基于改進(jìn)指數(shù)趨近律的永磁同步電機(jī)滑?？刂?/h1>
2023-09-20 11:54:58諸德宏高齊
農(nóng)業(yè)裝備與車輛工程 2023年9期
諸德宏，高齊
（212013 江蘇省 鎮(zhèn)江市 江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院）
0 引言
伴隨著材料科學(xué)的發(fā)展，永磁同步電機(jī)（以下簡稱PMSM）因其結(jié)構(gòu)簡單、功率密度高、轉(zhuǎn)子損耗小、起動(dòng)轉(zhuǎn)矩大等許多優(yōu)點(diǎn)[1]，在越來越多的伺服系統(tǒng)領(lǐng)域中得到運(yùn)用，包括航天、電動(dòng)汽車以及農(nóng)業(yè)電氣設(shè)備領(lǐng)域等[2]。
PMSM 的控制系統(tǒng)性能與控制算法相關(guān)，工業(yè)上常用的傳統(tǒng)矢量控制采用的是雙閉環(huán)控制，即轉(zhuǎn)速外環(huán)和電流內(nèi)環(huán)的控制策略，2 種控制環(huán)均采用PI 控制器[3]。對(duì)控制要求不高的系統(tǒng)，PI 控制已能滿足基本要求，但對(duì)控制精度要求高的系統(tǒng)，PMSM 的非線性、強(qiáng)耦合的特點(diǎn)會(huì)使PI 控制效果大打折扣，對(duì)此，專家學(xué)者提出了多種控制器替代PI 控制器[4-5]。Wang 等[6]設(shè)計(jì)了一種滑模變結(jié)構(gòu)高性能PMSM 直接轉(zhuǎn)矩控制的系統(tǒng)，缺點(diǎn)是增加了控制系統(tǒng)的復(fù)雜性；Shi 等[7]提出一種新型趨近律，并設(shè)計(jì)了滑模速度控制器，將觀測值補(bǔ)償?shù)剿俣瓤刂破髦?，提升了控制系統(tǒng)抗擾性；Jiang 等[8]采用混合趨近律的滑模觀測器，能夠有效減小轉(zhuǎn)速觀測誤差，抑制轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，提高系統(tǒng)的觀測精度和動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能；余江等[9]在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上，分析解決超調(diào)大、抖振幅度大等問題，并將符號(hào)函數(shù)進(jìn)行平滑處理；楊小聰[10]為優(yōu)化PMSM 速度調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，研究了使用滑動(dòng)模式控制的非線性速度控制算法；金晶等[11]提出了一種用于PMSM 伺服系統(tǒng)的自適應(yīng)卡爾曼觀測器（SAKO），SAKO 可以彌補(bǔ)分辨率有限的絕對(duì)編碼器的測量噪聲，避免傳統(tǒng)測速方法的微分過程和濾波延遲。高為炳[12]通過對(duì)設(shè)計(jì)的滑?？刂坪虳PCC 反饋來補(bǔ)償估計(jì)值，以提高速度魯棒性和當(dāng)前跟蹤精度；付東學(xué)等[13]通過對(duì)傳統(tǒng)終端滑?？刂七M(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)了一種具有非奇異性的改進(jìn)型快速終端滑模控制策略，該方法可以有效地抑制傳統(tǒng)終端滑?？刂浦写嬖诘亩墩瘳F(xiàn)象，減小了奇異性對(duì)系統(tǒng)造成的影響，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。同時(shí)，為了估計(jì)系統(tǒng)擾動(dòng)中存在的不確定參數(shù)，在滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)中引入了自適應(yīng)控制，削弱了擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，提高了系統(tǒng)的魯棒性，但由于整體算法設(shè)計(jì)較為復(fù)雜，導(dǎo)致狀態(tài)變量較難定義；Chen 等[14]通過改進(jìn)傳統(tǒng)滑模面，提出了一種基于分?jǐn)?shù)階滑模面的滑?？刂品椒?，該方法有效地減弱了系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)在滑模面上向平衡點(diǎn)滑動(dòng)過程中存在的抖振現(xiàn)象，優(yōu)化了系統(tǒng)的跟蹤性能。為進(jìn)一步減弱擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，該方法引入了自適應(yīng)模糊觀測器來觀測并補(bǔ)償系統(tǒng)的擾動(dòng)項(xiàng)，但由于模糊規(guī)則的存在，設(shè)計(jì)需要大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，導(dǎo)致設(shè)計(jì)過程十分復(fù)雜。綜上所述，優(yōu)秀的算法的確可以提高系統(tǒng)的控制效果和跟蹤性能，但同時(shí)也增大了系統(tǒng)的計(jì)算量和計(jì)算難度。因此，要想獲得更加優(yōu)異的控制效果就必須為滑?？刂破髟O(shè)計(jì)一個(gè)合理的趨近律。
本文提出了一種基于改進(jìn)指數(shù)趨近律的新型PMSM 滑模變結(jié)構(gòu)控制策略,改進(jìn)的指數(shù)趨近律通過引入更加平滑的fal（s，α，δ）函數(shù)，代替?zhèn)鹘y(tǒng)的sgn（s）函數(shù)，并改進(jìn)了趨近時(shí)的函數(shù)，進(jìn)而提升了系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)在接近滑模面時(shí)的切換效果和趨近速率。通過李雅普諾夫（Lyapunov）函數(shù)，驗(yàn)證了改進(jìn)趨近律的穩(wěn)定性。最后通過仿真對(duì)比傳統(tǒng)指數(shù)趨近律和快速指數(shù)趨近律，結(jié)果表明由該趨近律設(shè)計(jì)的速度控制器具有良好的控制性能，有效削減了系統(tǒng)的抖振，提高了系統(tǒng)的快速性和魯棒性。
1 改進(jìn)趨近律設(shè)計(jì)
1.1 傳統(tǒng)指數(shù)趨近律
式（1）中的傳統(tǒng)指數(shù)趨近律[15]分為2 部分：等速趨近項(xiàng)εsgn（s）和指數(shù)項(xiàng)趨近項(xiàng)ks。系統(tǒng)處于起動(dòng)階段時(shí)|s|較大，此時(shí)指數(shù)項(xiàng)起主要作用，迫使系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)快速趨近于滑模面；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)接近滑模面時(shí)，等速項(xiàng)起主要作用，此時(shí)系統(tǒng)趨近速度由系數(shù)ε決定。
對(duì)于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律，當(dāng)s＞0 時(shí)有
假設(shè)t=0 時(shí)，s=s0，化簡式（2）有
式（3）中的系數(shù)ε和k分別決定了等速項(xiàng)和指數(shù)項(xiàng)的趨近速度。由式（3）可直接看出，增大相關(guān)系數(shù)的確可以加快系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)到達(dá)滑模面的時(shí)間，但同時(shí)也會(huì)加劇到達(dá)滑模面后的抖振，導(dǎo)致減小趨近時(shí)間和削弱滑模抖振的矛盾。
1.2 快速指數(shù)趨近律
如式（4）所示
式中：ε＞q，q＞0，a＞0，b＞0。
通過引入變量函數(shù)[16-17]，改善了系統(tǒng)性能，雖然超調(diào)和抖振得到有效抑制，但系統(tǒng)的響應(yīng)速度變慢，同時(shí)增加了系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)離滑模面較遠(yuǎn)時(shí)，變量函數(shù)趨近速度大，系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)快速接近滑模面，但由于符號(hào)函數(shù)的存在，系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)在到達(dá)滑模面后會(huì)出現(xiàn)劇烈抖動(dòng)，影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能[18-19]。
1.3 改進(jìn)指數(shù)趨近律
為了減少傳統(tǒng)指數(shù)趨近律和快速指數(shù)趨近律接近滑模面[20]時(shí)符號(hào)函數(shù)帶來的抖振，設(shè)計(jì)并提出了一種改進(jìn)的指數(shù)趨近律。
式（5）中fal（s，α，δ）的表達(dá)式為
式中：α——非線性影響因子；δ——濾波影響因子；x1——系統(tǒng)狀態(tài)變量，x1=ωr-ωm。k1＞0，k2＞0，0＜α＜1，δ＞0，1 ＜γ＜2，β＞0。
式（5）引入的fal（s，α，δ）是一種非線性連續(xù)函數(shù)，具有快速收斂的特性，替代原來的sgn（s）函數(shù)，使得滑模控制的滑動(dòng)過程更加平滑，同時(shí)減少了系統(tǒng)的抖振。
1.4 改進(jìn)指數(shù)趨近律穩(wěn)定性分析
構(gòu)建Lyapunov 函數(shù)，驗(yàn)證改進(jìn)后的新型趨近律的穩(wěn)定性，驗(yàn)證過程為
由于sgn（s）與s同號(hào)，ssgn（s）＞0，所以。
比較3 種趨近律的收斂性，效果如圖1 所示。由圖1 可以明顯看出，改進(jìn)后的趨近律相比傳統(tǒng)指數(shù)趨近律、快速指數(shù)趨近律在控制效果和控制時(shí)間上都得到了改善。
圖1 趨近律收斂性比較Fig.1 Comparison of the convergence of reaching law
2 滑模速度控制器設(shè)計(jì)
2.1 PMSM 數(shù)學(xué)模型
在假設(shè)電機(jī)元件、運(yùn)行條件為理想狀態(tài)的前提下，簡化電機(jī)數(shù)學(xué)模型。對(duì)于表貼式PMSM，在id=0 的條件下，選取旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d-q軸下的數(shù)學(xué)模型，PMSM 定子電壓方程為
由式（11）化簡得：
式中：ud，uq，id，iq——d，q軸的電壓和電流；Rs——定子電阻；Ls——定子電感；ωe，ωm——電氣角速度和機(jī)械角速度；φf——磁鏈；Pn——電機(jī)極對(duì)數(shù)。電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程和機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為
式中：Te——電磁轉(zhuǎn)矩；TL——負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。
2.2 控制器設(shè)計(jì)
構(gòu)建PMSM 系統(tǒng)的狀態(tài)變量
式中：ωr——電機(jī)的給定轉(zhuǎn)速。
選取的滑模面函數(shù)為
式中：c1——待設(shè)計(jì)的參數(shù)。
對(duì)式（17）兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：
結(jié)合式（5）中提出的改進(jìn)型趨近律與式（18）可得控制器u的表達(dá)式為
對(duì)u積分可得q軸的參考電流的表達(dá)式為
3 仿真結(jié)果分析
根據(jù)參考電流的表達(dá)式，在MATLAB 中的Simulink 模塊搭建速度控制器的仿真模型。PMSM電機(jī)相關(guān)參數(shù)如表1 所示。
表1 電機(jī)參數(shù)Tab.1 Motor parameters
控制算法中的相關(guān)參數(shù)取值如表2 所示。
表2 控制算法參數(shù)設(shè)置Tab.2 Control algorithm parameter settings
系統(tǒng)給定轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，并在0.2 s 時(shí)突加負(fù)載，觀察系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩和電流變化。PMSM 控制系統(tǒng)的MATLAB 仿真結(jié)構(gòu)圖如圖2 所示，由電流環(huán)和轉(zhuǎn)速環(huán)雙閉環(huán)組成。電流環(huán)仍采用普通的PI 控制，轉(zhuǎn)速環(huán)加入了改進(jìn)指數(shù)趨近律的滑模速度控制器。對(duì)比傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器、快速指數(shù)趨近律控制器和本文的改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器，三者的轉(zhuǎn)速仿真結(jié)果如圖3 所示。
圖2 MATLAB 仿真結(jié)構(gòu)圖Fig.2 MATLAB simulation structure diagram
圖3 3 種指數(shù)趨近律下轉(zhuǎn)速控制比較Fig.3 Comparison of speed control under three exponential reaching laws
圖3（a）為改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線，起動(dòng)階段有斜率的變化是由于系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)接近滑模面，fal(s,α,δ)切換所導(dǎo)致的，這使得起動(dòng)速度略微下降，但相較于傳統(tǒng)趨近律控制器和快速趨近律控制器下的起動(dòng)轉(zhuǎn)速，改進(jìn)后的趨近律仍有較好的作用。圖3（b）為快速指數(shù)趨近律控制器下轉(zhuǎn)速的響應(yīng)曲線，相較于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器，在起動(dòng)階段的超調(diào)得到了很好的抑制，但響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間延長了，且對(duì)于負(fù)載擾動(dòng)變化較為敏感。圖3（c）為傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器下的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線，其優(yōu)點(diǎn)是系統(tǒng)的響應(yīng)速度快，缺點(diǎn)是超調(diào)量較大，對(duì)于穩(wěn)定性要求較高的控制系統(tǒng)，傳統(tǒng)趨近律控制器很明顯不能達(dá)到控制要求。
從圖3（d）對(duì)比中的仿真效果來看，在起動(dòng)階段，傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器雖然趨近速快，但超調(diào)量較大，到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間也較長；快速指數(shù)趨近律控制器改善了傳統(tǒng)趨近律的超調(diào)情況，但同時(shí)導(dǎo)致到達(dá)穩(wěn)定的時(shí)間過長；改進(jìn)指數(shù)趨近律可以很明顯地看到，由于非線性因子的作用，系統(tǒng)的超調(diào)情況和快速性都得到了很好的改善。同時(shí)，對(duì)于圖3（e）中的突變負(fù)載的擾動(dòng)，改進(jìn)指數(shù)趨近律也同樣表現(xiàn)了良好的控制性能。
圖4（a）為改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器下的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線，在起動(dòng)階段，改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間更短，這說明了控制方法的快速性，同時(shí)在到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的過程中，改進(jìn)后的控制器對(duì)于系統(tǒng)擾動(dòng)具有更好的抑制作用。圖4（b）為快速指數(shù)趨近律控制器下的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線，該方法減小了系統(tǒng)起動(dòng)階段的超調(diào)，但同時(shí)導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間延長，且轉(zhuǎn)矩對(duì)于系統(tǒng)擾動(dòng)敏感，系統(tǒng)的魯棒性差。圖4（c）為傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器下的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線，其最明顯的問題在于超調(diào)過大。通過圖4（d）對(duì)比可以看出，在起動(dòng)階段，改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器相較于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器和快速指數(shù)趨近律控制器而言，系統(tǒng)抖動(dòng)更小，到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的過程更加穩(wěn)定。對(duì)于突加的擾動(dòng)，改進(jìn)后的趨近律響應(yīng)更為迅速，但存在一定的超調(diào)問題。
圖4 轉(zhuǎn)矩在不同趨近律下的響應(yīng)Fig.4 Response of torque under different reaching laws
4 結(jié)論
本文通過引入fal（s，α，δ）函數(shù)，并改進(jìn)了趨近時(shí)的函數(shù)，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的指數(shù)趨近律，分析了收斂性，驗(yàn)證了趨近效果，并設(shè)計(jì)出了基于該趨近律的滑模速度控制器，將控制器運(yùn)用到了PMSM的速度控制中。通過仿真驗(yàn)證了改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器的快速性以及抑制抖振的性能，并將其與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器和快速指數(shù)趨近律控制器進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器提高了系統(tǒng)的魯棒性和快速性，優(yōu)化了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。
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伴隨著材料科學(xué)的發(fā)展，永磁同步電機(jī)（以下簡稱PMSM）因其結(jié)構(gòu)簡單、功率密度高、轉(zhuǎn)子損耗小、起動(dòng)轉(zhuǎn)矩大等許多優(yōu)點(diǎn)[1]，在越來越多的伺服系統(tǒng)領(lǐng)域中得到運(yùn)用，包括航天、電動(dòng)汽車以及農(nóng)業(yè)電氣設(shè)備領(lǐng)域等[2]。
PMSM 的控制系統(tǒng)性能與控制算法相關(guān)，工業(yè)上常用的傳統(tǒng)矢量控制采用的是雙閉環(huán)控制，即轉(zhuǎn)速外環(huán)和電流內(nèi)環(huán)的控制策略，2 種控制環(huán)均采用PI 控制器[3]。對(duì)控制要求不高的系統(tǒng)，PI 控制已能滿足基本要求，但對(duì)控制精度要求高的系統(tǒng)，PMSM 的非線性、強(qiáng)耦合的特點(diǎn)會(huì)使PI 控制效果大打折扣，對(duì)此，專家學(xué)者提出了多種控制器替代PI 控制器[4-5]。Wang 等[6]設(shè)計(jì)了一種滑模變結(jié)構(gòu)高性能PMSM 直接轉(zhuǎn)矩控制的系統(tǒng)，缺點(diǎn)是增加了控制系統(tǒng)的復(fù)雜性；Shi 等[7]提出一種新型趨近律，并設(shè)計(jì)了滑模速度控制器，將觀測值補(bǔ)償?shù)剿俣瓤刂破髦?，提升了控制系統(tǒng)抗擾性；Jiang 等[8]采用混合趨近律的滑模觀測器，能夠有效減小轉(zhuǎn)速觀測誤差，抑制轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，提高系統(tǒng)的觀測精度和動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能；余江等[9]在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上，分析解決超調(diào)大、抖振幅度大等問題，并將符號(hào)函數(shù)進(jìn)行平滑處理；楊小聰[10]為優(yōu)化PMSM 速度調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，研究了使用滑動(dòng)模式控制的非線性速度控制算法；金晶等[11]提出了一種用于PMSM 伺服系統(tǒng)的自適應(yīng)卡爾曼觀測器（SAKO），SAKO 可以彌補(bǔ)分辨率有限的絕對(duì)編碼器的測量噪聲，避免傳統(tǒng)測速方法的微分過程和濾波延遲。高為炳[12]通過對(duì)設(shè)計(jì)的滑?？刂坪虳PCC 反饋來補(bǔ)償估計(jì)值，以提高速度魯棒性和當(dāng)前跟蹤精度；付東學(xué)等[13]通過對(duì)傳統(tǒng)終端滑?？刂七M(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)了一種具有非奇異性的改進(jìn)型快速終端滑模控制策略，該方法可以有效地抑制傳統(tǒng)終端滑?？刂浦写嬖诘亩墩瘳F(xiàn)象，減小了奇異性對(duì)系統(tǒng)造成的影響，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。同時(shí)，為了估計(jì)系統(tǒng)擾動(dòng)中存在的不確定參數(shù)，在滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)中引入了自適應(yīng)控制，削弱了擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，提高了系統(tǒng)的魯棒性，但由于整體算法設(shè)計(jì)較為復(fù)雜，導(dǎo)致狀態(tài)變量較難定義；Chen 等[14]通過改進(jìn)傳統(tǒng)滑模面，提出了一種基于分?jǐn)?shù)階滑模面的滑?？刂品椒?，該方法有效地減弱了系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)在滑模面上向平衡點(diǎn)滑動(dòng)過程中存在的抖振現(xiàn)象，優(yōu)化了系統(tǒng)的跟蹤性能。為進(jìn)一步減弱擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，該方法引入了自適應(yīng)模糊觀測器來觀測并補(bǔ)償系統(tǒng)的擾動(dòng)項(xiàng)，但由于模糊規(guī)則的存在，設(shè)計(jì)需要大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，導(dǎo)致設(shè)計(jì)過程十分復(fù)雜。綜上所述，優(yōu)秀的算法的確可以提高系統(tǒng)的控制效果和跟蹤性能，但同時(shí)也增大了系統(tǒng)的計(jì)算量和計(jì)算難度。因此，要想獲得更加優(yōu)異的控制效果就必須為滑?？刂破髟O(shè)計(jì)一個(gè)合理的趨近律。
本文提出了一種基于改進(jìn)指數(shù)趨近律的新型PMSM 滑模變結(jié)構(gòu)控制策略,改進(jìn)的指數(shù)趨近律通過引入更加平滑的fal（s，α，δ）函數(shù)，代替?zhèn)鹘y(tǒng)的sgn（s）函數(shù)，并改進(jìn)了趨近時(shí)的函數(shù)，進(jìn)而提升了系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)在接近滑模面時(shí)的切換效果和趨近速率。通過李雅普諾夫（Lyapunov）函數(shù)，驗(yàn)證了改進(jìn)趨近律的穩(wěn)定性。最后通過仿真對(duì)比傳統(tǒng)指數(shù)趨近律和快速指數(shù)趨近律，結(jié)果表明由該趨近律設(shè)計(jì)的速度控制器具有良好的控制性能，有效削減了系統(tǒng)的抖振，提高了系統(tǒng)的快速性和魯棒性。
1 改進(jìn)趨近律設(shè)計(jì)
1.1 傳統(tǒng)指數(shù)趨近律
式（1）中的傳統(tǒng)指數(shù)趨近律[15]分為2 部分：等速趨近項(xiàng)εsgn（s）和指數(shù)項(xiàng)趨近項(xiàng)ks。系統(tǒng)處于起動(dòng)階段時(shí)|s|較大，此時(shí)指數(shù)項(xiàng)起主要作用，迫使系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)快速趨近于滑模面；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)接近滑模面時(shí)，等速項(xiàng)起主要作用，此時(shí)系統(tǒng)趨近速度由系數(shù)ε決定。
對(duì)于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律，當(dāng)s＞0 時(shí)有
假設(shè)t=0 時(shí)，s=s0，化簡式（2）有
式（3）中的系數(shù)ε和k分別決定了等速項(xiàng)和指數(shù)項(xiàng)的趨近速度。由式（3）可直接看出，增大相關(guān)系數(shù)的確可以加快系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)到達(dá)滑模面的時(shí)間，但同時(shí)也會(huì)加劇到達(dá)滑模面后的抖振，導(dǎo)致減小趨近時(shí)間和削弱滑模抖振的矛盾。
1.2 快速指數(shù)趨近律
如式（4）所示
式中：ε＞q，q＞0，a＞0，b＞0。
通過引入變量函數(shù)[16-17]，改善了系統(tǒng)性能，雖然超調(diào)和抖振得到有效抑制，但系統(tǒng)的響應(yīng)速度變慢，同時(shí)增加了系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)離滑模面較遠(yuǎn)時(shí)，變量函數(shù)趨近速度大，系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)快速接近滑模面，但由于符號(hào)函數(shù)的存在，系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)在到達(dá)滑模面后會(huì)出現(xiàn)劇烈抖動(dòng)，影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能[18-19]。
1.3 改進(jìn)指數(shù)趨近律
為了減少傳統(tǒng)指數(shù)趨近律和快速指數(shù)趨近律接近滑模面[20]時(shí)符號(hào)函數(shù)帶來的抖振，設(shè)計(jì)并提出了一種改進(jìn)的指數(shù)趨近律。
式（5）中fal（s，α，δ）的表達(dá)式為
式中：α——非線性影響因子；δ——濾波影響因子；x1——系統(tǒng)狀態(tài)變量，x1=ωr-ωm。k1＞0，k2＞0，0＜α＜1，δ＞0，1 ＜γ＜2，β＞0。
式（5）引入的fal（s，α，δ）是一種非線性連續(xù)函數(shù)，具有快速收斂的特性，替代原來的sgn（s）函數(shù)，使得滑模控制的滑動(dòng)過程更加平滑，同時(shí)減少了系統(tǒng)的抖振。
1.4 改進(jìn)指數(shù)趨近律穩(wěn)定性分析
構(gòu)建Lyapunov 函數(shù)，驗(yàn)證改進(jìn)后的新型趨近律的穩(wěn)定性，驗(yàn)證過程為
由于sgn（s）與s同號(hào)，ssgn（s）＞0，所以。
比較3 種趨近律的收斂性，效果如圖1 所示。由圖1 可以明顯看出，改進(jìn)后的趨近律相比傳統(tǒng)指數(shù)趨近律、快速指數(shù)趨近律在控制效果和控制時(shí)間上都得到了改善。
圖1 趨近律收斂性比較Fig.1 Comparison of the convergence of reaching law
2 滑模速度控制器設(shè)計(jì)
2.1 PMSM 數(shù)學(xué)模型
在假設(shè)電機(jī)元件、運(yùn)行條件為理想狀態(tài)的前提下，簡化電機(jī)數(shù)學(xué)模型。對(duì)于表貼式PMSM，在id=0 的條件下，選取旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d-q軸下的數(shù)學(xué)模型，PMSM 定子電壓方程為
由式（11）化簡得：
式中：ud，uq，id，iq——d，q軸的電壓和電流；Rs——定子電阻；Ls——定子電感；ωe，ωm——電氣角速度和機(jī)械角速度；φf——磁鏈；Pn——電機(jī)極對(duì)數(shù)。電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程和機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為
式中：Te——電磁轉(zhuǎn)矩；TL——負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。
2.2 控制器設(shè)計(jì)
構(gòu)建PMSM 系統(tǒng)的狀態(tài)變量
式中：ωr——電機(jī)的給定轉(zhuǎn)速。
選取的滑模面函數(shù)為
式中：c1——待設(shè)計(jì)的參數(shù)。
對(duì)式（17）兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：
結(jié)合式（5）中提出的改進(jìn)型趨近律與式（18）可得控制器u的表達(dá)式為
對(duì)u積分可得q軸的參考電流的表達(dá)式為
3 仿真結(jié)果分析
根據(jù)參考電流的表達(dá)式，在MATLAB 中的Simulink 模塊搭建速度控制器的仿真模型。PMSM電機(jī)相關(guān)參數(shù)如表1 所示。
表1 電機(jī)參數(shù)Tab.1 Motor parameters
控制算法中的相關(guān)參數(shù)取值如表2 所示。
表2 控制算法參數(shù)設(shè)置Tab.2 Control algorithm parameter settings
系統(tǒng)給定轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，并在0.2 s 時(shí)突加負(fù)載，觀察系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩和電流變化。PMSM 控制系統(tǒng)的MATLAB 仿真結(jié)構(gòu)圖如圖2 所示，由電流環(huán)和轉(zhuǎn)速環(huán)雙閉環(huán)組成。電流環(huán)仍采用普通的PI 控制，轉(zhuǎn)速環(huán)加入了改進(jìn)指數(shù)趨近律的滑模速度控制器。對(duì)比傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器、快速指數(shù)趨近律控制器和本文的改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器，三者的轉(zhuǎn)速仿真結(jié)果如圖3 所示。
圖2 MATLAB 仿真結(jié)構(gòu)圖Fig.2 MATLAB simulation structure diagram
圖3 3 種指數(shù)趨近律下轉(zhuǎn)速控制比較Fig.3 Comparison of speed control under three exponential reaching laws
圖3（a）為改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線，起動(dòng)階段有斜率的變化是由于系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)接近滑模面，fal(s,α,δ)切換所導(dǎo)致的，這使得起動(dòng)速度略微下降，但相較于傳統(tǒng)趨近律控制器和快速趨近律控制器下的起動(dòng)轉(zhuǎn)速，改進(jìn)后的趨近律仍有較好的作用。圖3（b）為快速指數(shù)趨近律控制器下轉(zhuǎn)速的響應(yīng)曲線，相較于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器，在起動(dòng)階段的超調(diào)得到了很好的抑制，但響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間延長了，且對(duì)于負(fù)載擾動(dòng)變化較為敏感。圖3（c）為傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器下的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線，其優(yōu)點(diǎn)是系統(tǒng)的響應(yīng)速度快，缺點(diǎn)是超調(diào)量較大，對(duì)于穩(wěn)定性要求較高的控制系統(tǒng)，傳統(tǒng)趨近律控制器很明顯不能達(dá)到控制要求。
從圖3（d）對(duì)比中的仿真效果來看，在起動(dòng)階段，傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器雖然趨近速快，但超調(diào)量較大，到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間也較長；快速指數(shù)趨近律控制器改善了傳統(tǒng)趨近律的超調(diào)情況，但同時(shí)導(dǎo)致到達(dá)穩(wěn)定的時(shí)間過長；改進(jìn)指數(shù)趨近律可以很明顯地看到，由于非線性因子的作用，系統(tǒng)的超調(diào)情況和快速性都得到了很好的改善。同時(shí)，對(duì)于圖3（e）中的突變負(fù)載的擾動(dòng)，改進(jìn)指數(shù)趨近律也同樣表現(xiàn)了良好的控制性能。
圖4（a）為改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器下的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線，在起動(dòng)階段，改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間更短，這說明了控制方法的快速性，同時(shí)在到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的過程中，改進(jìn)后的控制器對(duì)于系統(tǒng)擾動(dòng)具有更好的抑制作用。圖4（b）為快速指數(shù)趨近律控制器下的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線，該方法減小了系統(tǒng)起動(dòng)階段的超調(diào)，但同時(shí)導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間延長，且轉(zhuǎn)矩對(duì)于系統(tǒng)擾動(dòng)敏感，系統(tǒng)的魯棒性差。圖4（c）為傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器下的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線，其最明顯的問題在于超調(diào)過大。通過圖4（d）對(duì)比可以看出，在起動(dòng)階段，改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器相較于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器和快速指數(shù)趨近律控制器而言，系統(tǒng)抖動(dòng)更小，到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的過程更加穩(wěn)定。對(duì)于突加的擾動(dòng)，改進(jìn)后的趨近律響應(yīng)更為迅速，但存在一定的超調(diào)問題。
圖4 轉(zhuǎn)矩在不同趨近律下的響應(yīng)Fig.4 Response of torque under different reaching laws
4 結(jié)論
本文通過引入fal（s，α，δ）函數(shù)，并改進(jìn)了趨近時(shí)的函數(shù)，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的指數(shù)趨近律，分析了收斂性，驗(yàn)證了趨近效果，并設(shè)計(jì)出了基于該趨近律的滑模速度控制器，將控制器運(yùn)用到了PMSM的速度控制中。通過仿真驗(yàn)證了改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器的快速性以及抑制抖振的性能，并將其與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制器和快速指數(shù)趨近律控制器進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器提高了系統(tǒng)的魯棒性和快速性，優(yōu)化了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。
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