卓麗霞　林敏

［摘 要］對(duì)以抽象函數(shù)為背景，融合原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的一類抽象函數(shù)問(wèn)題的探究，關(guān)鍵是抓住函數(shù)的本質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力。

［關(guān)鍵詞］抽象函數(shù)；解法；探究

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）17-0021-03

函數(shù)性質(zhì)的研究是高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一，近幾年的高考數(shù)學(xué)試題從多角度考查函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力都提出了較高的要求。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征?！?/p>

對(duì)于抽象函數(shù)的考查，多數(shù)以考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性為主，往往可以通過(guò)特殊函數(shù)判別，但若在考查抽象函數(shù)的試題中引入導(dǎo)函數(shù)，加上多選題的題型設(shè)置，對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力就提出了更高的要求。這種題型的解題關(guān)鍵是要抓住函數(shù)的本質(zhì)特征，對(duì)原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，從中抽象出所要求的函數(shù)的性質(zhì)。

一、幾個(gè)結(jié)論

函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性是函數(shù)的重要性質(zhì)，在對(duì)試題的探究過(guò)程中經(jīng)常會(huì)用到以下幾個(gè)一般性的結(jié)論。

結(jié)論1：設(shè)函數(shù)[f（x）]的定義域?yàn)閇R]，

①若[f（x）]關(guān)于（a，b）對(duì)稱，則[f（a）=b]。

②若[f（x）]關(guān)于（a，a），（b，b）對(duì)稱，其中[b>a]，則[f（x）]關(guān)于[（2b-a，2b-a）]對(duì)稱。

證明：①因?yàn)閇f（x）]關(guān)于（a，b）對(duì)稱，則[f（2a-x）=2b-f（x）]，又函數(shù)[f（x）]的定義域?yàn)閇R]，令[x=a]代入式子得[f（a）=b]。

②因?yàn)閇y=f（x）]關(guān)于[（b，b）]對(duì)稱，則[f（2b-x）+f（x）=2b]，其中[x]用[2a-x]代得，[f（2b-2a+x）+f（2a-x）=2b]。又[f（x）]關(guān)于[（a，a）]對(duì)稱，于是[f（2a-x）+f（x）=2a]，則[f（2b-2a+x）=f（x）+2b-2a]，其中[x]用[x+2b]代得，[f（4b-2a+x）=f（x+2b）+2b-2a]。又由[f（2b-x）+f（x）=2b]得，[f（2b+x）=2b-f（-x）]，從而有[f（4b-2a+x）+f（-x）=4b-2a]，即[f（x）]關(guān)于[（2b-a，2b-a）]對(duì)稱。

結(jié)論2：設(shè)函數(shù)[f（x）]及其導(dǎo)函數(shù)[f（x）]的定義域均為[R]，記[g（x）=f（x）]，

①若[f（x）]關(guān)于直線[x=a]對(duì)稱，則[g（x）]關(guān)于[（a，0）]對(duì)稱。

②若[f（x）]關(guān)于[（a，b）]對(duì)稱，則[g（x）]關(guān)于直線[x=a]對(duì)稱。

③若[g（x）]關(guān)于[x=a]對(duì)稱，則[f（x）]關(guān)于[（a，b）]對(duì)稱。

④若[g（x）]關(guān)于[（a，0）]對(duì)稱，且存在[x0∈R]，使[f（x0）=f（2a-x0）]則[f（x）]關(guān)于直線[x=a]對(duì)稱。

證明：①因?yàn)閇f（x）]關(guān)于直線[x=a]對(duì)稱，則[f（2a-x）=f（x）]，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得[f（x）=-f（2a-x）]，即[g（x）=-g（2a-x）]，所以[g（x）]關(guān)于[（a，0）]對(duì)稱。

特殊地，若[f（x）]為偶函數(shù)，則[g（x）]為奇函數(shù)。

②因?yàn)閇f（x）]關(guān)于[（a，b）]對(duì)稱，則[f（2a-x）=2b-f（x）]，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得[f（x）=f（2a-x）]，即[g（x）=g（2a-x）]，所以[g（x）]關(guān)于[x=a]對(duì)稱。

特殊地，若[f（x）]為奇函數(shù)，則[g（x）]為偶函數(shù)。

③因?yàn)閇g（x）]關(guān)于直線[x=a]對(duì)稱，則[g（2a-x）=g（x）]，即[f（x）=f（2a-x）]，所以[f（x）=2b-f（2a-x）]，則[f（x）]關(guān)于[（a，b）]對(duì)稱。

特殊地，若[g（x）]為偶函數(shù)，則[f（x）]不一定為奇函數(shù)。例如[g（x）=cosx+1]，則[f（x）]的解析式可以為[f（x）=sinx+x+1]，滿足[g（x）=f（x）]，但[f（x）]不是奇函數(shù)。

④因?yàn)閇g（x）]關(guān)于[（a，0）]對(duì)稱，則[g（x）=-g（2a-x）]，即[f（x）=-f（2a-x）]，所以[f（2a-x）=m+f（x）]，將[x=x0]代入解得[m=0]，所以[f（2a-x）=f（x）]，則[f（x）]關(guān)于直線[x=a]對(duì)稱。

特殊地，若[g（x）]為奇函數(shù)，則[f（x）]為偶函數(shù)。

推廣到一般情況：若[g（x）]關(guān)于[（a，b）]對(duì)稱，則[f（x）]不一定關(guān)于直線[x=a]對(duì)稱。

證明：由[g（x）]關(guān)于[（a，b）]對(duì)稱可得[g（x）=2b-g（2a-x）]，即[f（x）=2b-f（2a-x）]，所以[f（2a-x）=m+2bx+f（x）]，則[f（x）]不一定關(guān)于直線[x=a]對(duì)稱。

結(jié)論3：

①設(shè)函數(shù)[f（x）]及其導(dǎo)函數(shù)[f（x）]的定義域均為[R]，記[g（x）=f（x）]，若[f（x）]是以[T]為周期的函數(shù)，則[g（x）]也是以[T]為周期的函數(shù)。

②設(shè)函數(shù)[f（x）]及[g（x）]的定義域均為[R]，[f（x）+g（x）=m]，若[f（x）]是以[T]為周期的函數(shù)，則[g（x）]也是以[T]為周期的函數(shù)。

證明：①由[f（x）]是以[T]為周期的函數(shù)得[f（x+T）=f（x）]，求導(dǎo)得[f（x+T）=f（x）]，即[g（x+T）=g（x）]，即[g（x）]也是以[T]為周期的函數(shù)。

說(shuō)明：若[g（x）]是以[T]為周期的函數(shù)，則[f（x）]不一定是周期函數(shù)。

由[g（x）]是以[T]為周期的函數(shù)可得[g（x+T）=g（x）]，即[f（x+T）=f（x）]，則[f（x+T）=f（x）+m]，當(dāng)[m=0]時(shí)，[f（x）]是以[T]為周期的函數(shù)；當(dāng)[m≠0]時(shí)，[f（x）]不是周期函數(shù)。

②由[f（x）]是以[T]為周期的函數(shù)得[f（x+T）=f（x）]，又因?yàn)閇g（x）=m-f（x）]，則[g（x+T）=m-f（x+T）=m-f（x）=g（x）]，所以[g（x）]也是以[T]為周期的函數(shù)。

二、解題探究

［例1］已知函數(shù)[f（x）]及其導(dǎo)函數(shù)[f（x）]的定義

用特殊函數(shù)解決這類問(wèn)題，一方面由于多選題選項(xiàng)的設(shè)置，可能會(huì)誤選了個(gè)別選項(xiàng)；另一方面在平時(shí)教學(xué)中，由于特殊函數(shù)不具備一般性，若只以特殊函數(shù)來(lái)解決這一類型的函數(shù)問(wèn)題，過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)該抓住本質(zhì)。本題的解答把函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化并抽象出一般的函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力、概括抽象能力以及函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，提高學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性。

［例2］設(shè)定義在[R]上的函數(shù)[f（x）]與[g（x）]的導(dǎo)函數(shù)分別為[f（x）]和[g（x）]，若[g（x）=f（2x-1）-2x]且[f（x）]與[g（x+1）]均為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法中一定正確的是（ ）。

[A.] [f（1）=1]? ? ? ? ? ? ? ?[B.] [f（2023）=2023]

評(píng)注：本題以[g（x）=f（2x-1）-2x]這個(gè)關(guān)系式作為載體，本質(zhì)上還是探究原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系。對(duì)于這種類型的題目，特殊的函數(shù)就不好確定，那么如何將原函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化到導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)就是關(guān)鍵，可以善用以下兩點(diǎn)：一個(gè)是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；二是函數(shù)圖象的平移伸縮變換，在進(jìn)行圖象變換的同時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸或者對(duì)稱中心也進(jìn)行了相應(yīng)的變換。

［例3］已知函數(shù)[f（x）]，[g（x）]的定義域?yàn)閇R]，[g（x）]為[g（x）]的導(dǎo)函數(shù)，且[f（x）+g（x）-10=0]，[f（x）-g（4-x）-10=0]，若[g（x）]為偶函數(shù)，則下列一定成立的有（ ）。

[A.] [f（2）=10]? ? ? ? ? ? ? ? [B.] [f（4）=10]

[C.] [f（-1）=f（-3）]? ? ? ?[D.] [f（2023）=0]

解：若[g（x）]為偶函數(shù)，即[y=g（x）]圖象關(guān)于[x=0]對(duì)稱，由結(jié)論2中①得，[y=g（x）]圖象關(guān)于[（0，0）]對(duì)稱，[y=g（4-x）]圖象關(guān)于[（4，0）]對(duì)稱。又[f（x）+g（x）-10=0]，即[f（x）=10-g（x）]，則[f（x）]的圖象關(guān)于[（0，10）]對(duì)稱，由結(jié)論1中①得[f（0）=10]。因?yàn)閇f（x）-10=g（4-x）=-g（x）=g（-x）]，所以[g（x）]是以[4]為周期的函數(shù)，由結(jié)論3中②得，[y=f（x）]是以[4]為周期的函數(shù)。又由結(jié)論3中①得，[y=f（x）]也是以[4]為周期的函數(shù)。由[g（4-x）=-g（x）]，令[x=2]得，[g（2）=0]，則[f（2）=10-g（2）=10]，故選項(xiàng)[A]正確。由[f（0）=10]和[f（x）]是以[4]為周期的函數(shù)得[f（4）=10]，故選項(xiàng)[B]正確。由[f（x）]的圖象關(guān)于[（0，10）]對(duì)稱和結(jié)論2中②得，[f（x）]關(guān)于[x=0]對(duì)稱，所以[f（-1）=f（3）=f（-3）]，故選項(xiàng)[C]正確。[f（2023）=f（4×505+3）=f（3）]，當(dāng)[f（3）≠0]時(shí)，[f（2023）≠0]，故選項(xiàng)[D]錯(cuò)誤，應(yīng)選[A、B、C]。

評(píng)注：該題給出兩個(gè)函數(shù)的原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)關(guān)系式，呈現(xiàn)出開(kāi)放、綜合、靈活、多樣的特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)需要解決兩大關(guān)鍵問(wèn)題：數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理。從例2中一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系拓寬到兩個(gè)函數(shù)，提升了高度，挖掘了深度，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)和提升。

抽象函數(shù)問(wèn)題是一類綜合性比較強(qiáng)的問(wèn)題，抽象性強(qiáng)，靈活性大，試題入口廣，對(duì)于數(shù)學(xué)抽象能力不足的學(xué)生可以尋找具體的函數(shù)模型，也可以借助函數(shù)圖象通過(guò)觀察和分析圖象的特征得到函數(shù)的性質(zhì)，但碰到具體函數(shù)模型或者圖象不好確定時(shí)，學(xué)生還可以通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，將不同的函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，利用已有的結(jié)論對(duì)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性進(jìn)行分析，從而解決這一類型問(wèn)題，讓不同層次的學(xué)生在面對(duì)這一類抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，都能得到解題的思路和方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力的發(fā)展。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 莫定勇，唐小榮，吳萬(wàn)興.引導(dǎo)教學(xué)：彰顯高考試題的核心價(jià)值［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（28）：33-34.