曹國強,李鵬越,葉長龍,李邦宇

(1.沈陽航空航天大學機電工程學院,遼寧 沈陽 110136)

(2.沈陽新松機器人自動化股份有限公司,遼寧 沈陽 110169)

跳躍機器人具有良好的越障能力,但在平坦路面上的運動性能并不出眾,而兩輪移動機器人行動靈活、效率高,但越障能力差。變形輪式跳躍機器人結合了二者的優(yōu)點,具有輪式移動和跳躍兩種運動方式,增強了機器人的適應能力[1]。國內外許多學者從事跳躍機器人的研究,取得令人矚目的成績,如蘇黎世機器人與智能系統(tǒng)研究所研制的CHARO機器人[2]、瑞士洛桑聯(lián)邦理工學院研制的仿蝗蟲跳躍機器人[3]、西北工業(yè)大學葛文杰團隊研制的仿袋鼠跳躍機器人和哈爾濱工業(yè)大學王猛設計的仿青蛙跳躍機器人等[4-5]。日本學者利用曲柄滑塊機構和板簧的組合設計了一種小型跳躍機器人,跳躍水平距離達580 mm,約為其自身長度的6.7倍,高度達180 mm[6],但該機器人運動形式單一,靈活性較差;哈爾濱工業(yè)大學研制了一種利用化學燃料燃燒進行跳躍的機器人[7],該機器人有四個輪子,可進行輪式移動,但其跳躍運動只能進行一次,且在松軟路面上的能量利用率很低;北京郵電大學的張小飛[8]設計了一種可跳躍式兩輪機器人,該機器人可在輪式移動過程中進行跳躍運動,但由于底部質量過大導致能量利用率較低。綜上所述,目前的跳躍機器人普遍存在儲能量較小的問題,須通過優(yōu)化解決。本文通過對青蛙的仿生研究對文獻[1]中的變形輪式跳躍機器人的彈簧布置進行了優(yōu)化,并利用動力學分析和最優(yōu)化方法確定了變形輪機構的尺寸,使機器人在整體尺寸不變的情況下有效提高了儲能量。

1 仿青蛙變形輪機構

1.1 青蛙的仿生分析

青蛙的整個跳躍運動過程分為準備階段、起跳瞬間、騰空階段和著陸瞬間。整個跳躍過程中,前肢只起到調節(jié)方向、角度和落地緩沖的作用,主要由后肢的運動決定跳躍的高度和距離。為探究后肢關節(jié)對青蛙起跳的影響,在ADAMS環(huán)境中進行青蛙跳躍模型的仿真。以文獻[5]中的角度作為模型的輸入,輸出并記錄如圖1所示的各關節(jié)角速度曲線。

圖中踝、膝和髖關節(jié)的角速度變化曲線說明,在起跳過程中各關節(jié)運動有先后順序,這有助于延長加速時間和調整起跳方向。從數(shù)值的角度分析各關節(jié)角速度的最大值,膝關節(jié)角速度等于髖關節(jié)與踝關節(jié)角速度之和,且髖關節(jié)與踝關節(jié)角速度值的比為3∶2。

1.2 變形輪機構

基于上述研究,本文提出了新的輪式跳躍機構,將后肢系統(tǒng)中的關節(jié)提取為轉動副,骨骼提取為轉動副之間的連桿,用彈簧代替肌肉,并與輪式結構相結合進一步簡化得到新的變形輪結構,如圖2所示[9]。

圖3 變形輪機構運動原理

2 運動學與動力學建模

為掌握變形輪在起跳過程中的運動狀態(tài),通過合理的設置,對模型進行簡化并建立數(shù)學模型。假定所有桿都是不彎曲、不扭轉的剛體,且都只在一個平面內移動,足部與地面剛性接觸,不發(fā)生滑動,在起跳過程中忽略摩擦和空氣阻力。當足部與地面之間的力為零時,機器人離地起跳。簡化的變形輪機構模型如圖4所示[10-11]。

圖4 變形輪機構簡化模型

圖4中的參數(shù)包括每根桿的長度li,i=1,2,…,6,桿的質心到參考位置的距離ci,桿的質量mi,桿與水平方向的夾角θi,轉動慣量Ji,每根彈簧的長度si以及彈簧連接點到參考位置的距離(a、b、c、d、e、f)。令每根桿的質心都在其幾何中心,則各參數(shù)滿足以下關系:

(1)

每根桿的位置可用桿與水平方向的夾角θi和長度li進行描述:

(2)

式中:xi、yi為桿質心的坐標。

該變形輪機構只有一個自由度,可以用θ3描述系統(tǒng)的狀態(tài),故選取θ3為廣義坐標,其他變量(θ1,θ2,θ4)可用廣義坐標表示。

θ1=θ2,θ3=θ4

(3)

根據(jù)圖4中的矢量關系得到:

(4)

變形輪在起跳過程中的動力學可用拉格朗日方程描述:

L=T-P

(5)

(6)

式中:L為拉格朗日函數(shù);T為機器人總動能,包括平動動能和轉動動能;P為總勢能,由線彈簧的彈性勢能和機器人的重力勢能組成;Q1為等于零的廣義力;t為時間。

(7)

(8)

式中:g為重力加速度;k為彈簧的勁度系數(shù);Δs為彈簧的形變量。

最后通過計算變形輪質心的垂直速度vy、垂直加速度ay和垂直地面反力Fy來表示變形輪在起跳過程的運動狀態(tài):

(9)

(10)

(11)

當變形輪離地起跳時,ay=-g,Fy=0。

變形輪可以離地起跳的條件為在起跳過程中彈簧釋放的能量大于系統(tǒng)的重力勢能之差,即:

(12)

Δyi=yi(θ3,max)-yi(θ3,min)

(13)

式中:yi(θ3,max)、yi(θ3,min)分別表示角θ3為最大值和最小值時各桿質心的高度。

若機器人在輪式移動過程中進行跳躍,且跳躍方向與地面存在夾角φ,則在離地后受重力作用以初速度v0做斜拋運動,其質心軌跡(xc,yc)為:

(14)

式中:v為機器人輪式移動的速度。

3 優(yōu)化設計

參數(shù)優(yōu)化的目的是在變形輪機構整體尺寸不變的情況下,最大限度地提高系統(tǒng)的儲能量。首先建立目標函數(shù),確定優(yōu)化變量,其次確定約束條件,最后進行優(yōu)化計算。在機器人起跳前系統(tǒng)的最大儲能量E為:

(15)

式中:si0為變形輪機構初始狀態(tài)時彈簧的長度,si和si0都是關于廣義坐標θ3的函數(shù)。根據(jù)圖4中的幾何關系,儲能量E可以用變量l1、l3、l5、l6、a、b、c、d、e、f進行描述,則將上述10個變量作為優(yōu)化模型的設計變量。

由于彈簧兩端只在對應的桿上連接,因此對彈簧連接點距參考點的距離做以下約束:

(16)

為保證機器人可以實現(xiàn)輪式移動,考慮原機構整體尺寸,要求跳躍機構在運動過程中的任一狀態(tài)可以被半徑為R=60 mm的外接圓包裹,即所有桿的外接圓弧長之和不大于2πR:

(17)

(18)

在對青蛙的仿生研究中發(fā)現(xiàn),延長加速時間有利于其跳躍運動,因此要求跳躍機構在起跳過程中垂直高度具有一定的變化量,對跳躍機構初始狀態(tài)和極限狀態(tài)的垂直高度、水平距離做以下約束:

(19)

(20)

式中:θ3,inc為機構初始狀態(tài)下桿3與水平方向的夾角。

考慮變形輪中彈簧的最短長度,設彈簧最短可壓縮至20 mm,則:

(21)

為滿足機器人可以離地起跳的條件,添加約束:

(22)

上述約束為優(yōu)化模型的約束條件,利用MATLAB優(yōu)化工具箱對優(yōu)化模型進行求解,通過改變優(yōu)化變量來實現(xiàn)儲能E最大化。最優(yōu)參數(shù)為l1=d=e=e=67.9 mm,l3=b=c=70.8 mm,l5=l6=a=f=39.7 mm,其他參數(shù)θ3,inc=θ1,inc=89°,θ3,min=16.4°,θ1,min=0°。代入優(yōu)化后的參數(shù),得到E的最大值為30.97 J,比原機構提高了5.1倍。

下文通過一組圖展示優(yōu)化變量的變化對目標函數(shù)的影響。圖5所示為其他變量固定為最優(yōu)值時彈簧兩端連接點距參考點的距離對E的影響。

圖5 彈簧連接點變化對E的影響

由圖可以看出,在有限的范圍內彈簧兩端在桿上的連接點距參考位置越遠,E越大,即參考距離與被參考桿長相等時,E達到最大值。因此,在滿足該條件下繪制圖6來說明桿長的變化對E的影響。

圖6 桿長變化對E的影響

由圖5、6可以看出,當所有變量均達到最優(yōu)值時,E最大,證明了優(yōu)化結果的正確性。

在確保彈簧形變量不變的前提下對各變量的最優(yōu)值進行簡化并繪制變形輪機構模型,如圖7所示。

圖7 優(yōu)化后變形輪機構

4 仿真與實驗

對優(yōu)化后的變形輪機構進行跳躍運動仿真,質心位置、質量、轉動慣量以及彈簧勁度系數(shù)均與優(yōu)化前相同。在起跳推離階段的仿真中得到了如圖8所示的變形輪質心的速度變化曲線。

圖8 質心速度變化曲線

變形輪從開始釋放能量到離地起跳經過約0.02 s,伸展行程為51.3 mm,比優(yōu)化前提高了65.5%,有效增加了起跳加速時間,理論起跳速度可達5.4 m/s,比優(yōu)化前提升了42.1%。以圖8的質心起跳速度為輸入,通過式(14)輸出變形輪騰空階段質心的運動軌跡,如圖9所示。

圖9 質心運動軌跡

由圖可以看出,整個跳躍過程持續(xù)時間與起跳角度成正比,圖9(a)中垂直起跳持續(xù)時間最長,約1 s,跳躍高度最高可達1.29 m,比優(yōu)化前提升了65%。圖9(b)、(c)、(d)分別為不同起跳角度下質心運動軌跡,可以看出優(yōu)化后變形輪的跳躍性能得到了明顯提升。

為驗證優(yōu)化后變形輪的實際跳躍性能,進行了樣機跳躍實驗,樣機如圖10所示。

圖10 變形輪樣機

共進行了7次實驗,均成功起跳。圖11是實驗視頻的合成圖像,將變形輪開始釋放能量的時刻設為零時刻,整個跳躍過程經歷1 s。變形輪的平均跳躍高度為110 cm,比優(yōu)化前實際跳躍高度提高了50%,是其自身高度的11倍。理論起飛速度與跳躍高度分別為5.4 m/s和129 cm,樣機的實際速度和跳躍高度分別為4.7 m/s和110 cm,與仿真結果相近。

圖11 樣機垂直跳躍軌跡

實驗結果與仿真結果的差異主要是由制造誤差和鉸接點之間的摩擦導致,空氣阻力所造成的能量損失可忽略不計。在起跳過程中,部分能量因為克服摩擦而轉化為內能,導致實際的伸展速度、起跳速度和跳躍高度小于仿真結果。從實驗中可以看出,樣機的實際跳躍性能比優(yōu)化前的實際跳躍性能有了較大提升,進一步驗證了優(yōu)化方法和結果的有效性。

5 結論

儲能的增加提高了變形輪的跳躍性能。本文根據(jù)對青蛙的仿生分析提出一種新的變形輪機構,通過最優(yōu)化方法確定了變形輪機構的尺寸,實現(xiàn)了高效儲能。優(yōu)化后的變形輪機構最大儲能可達30.97 J,是原機構的5.1倍。仿真結果表明:優(yōu)化后變形輪在起跳階段的加速行程得到了明顯提升,理論離地起跳速度可達5.4 m / s,提高了42.1%;理論跳躍高度可達129 cm,提高了65%。樣機實驗中,實際起跳速度和跳躍高度分別為4.7 m/s和110 cm,分別提高了37%和50%。綜上所述,優(yōu)化后變形輪的儲能和跳躍性能得到了改善,驗證了優(yōu)化方法和結果的可靠性。但是,該機構仍存在能量損失的問題,未來的研究將集中在如何減少能量損失和關節(jié)數(shù)量上。