王沛升 趙琛 李俊陽 周智 顏海 胡錦程

摘 要：柔輪與柔性軸承是諧波減速器的核心零件，往往因為承受交變載荷而發(fā)生疲勞失效。為了更加準(zhǔn)確地分析諧波減速器柔輪與軸承變形規(guī)律與應(yīng)力分布，本文建立了一種含完整柔性軸承的禮帽形諧波減速器模型，采用有限元方法分析了柔輪和柔性軸承在不同載荷下的應(yīng)力分布和變形規(guī)律。研究表明，負(fù)載變化不會顯著影響柔輪與剛輪嚙合齒對的接觸壓力變化；載荷主要是導(dǎo)致柔輪筒體的切應(yīng)力變化，剪切失效是柔輪杯底斷裂的主要原因；軸承滾子及滾道壓力分布在加載后出現(xiàn)了明顯的位置偏載，與目前理論計算時假設(shè)的軸承壓力分布顯著不同。本文分析結(jié)果可為凸輪和柔輪的修形及柔輪的疲勞壽命研究提供參考依據(jù)。

關(guān)鍵詞：諧波減速器； 有限元仿真； 柔性軸承； 應(yīng)力分布； 變形規(guī)律

中圖分類號：TH132.43 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.19452/j.issn1007-5453.2023.07.010

基金項目： 航空科學(xué)基金（202000020Q9001）

諧波減速器依靠柔輪的彈性變形來實現(xiàn)運(yùn)動與動力傳遞的目的，它具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動比大、輕量化和高精度等優(yōu)點，被廣泛用于航空航天、機(jī)器人、精密光學(xué)設(shè)備等機(jī)械領(lǐng)域[1]。諧波減速器在航天衛(wèi)星及其他各類航天器的各種驅(qū)動機(jī)構(gòu)、高精度指向結(jié)構(gòu)和著陸裝置轉(zhuǎn)移機(jī)構(gòu)上得到廣泛應(yīng)用。柔輪作為諧波減速器的核心部件，運(yùn)轉(zhuǎn)過程中在交變載荷的作用下容易發(fā)生疲勞斷裂，這是減速器重要的失效形式，所以研究柔輪的應(yīng)力分布及變形規(guī)律顯得尤為重要[2-3]。隨著計算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，有限元仿真軟件應(yīng)用于各個領(lǐng)域[4-5]。利用有限元仿真軟件不僅可以對減速器運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的分析，還大大節(jié)省了試驗成本。

在諧波減速器的有限元仿真研究中，張寧等[6]提出了一種輪齒齒廓線的修正方法，證明優(yōu)化后的諧波減速器預(yù)計壽命提升超過20%。張超等[7]對柔輪進(jìn)行了疲勞分析，但是計算時把柔輪等效簡化成當(dāng)量厚度的光滑殼體，準(zhǔn)確性不足。楊宇通等[8]使用響應(yīng)面優(yōu)化分析和中心復(fù)合設(shè)計方法發(fā)現(xiàn)較大的外圈溝曲率半徑可減小柔輪和軸承外圈的應(yīng)力，提高柔輪使用壽命。Liu Chunjian 等[9]分析了柔輪的應(yīng)力分布及變形規(guī)律， Dong Huimin等[10]研究了柔輪的變形特性。王亞珍等[11]采用ANSYS Workbench分析了柔性薄壁軸承內(nèi)外套圈在實際工作載荷及預(yù)變形作用下的變形、應(yīng)力以及載荷分布規(guī)律。張林川等[12]使用ANSYS Workbench建立了柔性軸承的參數(shù)化模型，對不同溝曲率半徑系數(shù)的柔性軸承進(jìn)行靜力學(xué)接觸分析，得到了不同參數(shù)的柔性軸承的變形規(guī)律。相關(guān)研究有很多，但目前對諧波減速器柔輪的研究主要集中于杯形柔輪，缺乏對禮帽形柔輪的研究。本文設(shè)計了一種合理簡化的禮帽形諧波減速器模型，分析了不同載荷下柔輪與剛輪的嚙合特性，對柔輪進(jìn)行了應(yīng)力分布和變形規(guī)律分析，通過對柔性軸承的應(yīng)力變形研究驗證了柔輪非線性變形的原因。本文分析結(jié)果為柔輪壽命研究提供了一定的理論依據(jù)。

1 諧波減速器有限元分析模型的建立

本文以某禮帽形諧波減速器為主要分析對象。禮帽形柔輪在負(fù)載增加的情況下所受應(yīng)力的增幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于杯形柔輪的增幅，因此比較適合大負(fù)載傳動[13]，柔輪與剛輪的齒廓采用雙圓弧形式，凸輪為標(biāo)準(zhǔn)橢圓且近似為剛體。根據(jù)減速器負(fù)載和安裝要求，給出柔輪的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，柔輪與鋼輪的基本參數(shù)取值見表1。

柔性軸承作為波發(fā)生器中最主要的組成部分，它與普通軸承有顯著的區(qū)別，柔性軸承的內(nèi)外圈壁厚很小且具有柔性，因此在與凸輪裝配后可以隨著凸輪輪廓曲線產(chǎn)生強(qiáng)制彈性變形。根據(jù)靜力學(xué)分析，滾子在周向的位移主要受保持架約束，各個滾子之間周向間距基本不變，所以在進(jìn)行有限元分析時將波發(fā)生器簡化為不含保持架的柔性軸承和凸輪兩部分。軸承外圈外徑應(yīng)和柔輪變形前的內(nèi)徑相等，柔性軸承的參數(shù)見表2。在三維建模軟件SOLIDWORKS中，以凸輪軸向為Z軸、短軸為X軸、長軸為Y軸完成減速器三維模型的裝配，如圖2所示。

利用CAE前處理軟件ANSA對三維模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，凸輪采用剛性單元，其他可變性單元采用6面體8節(jié)點縮減積分單元C3D8R，網(wǎng)格模型圖如圖3所示。將劃分好的網(wǎng)格模型導(dǎo)入Abaqus中，設(shè)置減速器各部件的材料屬性，選用具有高強(qiáng)度、足夠韌性和淬透性的合金鋼30CrMnSiA作為柔輪材料，剛輪采用強(qiáng)度適中且具有一定抗變形能力的碳素結(jié)構(gòu)鋼（45鋼），柔性軸承選用軸承鋼，凸輪等效為剛性體。在傳動過程中，主要有4對接觸副，分別為柔輪外齒與剛輪內(nèi)齒的接觸、柔輪內(nèi)壁和柔性軸承外圈之間的接觸、凸輪與柔性軸承內(nèi)圈之間的接觸以及柔性軸承內(nèi)部滾子與內(nèi)外圈溝槽之間的接觸。摩擦系數(shù)設(shè)置為0.1，法相剛度系數(shù)為0.1，同時采用增廣拉格朗日算法[14]。打開大變形非線性開關(guān)，柔輪帽檐兩側(cè)都采用固定約束，剛輪只釋放Z軸的旋轉(zhuǎn)自由度，剛性凸輪參考點只被允許沿著Y軸產(chǎn)生位移。

2 柔輪的嚙合特性和應(yīng)力變形分析

2.1 柔輪嚙合特性分析

諧波減速器工作過程中，柔輪（FS）和剛輪（CS）的嚙合齒對和齒面承載情況會對柔輪的變形產(chǎn)生嚴(yán)重的影響，所以柔輪與剛輪的嚙合特性是正確獲取柔輪不同位置應(yīng)變分布規(guī)律必須考慮的因素，圖4給出了不同負(fù)載扭矩下柔輪上接觸齒對數(shù)量和接觸條紋沿著軸線和周向的變化情況。從圖4中可知，在裝配完成沒有負(fù)載的情況下，嚙合齒對存在干涉情況，干涉位置主要在長軸靠近端面處，主要原因是柔輪發(fā)生橢圓變形后其外端面的徑向位移量最大。當(dāng)負(fù)載逐漸增大時，柔輪變形重新進(jìn)行載荷分配，柔輪上參與嚙合的齒對數(shù)也隨之增加，長軸處具有最長嚙合長度，單齒嚙合長度逐漸向杯底靠近。

為進(jìn)一步分析剛輪與柔輪嚙合過程的不同載荷對其嚙合特性的影響規(guī)律，圖5給出了嚙合齒對數(shù)和最大嚙合壓力隨著負(fù)載扭矩的變化情況。從圖5中可知，隨著剛輪上負(fù)載的增加，最大嚙合壓力增大，剛輪和柔輪嚙合齒對數(shù)逐漸上升，兩者變化規(guī)律基本一致；當(dāng)負(fù)載達(dá)到額定負(fù)載時，嚙合齒對數(shù)增至27個齒，由于柔輪的長軸兩端嚙合特性基本一致，可認(rèn)為總嚙合齒對數(shù)達(dá)到54個；負(fù)載為20N·m時，其最大接觸壓力約為197MPa；當(dāng)負(fù)載上升到67N·m時，最大接觸嚙合壓力也上升到了224MPa左右；當(dāng)負(fù)載增大三倍時，其最大接觸壓力只增加了約14%，嚙合齒對數(shù)增加了約68%，柔輪可以在負(fù)載變化下通過有效的周向的彈性變形實現(xiàn)載荷在齒對間的重新分配，所以負(fù)載的變化并不會顯著引起嚙合齒對接觸壓力的變化，所以更應(yīng)該關(guān)注負(fù)載波動給柔輪杯體變形和支撐軸承帶來的影響。

2.2 柔輪應(yīng)力與變形分析

圖6給出了整個柔輪上的等效Mises應(yīng)力分布情況。從圖6中可知，不同載荷下柔輪的Mises應(yīng)力（米塞斯應(yīng)力）分布規(guī)律幾乎一致，即柔輪的最大等效Mises應(yīng)力位于筒體與帽底上的過渡圓弧的長軸和短軸對應(yīng)位置，由于柔輪發(fā)生橢圓變形后，長軸位置是往筒壁外擴(kuò)張的，所以在長軸上形成了壓應(yīng)力，而短軸是往筒內(nèi)拉升的，在短軸位置形成了拉應(yīng)力。由于柔輪齒圈的周向變形導(dǎo)致載荷在齒上重新分配，所以柔輪最大Mises應(yīng)力的位置幾乎都是位于過渡圓角上，且負(fù)載對其影響似乎并不顯著。

但是柔輪失效往往是過渡圓弧的疲勞斷裂導(dǎo)致的，所以有必要考慮負(fù)載作用下引起的應(yīng)力分量變化。圖7給出了空載與負(fù)載為67N·m時柔輪過渡圓弧上剪應(yīng)力的變化情況，從圖7中可知，在空載時過渡圓弧位置剪應(yīng)力在圓弧上的分布主要是由橢圓變形引起的，而在加載后，剪應(yīng)力在圓弧位置顯著增至70MPa，上升幅度約為75%，所以考慮負(fù)載波動影響下柔輪過渡圓弧材料的剪切失效是研究柔輪杯底斷裂的主要因素。

由于嚙合的核心位置為柔輪長軸處，柔輪的實際徑向變形量對嚙合深度也有重要影響，研究柔輪徑向變形量對正確選擇設(shè)計齒形時的理論徑向變形量、凸輪的修型參數(shù)等有重要意義。圖8給出了柔輪長軸位置的徑向變形量和杯體上三個截面位置的周向變形，空載下的周向變形和長軸的徑向變形最大?？蛰d狀態(tài)下，柔輪的周向變形曲線在柔輪長軸兩側(cè)對稱，加載后周向變形曲線均沿著負(fù)載方向發(fā)生了偏移。

柔輪沿著軸向的徑向變形量與距離并不是線性關(guān)系，而是具有非常明顯的非線性特征，在越靠近杯口的位置其非線性特征越明顯，隨著負(fù)載的增加，柔輪的最大徑向變形量逐漸減小，而不同載荷下變形量差別最大的位置并不是柔輪端面，而在靠近端面距離約7mm的位置，即柔輪齒軸向最大嚙合深度位置，該位置嚙合齒數(shù)寬度最長而且嚙合齒數(shù)最多，嚙合齒對分擔(dān)了絕大部分負(fù)載，所以加載后該位置受沿著齒面法向載荷作用產(chǎn)生壓縮變形最大，導(dǎo)致其徑向變形量減小最明顯。

3 柔性軸承應(yīng)力與變形分析

為了進(jìn)一步探究造成柔輪應(yīng)力分布及變形規(guī)律的原因，對同樣具有柔性的薄壁軸承進(jìn)行分析顯得十分必要。圖9為柔性軸承在空載和受載時的徑向變形云圖，從圖9中可知，柔性軸承被剛性凸輪撐開后，其長軸和短軸的最大徑向變形為0.38mm，已知理論的徑向變形量為0.3805mm，與有限元分析結(jié)果基本一致；在鋼輪上施加額定負(fù)載67N·m后，柔性軸承的長、短軸變形略有變化。

加載后柔性軸承外圈的徑向變形量變化較內(nèi)圈變化明顯，圖10詳細(xì)給出了空載和加載狀態(tài)下沿著軸承圓周方向其外圈外端面的徑向變形情況，加載后外圈長軸的徑向變形減小，而短軸增大，這是因為加載后長軸端受到了柔輪上嚙合齒的載荷作用而壓縮長軸，軸承沿著扭矩方向轉(zhuǎn)動，導(dǎo)致短軸的徑向變形增大。

分析了外端面周向的徑向變形后，進(jìn)一步分析軸承外圈長軸位置處沿著軸線方向的徑向變形量，如圖11所示，其中橫坐標(biāo)表示分析位置到軸承外端面的距離，與圖10對應(yīng)處的受載荷軸承長軸位置的徑向變形沿著軸線都變小，且在內(nèi)端面位置達(dá)到最小徑向變形。

為了進(jìn)一步分析軸承在軸向的徑向變形特征，圖12給出了軸承在長軸上的剖面變形云圖。從圖12中可知，實際情況下的柔性軸承變形遠(yuǎn)比等效凸輪復(fù)雜。實際上，由于柔性軸承內(nèi)圈表面與凸輪表面屬于過盈配合，其徑向位移受到凸輪限制，軸向徑向變形基本一致；而軸承外圈沿著軸向卻有非常明顯的傾斜，導(dǎo)致軸承外圈呈現(xiàn)出喇叭口的變形，主要是因為軸承外圈在安裝過程中是由柔性軸承和滾子約束其徑向位移的，所以在柔性軸承裝入柔輪并發(fā)生橢圓變形后，外圈與柔輪內(nèi)壁的接觸是從軸承內(nèi)端面至外端面，導(dǎo)致軸向并不是都與柔輪內(nèi)壁發(fā)生了接觸，這也是柔輪徑向變形量沿著軸向呈現(xiàn)出非線性的主要原因。

柔性軸承的復(fù)雜徑向變形除影響柔輪齒廓設(shè)計外，軸承內(nèi)部的接觸壓力分布也會對軸承的壽命產(chǎn)生重要影響。圖13為軸承外圈在空載和負(fù)載情況下的應(yīng)力分布云圖。從圖13中可知，在空載狀態(tài)下軸承外圈長軸端接觸滾子總數(shù)為5個，且滾子在長軸兩側(cè)對稱分布，滾子與滾道沿著長軸方向呈細(xì)長橢圓形接觸；空載下外圈滾道上最大接觸壓力為318.3MPa，而加載后外圈滾道最大壓力上升到了419.45MPa，滾道上的接觸壓力分布規(guī)律顯著發(fā)生變形，其壓力分布不再對稱，而是向長軸的一側(cè)偏移。

圖14給出了軸承空載和加載下滾子與外圈接觸時滾子的接觸壓力分布情況。從圖中可知，滾子上接觸壓力呈現(xiàn)細(xì)長橢圓形，加載前與外圈接觸的滾子位置具有最大接觸應(yīng)力為529.1MPa，而加載后該位置的接觸壓力上升到679.9MPa，且滾子壓力分布也與滾道類似，沿著長軸一側(cè)偏移。

為了進(jìn)一步分析軸承上的壓力變化情況，圖15給出了軸承外圈滾道上壓力在加載前和加載后沿著周向的分布情況。滾子和內(nèi)圈滾道上加載前后壓力分布與之相似，此處不贅述。加載后滾道壓力峰值顯著升高，且壓力分布不再沿著長軸對稱，而是出現(xiàn)明顯的位置偏載，除了位置偏載外，其壓力沿著扭矩的周向作用方向從長軸位置沿著一側(cè)逐漸減小。通過上述分析結(jié)果可知，柔性軸承滾道上的壓力分布與目前理論計算時假設(shè)的軸承壓力分布顯著不同。

4 結(jié)論

通過研究，可以得出以下結(jié)論：

（1）當(dāng)負(fù)載從20N·m增至67N·m時，柔輪與剛輪的最大接觸壓力只增加了約14%，嚙合齒對數(shù)增加了約68%，表明柔輪可以在負(fù)載變化下通過有效的周向的彈性變形實現(xiàn)載荷在齒對間的重新分配，負(fù)載的變化并不會顯著引起嚙合齒對的接觸壓力的變化。

（2）不同載荷下柔輪的Mises應(yīng)力分布規(guī)律幾乎一致，柔輪的最大等效Mises應(yīng)力位于筒體與帽底過渡圓弧處的長軸與短軸對應(yīng)位置。隨著負(fù)載的增加，切應(yīng)力上升幅度大，剪切失效是柔輪杯底斷裂的主要原因。隨著負(fù)載的增加，柔輪的最大徑向變形量逐漸減小，變化最大的位置并不是柔輪端面，而在柔輪軸向最大嚙合深度位置，該位置嚙合齒數(shù)寬度最長而且嚙合齒數(shù)最多，分擔(dān)了絕大部分負(fù)載。

（3）軸承外圈呈現(xiàn)出喇叭口的變形是柔輪徑向變形量沿著軸向呈現(xiàn)出非線性的主要原因。加載前，軸承滾道和滾珠的壓力沿長軸兩側(cè)對稱分布，加載后其壓力分布會發(fā)生明顯的位置偏移。這些分析結(jié)果可以為柔輪齒廓設(shè)計和實際減速器壽命研究提供理論支撐和幫助。

參考文獻(xiàn)

[1]向珍琳，李霆，楊林，等. 諧波減速器研究現(xiàn)狀及問題研究[J].機(jī)械傳動，2020，44（7）： 151-162. Xiang Zhenlin， Li Ting， Yang Lin， et al. Study on status and problem research of harmonic gear drive[J]. Journal of Mechanical Transmission， 2020， 44（7）： 151-162.（in Chinese）

[2]王亞暉，劉積昊，管恩廣，等. 諧波減速器疲勞失效特征分析[J]. 機(jī)床與液壓，2021， 49（23）： 159-164. Wang Yahui， Liu Jihao， Guan Enguang， et al. Analysis of fatigue failure characteristics of harmonic reducer[J]. Machine Tool & Hydraulics， 2021， 49（23）： 159-164.（in Chinese）

[3]李謙，左昱昱. 諧波減速器柔輪失效模式分析[J]. 機(jī)器人技術(shù)與應(yīng)用，2013（2）： 37-38. Li Qian， Zuo Yuyu. Harmonic reducer flex wheel failure mode analysis[J]. Robot Technique and Application， 2013（2）： 37-38.（in Chinese）

[4]王軒，冮慶庸，張世秋. 平紋編織面板泡沫夾芯結(jié)構(gòu)修補(bǔ)后側(cè)向壓縮有限元漸進(jìn)失效分析[J]. 航空科學(xué)技術(shù)，2022，33（4）： 81-93. Wang Xuan， Gang Qingyong， Zhang Shiqiu. Progressive failure analysis of repaired foam sandwich structure with plain weave faceplate under edgewise compression[J]. Aeronautical Science & Technology， 2022， 33（4）： 81-93.（in Chinese）

[5]陳嘉，李雪兵，徐忠楠，等. 空基回收無人機(jī)頭部擾流場CFD仿真與分析[J]. 航空科學(xué)技術(shù)，2022，33（10）： 103-110. Chen Jia， Li Xuebing， Xu Zhongnan， et al. CFD simulation and analysis of aerial recovery UAV bow wave[J]. Aeronautical Science & Technology， 2022， 33（10）： 103-110.（in Chinese）

[6]張寧，張英杰，李陽帆. 考慮齒輪形變的諧波減速器齒廓優(yōu)化方法[J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報，2019，53（12）： 31-37. Zhang Ning， Zhang Yingjie， Li Yangfan. Optimization method for double-arc tooth profile of harmonic reducer[J]. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2019， 53（12）： 31-37.（in Chinese）

[7]張超，王少萍，邵靖宇. 基于ANSYS的諧波齒輪減速器疲勞壽命仿真分析[J]. 液壓氣動與密封，2012，32（8）： 72-74. Zhang Chao， Wang Shaoping， Shao Jingyu. Simulation analysis of harmonic gear reducer fatigue life based on ANSYS[J]. Hydraulics Pneumatics & Seals， 2012， 32（8）： 72-74.（in Chinese）

[8]楊宇通，曾星宇，石崟，等. 柔性軸承設(shè)計參數(shù)對諧波減速器柔輪疲勞壽命的影響規(guī)律[J]. 機(jī)電信息，2020（17）： 53-55. Yang Yutong， Zeng Xingyu， Shi Yin， et al. The influence of flexible bearing design parameters on the fatigue life of the soft wheel of harmonic reducer[J]. Mechanical and Electrical Information， 2020（17）： 53-55.（in Chinese）

[9]Liu Chunjian， Chen Lijie， Wei Cheng. Deformation and stress analysis of flexspline in harmonic drive based on finite element method[J]. International Journal of Science， 2015， 2（1）： 96-100.

[10]Dong Huimin， Zhu Zhengdu， Zhou Weidong， et al. Dynamic simulation of harmonic gear drives considering tooth profiles parameters optimization[J]. Journal of Computers， 2012， 7（6）： 1419-1436.

[11]王亞珍，趙坤，姜祎， 等. 預(yù)應(yīng)力對柔性薄壁軸承疲勞壽命的影響[J]. 潤滑與密封，2017，42（3）： 54-58. Wang Yazhen， Zhao Kun， Jiang Yi， et al. Influence of prestress on fatigue life of flexible thin wall bearings[J]. Lubrication Engineering， 2017， 42（3）： 54-58.（in Chinese）

[12]張林川，王家序，秦德成，等. 溝曲率半徑系數(shù)對柔性軸承應(yīng)力的影響[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2013，32（5）： 652-655. Zhang Linchuan， Wang Jiaxu， Qin Decheng， et al. Effects of the groove curvature radius coefficients on the flexible bearing’s stress[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering， 2013， 32（5）： 652-655.（in Chinese）

[13]楊超凡，郭棟祥，袁卓俊. 諧波減速器禮帽形柔輪應(yīng)力應(yīng)變分析與參數(shù)優(yōu)化[J]. 艦船電子工程，2021， 41（2）： 164-168. Yang Chaofan， Guo Dongxiang， Yuan Zhuojun. Stress-strain analysis and optimization of top hat-shaped flexspline for harmonic drive[J]. Ship Electronic Engineering， 2021， 41（2）： 164-168.（in Chinese）

[14]Chen Xiaoxia， Lin Shuzhong， Xing Jingzhong. Modeling of flexspline and contact analysis of harmonic drive[J]. Key Engineering Materials， 2010， 419： 597-600.

Meshing Characteristics and Stress Deformation Analysis on Harmonic Reducer

Wang Peisheng， Zhao Chen， Li Junyang， Zhou Zhi， Yan Hai， Hu Jincheng

State Key Laboratory of Mechanical Transmission， Chongqing University， Chongqing 400044， China

Abstract： Flexspline and flexible bearings are the core parts of harmonic reducers， and fatigue failure often occurs due to alternating loads. In order to analyze the deformation law and stress distribution of flexspline and bearings of harmonic reducers more accurately， a topper harmonic reducer model with complete flexible bearings is established， and the stress distribution and deformation law of flexspline and flexible bearings under different loads are analyzed by finite element method. The results show that the load change does not significantly affect the contact pressure change between the flexspline and the rigid gear pair. The load mainly leads to the change of shear stress of the flexspline barrel， and the shear failure is the main reason for the fracture of the bottom of the flexspline. The bearing roller and raceway pressure distribution has obvious position bias load after loading， which is significantly different from the bearing pressure distribution assumed in the current theoretical calculation. The analysis results of this paper can provide a reference for the modification of cams and flexspline and the fatigue life of flexspline.

Key Words： harmonic reducer； finite element simulation； flexible bearings； stress distribution； deformation law