑，借助圖像表征可以幫助學生理解概念、厘清算理算法、優(yōu)化策略等，是學生理解數(shù)學知識的重要方式。學生可以借助圖像，用直觀的形式幫助理解，圖像表征讓數(shù)學知識從“抽象”走向“形象”。

一、圖像表征助力題意解析

在數(shù)學學習中，正確理解題意是解決問題的基礎，學生需要從文字中獲取信息、分析信息，然后處理信息。學生在解決問題的過程中出錯或者找不到解題思路，多是因為其對題意的理解不到位，不能準確獲取所需信息或分析信息。此時，學生如果能借助圖像表征把復雜的題目用圖像直觀形象地表現(xiàn)出來，就會有較為清晰的解題思路。蘇霍姆林斯基曾說，如果哪個孩子學會畫應用題，可以有根據(jù)地說，他一定能學會解應用題。由此可見，圖像表征在幫助學生理解題意方面起到了不可或缺的作用。例如，教學蘇教版數(shù)學六年級上冊的“解決問題的策略——轉化”的例2時，教師可以引導學生借助圖像來表示大盒和小盒內球的數(shù)量關系，從而順利解決問題。

【教學片段1】

出示例題：在1個大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是80個。大盒比每個小盒多裝8個，大盒里裝了多少個球？每個小盒呢？

師：經(jīng)過昨天例1的學習，你有什么想法嗎？能說說你的解題思路嗎？

生：可以依據(jù)大、小兩個盒子容量之間的關系把兩種盒子假設成同一種盒子，再計算。

師：嗯，看來你已經(jīng)學會舉一反三了，那請同學們試一試吧。

出示學習要求：

①先自行在導學單上畫一畫，再獨立解答；

②小組交流，組長組織交流，統(tǒng)計方法；

③全班交流。

呈現(xiàn)學生資源。（圖略）

該例題是一個稍復雜的實際問題，兩種大小不同的盒子且不滿足平均分，面對這類純文字的描述且數(shù)量關系復雜的題目，部分學生無法厘清題中的關系并選擇正確的數(shù)量關系解題。此時帶領學生回顧例1的學習，引導其想到可以把兩個不同的量依據(jù)兩者之間的關系假設成同一種量，再借助圖像來分析題目，不管是盒子圖還是示意圖學生都能準確地在圖中表示題意。借助圖像的直觀性，大多數(shù)學生都能找到正確的數(shù)量關系解題。

小學生對較為抽象的問題不能快速反應，需要教師提供一定的輔助。圖像表征就可以發(fā)揮其作用，能夠幫助學生更好地理解題意、厘清關系。圖像表征在學生的學習過程中應用也比較廣泛，如解決長方體和正方體的實際問題、行程問題中的相遇問題、追及問題等都可以借助圖像表征幫助學生理解，讓數(shù)學題目從“抽象”走向“形象。”

二、圖像表征助力算理掌握

小學階段，計算能力是數(shù)學學習的基礎。而數(shù)學算式是數(shù)學問題的高度概括，是抽象化、形式化、符號化的語言，體現(xiàn)了簡潔美。算式作為一種符號語言是較為抽象的，在教學中如果只是讓學生掌握算法而不理解算理是不恰當?shù)?，教師要讓學生不僅知其然更要知其所以然，所以算理的掌握尤為重要。有效運用圖像表征，把算式轉化為圖像，可讓學生在圖像中理解算理、掌握算理。例如，蘇教版數(shù)學六年級上冊的“分數(shù)除法”，分數(shù)本身就較為抽象，且學生在平時的生活中較少運用分數(shù)，所以分數(shù)的計算學生學習時就有難度。算法的應用大多數(shù)學生都能掌握，但是分數(shù)除法的算理理解卻不盡然，因此，在教學時可以借助圖像讓學生充分體驗、表達，從而掌握算理。

【教學片段2】

出示例題：量杯里有升果汁，平均分給兩個小朋友喝，每人能分到多少升？

師：你能根據(jù)數(shù)量關系列式嗎？

生1：總的果汁量÷兩人=每人喝的果汁量，則列式為÷2。

師：÷2這個算式你會解答嗎，在本子上寫一寫你的思考過程。

生1：是4個，把4個平均分成2份，是。

生2：÷2，分子4÷2=2，結果等于。

生3：為什么只需要分子除以2，而分母不除以2呢？

生2：可以用第一位同學的方法驗證，結果是正確的。

師：看來同學們都很會思考，為什么在計算分數(shù)除以整數(shù)的時候只要分子除以整數(shù)，而分母不用除以整數(shù)呢？你們能畫個圖來表示這個算式嗎？

學生嘗試畫圖，有些學生畫圓，也有些學生畫長方形或者正方形，先畫出圖形的，再把圖形的平均分成兩份，每1份則是圖形的。（見圖1）

師：借助圖形一下就看清了，把升果汁平均分成2份，每1份是升。

生：根據(jù)圖形我還知道把升果汁平均分成兩份，其實也就是求升的。

師：你真會舉一反三，把分數(shù)除法和已經(jīng)學過的分數(shù)乘法聯(lián)系起來了。

師：如果量杯里的升果汁要平均分給3個小朋友，每人喝多少升？÷3，4÷3除不盡怎么辦？

生：可以把的分子和分母同時擴大，化成。

師：你能把這個過程畫一畫嗎？

生畫圖。（見圖2）

生：通過圖像我得出÷3=（升）。

師：根據(jù)圖像可以發(fā)現(xiàn)把升平均分成3份，也就是求升的。

師（小結）：分數(shù)除以整數(shù)等于分數(shù)乘這個整數(shù)的倒數(shù)。

在上述教學片段中呈現(xiàn)的是一個較為簡單的教學情境，學生都能在理解數(shù)量關系的基礎上列式，而掌握分數(shù)除以整數(shù)的算理與算法是本節(jié)課的重點。本節(jié)課中把算式轉化為圖形，更加直觀形象地幫助學生理解了分數(shù)除以整數(shù)。在教學÷2時，學生能從分數(shù)的意義出發(fā)，也能借助圖形理解÷2的意義，并且借助圖形勾連了分數(shù)除法與分數(shù)乘法，初步感知到可以把分數(shù)除法轉化為分數(shù)乘法來計算。在探究÷3的過程中，教師引導學生再次借助圖形加以鞏固理解，并在此過程中優(yōu)化了分數(shù)除以整數(shù)的計算方法。學生經(jīng)歷了把抽象的算式轉化為形象的圖形的過程，加深了對計算算理和算法的理解。

計算方法的掌握可以依靠練習，但算理的掌握才是計算教學的本質，算理相較于算法更加抽象，教師若能借助形象的圖像幫助學生理解，相信能讓算理從“抽象”走向“形象”。

三、圖像表征助力策略內化

華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)學中，數(shù)和形是兩個非常重要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉化、相互滲透。在某種意義上，這里的“形”也是圖像表征的一種。例如，教學蘇教版數(shù)學五年級下冊的“解決問題的策略——轉化”時，教師引導學生從數(shù)與計算的角度體會轉化策略的應用過程和特點。學生在解決問題的過程中，初步領會轉化的過程和特點，體會轉化的作用，進一步增強解決問題的策略意識。課堂上，教師引導學生計算一組分數(shù)的和，運用轉化策略把較復雜的計算轉化成簡單計算，為了便于學生更加直觀地理解，設計了以下三次圖像表征活動。

【教學片段3】

初步感悟：你能用不同的方法計算嗎？先觀察算式特征，再思考你有幾種方法計算。

交流算式特征（每個加數(shù)分子都是1，后一個加數(shù)的分母是前一個加數(shù)分母的兩倍；后一個加數(shù)的大小是前一個加數(shù)的一半）。

學生上臺展示自己的方法（通分、化小數(shù)、畫圖）。

師（評價）：有的同學能想到畫圖的方法真是與眾不同，在平時的學習中我們就發(fā)現(xiàn)借助圖形可以使一些信息更直觀。

學生畫圖、交流。

師（追問）：你是怎么得到的？

學生借助圖形（見圖3）講解思考過程：把圖形平均分， 就是整個圖形的一半， 就是剩下圖形的一半，依次類推，剩下的那部分就是，只要用單位1減去就是最后的結果。

師（評價）：聽了你的講解真是讓人豁然開朗，除了可以畫正方形，還可以畫其他圖形來表示這個算式嗎？

生：還可以畫線段圖，更加簡便。

師：你給了同學們一個很好的啟發(fā)，每位同學選擇一個自己喜歡的圖形來表示這個算式，再算一算，并和你的同桌說說你是怎么畫的、怎么想的。

鞏固應用：你能用畫圖的方式計算=（ ）嗎？請在方框里畫出你的思考過程！

學生交流。

小結規(guī)律：從圖形中可以看出最后剩下的一部分與最后一個分數(shù)所表示的大小相同，所以可以把這個復雜的算式轉化成1-，借助圖形更有助于我們理解。

拓展提升：計算++++=

（ ）。在腦中想象一個圖，計算結果是多少？

學生交流思考過程。

小結：有些復雜的算式可以轉化成簡單的算式，借助圖形還能幫我們找到轉化的方法，使計算更加簡便。

此次教學在初步感悟中讓學生用不同方法解決問題，初步感知用畫圖的方法也可以解決這類問題，并且在對比的過程中感受通分和化小數(shù)方法的不足，優(yōu)化畫圖的方法。鞏固應用中又讓每個學生嘗試用畫圖的方法解決，將圖像與算式中每一個分數(shù)勾連，通過直觀的圖像，可以將復雜的算式轉化成簡單的算式，找出其中的計算規(guī)律，更加有助于學生計算和理解。除了動筆畫圖，動腦想圖也是圖像表征的一種形式，動腦想圖就是在腦子里畫圖，這種方式不僅提高了學生解決問題的效率，還促進了學生思維能力的提升。在拓展提升中讓學生借助腦中的圖像再次解決問題，是學生對規(guī)律、方法的再次鞏固與內化。通過這一系列圖像表征活動，找出其中所蘊含的規(guī)律，把復雜的算式通過圖像轉化成簡單的算式，學生經(jīng)歷了從抽象到形象的過程，進行了深層次的思考，形成了深刻的、個性化的認識并豐富了體驗，進一步加深了對轉化策略的理解。

圖像表征是小學數(shù)學教學中的一種重要方法，把抽象難懂的數(shù)學概念、算理算法、策略等與直觀形象的圖像相結合，使復雜問題簡單化、抽象問題形象化，從而幫助學生理解數(shù)學知識，促進學生在數(shù)學上的發(fā)展，為今后的數(shù)學學習奠基。

【參考文獻】

[1]葛素爾.通過圖像表征促進小學數(shù)學理解教學[J].課程教學研究，2012（12）.

[2]李軍.“畫數(shù)學”：給學生一個形象的數(shù)學[J].小學數(shù)學教師，2017（9）.