蔡 巍，陳明劍，鄧 墾,3，王 洋，沈 洋，張擎天

（1.信息工程大學 地理空間信息學院，鄭州 450001；2.西安測繪總站，西安 710054；3.77120 部隊，成都 610000；4.河南北斗衛(wèi)星導航平臺有限公司，鄭州 450001）

艦載機著艦、無人機編隊飛行、裝甲車編隊行進等軍事應用都涉及到動對動高精度相對定位技術，其特點是將基準站設置在移動的載體上，利用載波相位差分定位求解兩個運動載體的相對位置。需要解決的關鍵問題是在動態(tài)情況下如何快速、準確地解算出整周模糊度[1]。在動對動定位條件下，觀測條件變化多樣，可見衛(wèi)星數(shù)波動頻繁，一旦發(fā)生周跳或衛(wèi)星信號丟失，會導致模糊度固定率下降甚至是無法固定，需要重新搜索固定模糊度。因此，如何提高模糊度的正確性、可靠解和搜索效率是需要重點研究的問題。

北斗三號衛(wèi)星導航系統(tǒng)（Beidou-3 Navigation Satellite System,BDS-3）具有播發(fā)五個頻率觀測值的功能，將多個頻率觀測值進行組合得到具有波長較長、電離層影響較弱以及低噪聲等特性的組合觀測值，可顯著提高定位解算效率和模糊度固定率。伍劭實[2]利用北斗雙頻組合進行動對動相對定位，與單頻解算相比，初始化時間用時更短。信息工程大學的許揚胤[3]圍繞北斗三頻信號在約束基線長度的情況下進行動對動相對定位技術研究。在短基線下給出了一種幾何與無幾何相結(jié)合的部分模糊度解算方案，模糊度的固定率可達到99.87%。劉濛濛[4]為了充分利用北斗三號B1I、B3I、B1C 和B2a 四頻觀測數(shù)據(jù)，采用無幾何模型和幾何模型相結(jié)合的方法依次求解兩個超寬巷、三個寬巷和一個窄巷模糊度，并利用最小二乘模糊度降相關平差法（Least-square Ambiguity Decorrelation Adjustment,LAMBDA）方法搜索固定窄巷模糊度，最后使用模糊度固定的窄巷進行單歷元定位。在短基線情況下，該方法可以有效進行超寬巷和寬巷模糊度的單歷元固定，窄巷模糊度固定率高于99%，基本可以實現(xiàn)短基線單歷元定位，并獲得厘米級定位精度。王劍超[5]利用北斗三號B1I、B3I、B1C 和B2a 四頻觀測數(shù)據(jù)兩兩組合形成獨立不相關的窄巷觀測值聯(lián)立，以位置參數(shù)和雙差模糊度組成狀態(tài)向量，結(jié)合卡爾曼濾波估計進行定位解算，在短基線情況下可以得到毫米級的定位結(jié)果，定位精度相較于北斗單頻及三頻方法在平面和高程方向均有不同程度的提高。隨著觀測頻率的增加，可以組合出更多具有良好質(zhì)量的觀測值，較優(yōu)的四頻組合相對于傳統(tǒng)的雙頻和三頻的組合觀測值具有波長較長、電離層放大因子較小、噪聲放大因子較小、總噪聲水平較小等特性；在短基線條件下，雙差大氣延遲誤差對定位影響較小，且對流層延遲的大部分可以通過模型進行改正，因此可采用幾何模型和無幾何模型單歷元固定整周模糊度。

以上所提出的動對動相對定位方法均是基于傳統(tǒng)的雙頻和三頻模糊度解算方法（Three Carrier Ambiguity Resolution,TCAR）求解模糊度，濾波方式均采用普通的卡爾曼濾波，該濾波方式在動態(tài)環(huán)境下不具有很好的自適應性和魯棒性。四頻組合觀測值相較于傳統(tǒng)的雙頻和三頻組合觀測值在模糊度固定率、定位精度方面都有提高，而將四頻組合觀測值用于動對動相對定位的方法較少。四頻數(shù)據(jù)組合可構(gòu)造更多的弱電離層延遲和小觀測噪聲影響的組合觀測值，對于提高模糊度固定率有重要意義[6-8]，因此，本文采用“寬巷+窄巷+偽距”的四頻信號無幾何模糊度解算模型，該模型提高了傳統(tǒng)的無幾何模型模糊度解算效率和可靠性。為適應動態(tài)環(huán)境的干擾，本文提出變分貝葉斯自適應魯棒濾波算法，兼顧濾波過程中的自適應性與魯棒性。最后通過實驗分析動對動定位方法解算模糊度固定率和基線解算精度。

1 BDS 的四頻線性組合

利用BDS-3 的四個頻率觀測數(shù)據(jù)，通過不同頻率載波相位觀測值間的線性組合，可以獲得不同波長、不同電離層延遲誤差放大系數(shù)、不同觀測噪聲放大因子等組合觀測值。本文采用的BDS-3 的四個頻率分別是B1I、B1C、B3I 和B2a，組合后的頻率、波長和模糊度表達式為：

其中，?1、?2、?3、?4分別為四個頻率信號的雙差相位；P1、P2、P3、P4分別為四個頻率信號的偽距觀測值；a1、b2、c3、d4分別為偽距的組合系數(shù)；分別為組合后的雙差偽距和相位觀測值，其雙差觀測方程為：

將偽距組合系數(shù)代入式(6)即可得到偽距組合觀測值的電離層延遲誤差放大系數(shù)。

假設各個頻點的觀測值噪聲都是相等且相互獨立的，則對應的多頻組合觀測噪聲表達式為：

將偽距組合系數(shù)代入式(8)即可得到偽距組合觀測噪聲放大因子。

在短基線條件下，雙差大氣延遲誤差對定位影響較小，且對流層延遲的大部分可以通過模型進行改正，將式(5)減去式(4)就可得到基于四頻組合觀測值的無幾何觀測方程，其表達式為：

可利用無幾何觀測方程求解超寬巷和寬巷的模糊度。

2 BDS 常用的四頻線性組合

隨著不同頻點觀測值的增加，可以利用各個頻點觀測值進行線性組合，得到更多質(zhì)量好的組合觀測值。在實際應用中，通常選擇波長較長、大氣延遲和觀測噪聲較小的組合觀測值。按照文獻[9-10]對不同波長的觀測值進行分類，可分為三類：1）超寬巷λ≥2.93 m ；2）寬巷0.75 m ≤λ＜2.93m ；3）窄巷0.1m ≤λ＜0.75m。不同組合系數(shù)在不同長度基線下所表現(xiàn)出的噪聲水平是不同的，在選取最佳組合系數(shù)時，引入總噪聲水平對其進行評價，其表達式為：

其中，δ為觀測總噪聲水平；δorb為軌道誤差；δtrop為對流層延遲誤差；δI1與δI2分別為一階和二階電離層延遲誤差；δε為載波相位觀測噪聲。當基線長度為中短基線時（長度≤100 km），以上各個誤差的取值分別為：0.005 m、0.01 m、0.1 m、0.005 m、0.005 m。表1 按照波長、電離層延遲誤差放大系數(shù)、觀測噪聲放大因子和總噪聲水平四個方面選出最佳的超寬巷、寬巷和窄巷的組合系數(shù)。

表1 BDS-3 四頻系數(shù)組合Tab.1 Coefficient combinations of BDS-3 quad-frequency observations

通過表1 可知，（0,0,1,-1）為超寬巷最佳組合系數(shù)，（0,1,-3,2）、（1,0,-2,1）和（0,1,-1,0）為最佳的寬巷組合系數(shù)，（2,2,0,-3）為最佳的窄巷組合系數(shù)。

3 BDS 四頻組合觀測值動對動相對定位算法

3.1 基于GF 模型單歷元超寬巷/寬巷模糊度固定

通過式(9)可知雙差偽距觀測值與雙差載波相位觀測值之差可得超寬巷模糊度的浮點解，只有選取最優(yōu)的偽距組合觀測值，其超寬巷模糊度浮點解的精度才最優(yōu)。在偽距觀測噪聲為0.5 m 的條件下，以無幾何（Geometric-Free,GF）模型的總噪聲水平為標準選取最優(yōu)偽距組合觀測值，通過比較，GF 模型Δ?P(1,1,1,1)-Δ??(0,0,1,-1)的總噪聲水平最低，總噪聲水平為0.0834 周，遠遠小于0.5 周。理論上利用GF 組合模型求出的超寬巷模糊度通過四舍五入直接取整就可以進行單歷元固定。

通過Δ?P(1,1,1,1)-Δ??(0,0,1,-1)組合可求出超寬巷模糊度浮點解Δ?N(0,0,1,-1)，對其進行四舍五入取整可得超寬巷模糊度整數(shù)解。本文以采集的47 km 長基線數(shù)據(jù)為例，兩顆衛(wèi)星C35-C22 用GF 模型雙差后得到的浮點解Δ?N(0,0,1,-1).進行相鄰歷元間差分，其結(jié)果見圖1。

圖1 超寬巷（0,0,1,-1）相鄰歷元間模糊度差值Fig.1 Ultra-wide lane (0,0,1,-1) ambiguity difference between adjacent epoch

通過圖1 可以看出，相鄰歷元間超寬巷模糊度浮點解的差值遠小于±0.5 周，可直接采用四舍五入單歷元取整的方法，可靠地固定超寬巷模糊度。

圖2 寬巷（0,1,-3,2）相鄰歷元間模糊度差值Fig.2 Wide lane (0,1,-3,2) ambiguity difference between adjacent epoch

圖3 寬巷（1,0,-2,1）相鄰歷元間模糊度差值Fig.3 Wide lane (1,0,-2,1) ambiguity difference between adjacent epoch

圖4 寬巷（0,1,-1,0）相鄰歷元間模糊度差值Fig.4 Wide lane (0,1,-1,0) ambiguity difference between adjacent epoch

通過圖2-4 可以看出，利用模糊度固定的超寬巷觀測值作為約束條件，得到相鄰歷元間寬巷模糊度浮點解的差值絕對值小于0.5 周，可直接采用四舍五入單歷元取整方法，可靠地固定寬巷模糊度。

3.2 變分貝葉斯自適應魯棒濾波模型

卡爾曼濾波在噪聲參數(shù)已知并保持不變的情況下解算性能優(yōu)越[11]，然而在實際環(huán)境中，將噪聲設置為固定的高斯白噪聲具有一定的局限性。當目標處于運動狀態(tài)下，系統(tǒng)受到外部環(huán)境未知噪聲的干擾，導致觀測噪聲在濾波過程中是變化的，此時卡爾曼濾波解算性能受到影響，并不能體現(xiàn)其優(yōu)越性。將變分貝葉斯估計與卡爾曼濾波相結(jié)合，對量測噪聲方差進行多次迭代估計，讓量測噪聲方差適應動態(tài)環(huán)境下的濾波。

濾波器的狀態(tài)及量測方程為：

其中，Xk為當前時刻狀態(tài)向量；k為當前歷元時刻，k-1為上一個歷元時刻；Φk,k-1為兩個時刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；ωk-1為系統(tǒng)噪聲矩陣；Hk為線性化觀測矩陣；vk表示測量噪聲；Zk為量測向量，其表達式為：

其中，ι=tk-tk-1表示接收機的采用間隔；有m-1個載波相位雙差方程。

Hk表達式為：

其中，λ為組合觀測值波長；E表示三維坐標改正值的系數(shù)陣，其表達式為：

其中，e1表示參考星單位視線向量；e2-ej(j=2,…,m)為非參考星單位視線向量。

Qk是ωk的協(xié)方差矩陣，在動態(tài)下的卡爾曼濾波表達式為：

狀態(tài)向量Xk包括：

對于先驗觀測誤差方差陣中第i個方差Rk,i，計算公式為：

其中，eli代表對應第i顆衛(wèi)星的高度角；當觀測值為窄巷組合觀測值時，a和b為載波相位觀測誤差；當觀測值為寬巷組合觀測值時，a和b為偽距觀測誤差；ε為基線向量觀測誤差；d為衛(wèi)星鐘穩(wěn)定誤差。

變分貝葉斯濾波的目的是計算出后驗分布p(Xk,Rk|Z1:k)，選擇系統(tǒng)狀態(tài)量Xk和觀測誤差方差Rk作為待估對象。迭代估計的步驟可以分為如下幾步：

（1）初始化：先從先驗分布開始，先驗分布為p(Xk-1,Rk-1|Z1:k-1)，其中Xk-1、Z1:k-1均為初始值，Rk-1為先驗觀測誤差方差陣。

（2）預測：對狀態(tài)和方差進行預測。

（3）量測更新：根據(jù)貝葉斯公式，可以得到后驗分布：

由于Xk服從高斯分布，其共軛分布為逆伽馬分布，文獻[12]也是將觀測誤差的方差分布選擇為逆伽馬分布。但這種方法在更新階段中，狀態(tài)和觀測誤差的方差是耦合的，需要用一個新的分布來近似真實的后驗分布：

其中，QX(Xk)和QR(Rk)分別是基于Xk和Rk的概率密度分布，其表達式為：

變分貝葉斯方法通過最小化兩個分布間的Kullback-Leibler（KL）散度，使構(gòu)造的變分分布逼近真實的聯(lián)合后驗分布。通過最小化真實后驗分布與近似后驗分布的KL 散度距離，QX(Xk)和QR(Rk)近似表達式為[13-15]：

其中，mk為待估參數(shù)，是近似得到的新分布的狀態(tài)量；Pk為狀態(tài)協(xié)方差矩陣為觀測誤差方差陣Rk的對角線元素；Inv-Gamma(·)表示逆伽瑪分布，αk,i和βk,i為逆伽瑪分布的待估參數(shù)。由式(23)(24)可看出，狀態(tài)Xk服從高斯分布，觀測誤差方差Rk服從逆伽馬分布。

通過對比基于QX(Xk)和QR(Rk)的期望值得出參數(shù)估計為：

對觀測誤差方差的魯棒化采用M 估計的方式。

首先由量測方程Zk-HkXk=vk，得到量測噪聲vk。然后標準化量測噪聲：

其中，表示標準化后的量測噪聲。

構(gòu)造權重函數(shù)Ψk,i，其表達式為：

其中，γ為調(diào)節(jié)因子，是代價函數(shù)的門限，體現(xiàn)了對外部干擾情況的處理程度，一般取1.345。M 估計的魯棒化思想是重加權平均，其方法是將權矩陣Ψ進行分塊處理，該權陣的元素由Ψk,i構(gòu)成，分為狀態(tài)量權陣Ψx和觀測權陣Ψy，其表達式為[16]：

則觀測誤差方差陣經(jīng)過魯棒化得到的表達式為：

在參數(shù)估計中一般循環(huán)迭代三次，每個歷元通過構(gòu)造的濾波器得到坐標參數(shù)和模糊度的浮點解，然后利用LAMBDA 方法[17]對窄巷模糊度進行單歷元固定，再將窄巷模糊度固定解回代窄巷組合觀測方程，最后得到位置坐標的固定解。

4 實驗分析

為驗證本文動對動相對定位算法的可行性，采用一條河南省內(nèi) CORS 站網(wǎng)的基線，基線長度為47.2 km，觀測日期為2022 年9 月1 日8:00-9:00，采樣間隔為1 s。解算過程中，設定衛(wèi)星截止高度角為20 °，模糊度的Ratio 閥值采用3.0。

實驗一：采用靜態(tài)數(shù)據(jù)模擬動態(tài)數(shù)據(jù)進行，在靜態(tài)數(shù)據(jù)中加入隨機游走噪聲?；鶞收疚恢貌捎脝吸c定位，模糊度固定方式采用fix and hold 方式。實驗所用到的狀態(tài)先驗方差和過程噪聲見表2。由于本實驗只是驗證算法的可行性，因此不加入其他算法進行比較，圖5 給出兩個測站之間滿足解算條件的共視衛(wèi)星數(shù)量，圖6-8 給出窄巷組合定位結(jié)果與真值之間的偏差，其結(jié)果統(tǒng)計見表3。

圖5 實驗一滿足解算條件的共視衛(wèi)星數(shù)Fig.5 The number of common-view satellites satisfying the solution condition in the experiment 1

圖6 實驗一解算結(jié)果在E 方向與真值的偏差Fig.6 The deviation of the result from the true value in the E direction in the experiment 1

圖7 實驗一解算結(jié)果在N 方向與真值的偏差Fig.7 The deviation of the result from the true value in the N direction in the experiment 1

圖8 實驗一解算結(jié)果在U 方向與真值的偏差Fig.8 The deviation of the result from the true value in the U direction in the experiment 1

表2 狀態(tài)先驗方差及過程噪聲Tab.2 State prior variance and process noise

表3 實驗一解算結(jié)果Tab.3 Solution results in the experiment 1

從圖6-8 和表3 可以看出，采用本文算法在靜態(tài)數(shù)據(jù)模擬動態(tài)數(shù)據(jù)的情況下，基線的E、N 和U 方向定位結(jié)果與真值的偏差均能達到厘米級，模糊度固定率可以達到99%以上。

實驗二：為驗證本文算法在真實的動態(tài)環(huán)境下的解算性能，動態(tài)實驗于2023 年6 月5 日在信息工程大學的兩個操場間進行，實驗時間為 30 min左右。實驗設備為3 臺司南接收機，將一臺司南接收機設置為固定基準站，并實時通過網(wǎng)絡RTK 獲取定位數(shù)據(jù)，與其他兩臺用于移動的接收機構(gòu)成靜動型基線，將兩臺移動接收機精確的定位結(jié)果作為真值與動對動實驗結(jié)果比較。兩臺移動的接收機分別綁在兩輛電動車上，在兩個不同的操場上相對運動，基線長度為0～400 m，將其中一臺接收機充當移動的基準站，其定位結(jié)果采用單點定位，另外一臺接收機充當移動的流動站，與其構(gòu)成動態(tài)條件下的基線，定位結(jié)果采用動對動相對定位算法。采用四頻普通卡爾曼濾波定位解算結(jié)果和RTKLIB 三頻非組合動基線解算結(jié)果作為其比較對象，實驗參數(shù)設置與實驗一相同，運動軌跡見圖9。

圖9 動對動實驗軌跡Fig.9 Motion to motion experiment trajectory

圖10 給出了實驗二的兩個測站之間滿足解算條件的共視衛(wèi)星數(shù)量，圖11-14 給出分別采用三種不同算法解算定位結(jié)果分量、基線長度與真值之間的偏差，其對比結(jié)果見表4。

圖10 實驗二滿足解算條件的共視衛(wèi)星數(shù)Fig.10 The number of common-view satellites satisfying the solution condition in the experiment 2

圖11 實驗二解算結(jié)果在E 方向與真值的偏差Fig.11 The deviation of the result from the true value in the E direction in the experiment 2

圖12 實驗二解算結(jié)果在N 方向與真值的偏差Fig.12 The deviation of the result from the true value in the N direction in the experiment 2

圖13 實驗二解算結(jié)果在U 方向與真值的偏差Fig.13 The deviation of the result from the true value in the U direction in the experiment 2

圖14 實驗二解算基線長度與真值的偏差Fig.14 The deviation of the baseline length from the true value in the experiment 2

表4 實驗二不同算法解算結(jié)果比較Tab.4 Comparison of the results of different algorithms in the experiment 2

從圖11-14 和表4 可以看出，在動態(tài)環(huán)境下，采用北斗四頻的變分貝葉斯自適應魯棒濾波算法，在東、北、天三個方向的定位精度均優(yōu)于2 cm，基線長度與真值偏差達到毫米級，模糊度固定率達到100%，證明采用四頻組合觀測值的貝葉斯濾波要優(yōu)于四頻組合觀測值的卡爾曼濾波；隨著不同頻點觀測值的增加，可以利用各個頻點觀測值進行線性組合，得到更多質(zhì)量好的組合觀測值，有利于模糊度的固定。

5 結(jié)論

本文采用BDS-3 的B1I、B1C、B3I 和B2a 四頻信號進行組合，得到不同的組合觀測值，再結(jié)合變分貝葉斯自適應魯棒濾波算法，進行動對動相對定位。對可見衛(wèi)星數(shù)、模糊度固定率和定位精度進行了統(tǒng)計。四頻組合相對于三頻可以得到波長更長、觀測噪聲更小的組合觀測值，進一步提高了組合觀測值模糊度的固定效率。在靜態(tài)模擬動態(tài)實驗的3600 個歷元中，模糊度的固定率達到了99.7%，定位精度達到厘米級；在更加復雜的動態(tài)環(huán)境下，模糊度的固定率達到了100%，定位結(jié)果與真值的偏差優(yōu)于2 cm，驗證了基于北斗四頻的變分貝葉斯自適應魯棒濾波算法可以滿足高精度的動對動相對定位。