山東省濟(jì)南市濟(jì)南新航實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 (250000) 楊超 張素文 祁文煥

在中國(guó)知網(wǎng)中以“數(shù)學(xué)銜接”為主題的期刊論文共648條結(jié)果,碩士學(xué)位論文共168 條結(jié)果. 這些文獻(xiàn)既體現(xiàn)出了各位專(zhuān)家學(xué)者對(duì)解決數(shù)學(xué)教學(xué)問(wèn)題的熱情,也側(cè)面體現(xiàn)了小初高三個(gè)學(xué)段教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式、評(píng)價(jià)方式的差異性. 要改變這種現(xiàn)狀,僅僅研究小初銜接、初高銜接是不夠的,應(yīng)加強(qiáng)各學(xué)段之間的聯(lián)系,加快全學(xué)段融通一體化發(fā)展.

為此, 筆者參與了由邵麗云名師工作室開(kāi)展全學(xué)段融通一體化發(fā)展的系列教研活動(dòng),并執(zhí)教公開(kāi)課“確定圓的條件”. 活動(dòng)以現(xiàn)場(chǎng)直播課、專(zhuān)家引領(lǐng),線下與線上結(jié)合的方式開(kāi)展,線上面向濟(jì)南市高中數(shù)學(xué)教師、全省中小學(xué)數(shù)學(xué)教師.活動(dòng)以三個(gè)學(xué)段共有知識(shí)“圓”為課題. 各學(xué)段選擇一節(jié)課,根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況與新課標(biāo)要求,體現(xiàn)各學(xué)段所學(xué)知識(shí)間關(guān)聯(lián)性,學(xué)生能力要求的差異性,不同學(xué)段的學(xué)生思維能力培養(yǎng)的延續(xù)性,進(jìn)一步提高各學(xué)段教學(xué)的“針對(duì)性”、“系統(tǒng)性”、“連貫性”、“發(fā)展性”. (濟(jì)南市小學(xué)使用人教版教材,初中使用北師大版教材,高中使用人教A 版教材)本文結(jié)合課堂觀摩、執(zhí)教經(jīng)驗(yàn)、專(zhuān)家發(fā)言和自己的若干思考,談一談對(duì)于全學(xué)段融通教學(xué)的理解.

1 全學(xué)段貫通課例介紹

課例1: 小學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”

課程設(shè)計(jì)注重“做中學(xué)”,強(qiáng)調(diào)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累. 教師通過(guò)生活中的圓引入后, 設(shè)置了“畫(huà)一畫(huà)”、“找一找”、“投一投”三個(gè)活動(dòng),分別對(duì)應(yīng)了“圓心確定了圓的位置. ”、“在同一圓內(nèi),半徑都相等,半徑是直徑的一半. ”、“半徑確定了圓的大小. ”三個(gè)知識(shí)點(diǎn),活動(dòng)后用墨子的名言“圓,一周同長(zhǎng)也. ”滲透數(shù)學(xué)史知識(shí). 最后,用短片欣賞生活中的圓,感受圓的美,升華課堂.

課例2: 初中“確定圓的條件”

課程設(shè)計(jì)注重小組合作探究和現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用. 回顧六年級(jí)的“確定圓的要素”、七年級(jí)圓的定義、九年級(jí)圓的定義后, 強(qiáng)調(diào)“圓心和半徑確定了, 圓就確定了”, 進(jìn)而探究“過(guò)幾點(diǎn)可以確定一個(gè)圓? ”,即過(guò)幾點(diǎn)的圓有唯一的圓心和半徑. 通過(guò)小組合作和幾何畫(huà)板的演示,學(xué)生得到結(jié)論“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”. 在此基礎(chǔ)上介紹三角形外接圓定義,并通過(guò)兩個(gè)例題探究三角形外心位置和三角形形狀(銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形)的關(guān)系,體現(xiàn)利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題. 最后當(dāng)堂檢測(cè),課堂小結(jié).

課例3: 高中“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”

課程的探究過(guò)程設(shè)置了四個(gè)問(wèn)題.問(wèn)題1“圓的定義是什么?如何確定一個(gè)圓? ”回顧了初中圓的定義和確定圓的條件.問(wèn)題2“在平面直角坐標(biāo)系中,如何確定一個(gè)圓呢? ”在初中知識(shí)的基礎(chǔ)上利用坐標(biāo)法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 問(wèn)題3“你能總結(jié)求軌跡方程的一般步驟嗎? ”確定了建系→設(shè)點(diǎn)→列式→化簡(jiǎn)→證明五個(gè)步驟. 問(wèn)題4“已知圓心為A(a,b),半徑為r,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么? ”明確了已知圓心和半徑直接確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法.

探究過(guò)后,教師設(shè)置了兩個(gè)練習(xí)和兩個(gè)例題. 教師通過(guò)兩個(gè)練習(xí),利用直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,引導(dǎo)學(xué)生得到“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確給出了圓心坐標(biāo)和半徑. ”和“確定圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立條件即a、b、r.”兩個(gè)結(jié)論. 例1 介紹了待定系數(shù)法和幾何法,滲透了數(shù)形結(jié)合的思想,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 例2 通過(guò)所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,滲透模型思想. 最后當(dāng)堂檢測(cè),課堂小結(jié)滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容.

2 全學(xué)段貫通分析

筆者在《基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的四線式教學(xué)設(shè)計(jì)——以〈余弦定理〉為例》中,根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)提出了數(shù)學(xué)的“四線式”教學(xué)模式. 四線分別是探究線、知識(shí)線、思想線、素養(yǎng)線,知識(shí)線[1]. 仿照四線式教學(xué)模式,根據(jù)全學(xué)段貫通特點(diǎn),下面從知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)史、核心素養(yǎng)三方面展開(kāi)討論.

2.1 貫通知識(shí),突破重難點(diǎn)

圖1 是三節(jié)展示課涉及到的知識(shí)點(diǎn). 小學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”中“半徑確定了圓的大小,圓心確定了圓的位置”在教材中沒(méi)有具體標(biāo)注, 但這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是初中“確定圓的條件”轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ).“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”也是待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ),所以這需要小學(xué)教師著重強(qiáng)調(diào). 同理,小學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”中“同一個(gè)圓中所有半徑相等”和初中圓的兩個(gè)定義聯(lián)系密切,而根據(jù)“圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形”可以直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 九年級(jí)下冊(cè)第三章第三節(jié)的內(nèi)容“垂徑定理”更是幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ). 關(guān)于圓的內(nèi)容,三個(gè)學(xué)段知識(shí)相互聯(lián)系,逐級(jí)遞進(jìn),在教學(xué)時(shí)如果能考慮知識(shí)的前后聯(lián)系,無(wú)疑能夠更好的把握重點(diǎn),突破難點(diǎn). 本次活動(dòng)中三位老師有如下幾個(gè)亮點(diǎn):

圖1

1. 圖2,小學(xué)教師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“半徑確定了圓的大小,圓心確定了圓的位置”,引用墨子名言“圓,一周同長(zhǎng)也”,滲透數(shù)學(xué)史知識(shí).

圖2

2. 圖3,初中教師以回顧圓的兩個(gè)定義并強(qiáng)調(diào)“半徑確定了圓的大小,圓心確定了圓的位置”,進(jìn)一步探究至少過(guò)幾點(diǎn)確定一個(gè)圓,轉(zhuǎn)化為過(guò)幾點(diǎn)的圓有唯一的圓心和半徑,抓住了這一點(diǎn),就找到了本節(jié)課的著力點(diǎn).

圖3

3. 圖4,高中教師回顧九年級(jí)圓的定義,讓學(xué)生具備利用坐標(biāo)法研究圓的能力,復(fù)習(xí)確定圓的條件和垂徑定理,引導(dǎo)學(xué)生多種方法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,確保本節(jié)課知識(shí)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)之內(nèi).

圖4

圖5

“圓”在小學(xué)人教版教材中是六年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容,教材強(qiáng)調(diào)“做中學(xué)”,通過(guò)在圓規(guī)畫(huà)圓、圍餐桌鐵皮等活動(dòng)中解決問(wèn)題,引發(fā)學(xué)生思考,幫助學(xué)生理解概念,獲得知識(shí),體會(huì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和極限思想,培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)、推理意識(shí)和幾何直觀.

在北師初中大版教材中,涉及圓的內(nèi)容有兩部分. 七年級(jí)下冊(cè)第四章第五節(jié)“多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)”將圓定義為“平面上,一條線段繞著它規(guī)定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)形成的圖形”. 九年級(jí)下冊(cè)第三章整個(gè)章節(jié)系統(tǒng)的介紹了圓的內(nèi)容,將圓定義為“平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形”,已經(jīng)滲透了集合的思想. 初中階段對(duì)于圓的學(xué)習(xí)主要是在九年級(jí),利用學(xué)生已有知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),如利用軸對(duì)稱(chēng)性探索切線長(zhǎng)定理和垂徑定理,利用旋轉(zhuǎn)不變性探索圓的弦、弧、角之間的關(guān)系,利用演繹推理的方法研究圓心角和圓周角之間的關(guān)系. 教材內(nèi)容包含了分類(lèi)思想、合情推理思想、演繹推理思想,注重培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

高中階段,圓有關(guān)的內(nèi)容有兩節(jié),相對(duì)較少,分別是“圓的方程”和“直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系”.“圓的方程”運(yùn)用坐標(biāo)法確定圓的一般方程或者標(biāo)準(zhǔn)方程,研究幾何和代數(shù)之間的關(guān)系,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.“直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系”在初中“直線與圓的位置關(guān)系”的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步定量研究. 三個(gè)學(xué)段關(guān)于圓的學(xué)習(xí)差別較大,小學(xué)階段是對(duì)圓初步認(rèn)識(shí),初中階段是對(duì)圓的重點(diǎn)研究,內(nèi)容最多,高中階段則是采用坐標(biāo)法對(duì)圓進(jìn)行定量研究.

三個(gè)學(xué)段關(guān)于圓的內(nèi)容雖然重點(diǎn)不同, 但是聯(lián)系密切.如小學(xué)提到的“圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小”,就是初中圓的定義和高中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ). 小學(xué)的“圓的周長(zhǎng)”、“圓的面積”、“扇形”是初中研究“弧長(zhǎng)及扇形的面積”的基礎(chǔ). 只有把握知識(shí)的前后聯(lián)系, 了解學(xué)生的思維水平,教師才能確定學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),提高課堂效率,培養(yǎng)核心素養(yǎng).

2.2 貫通數(shù)學(xué)史,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

課例1 中運(yùn)用了墨子的名言“圓,一周同長(zhǎng)也”,滲透數(shù)學(xué)文化,增加了學(xué)生的文化自信. 課例2 中講解了《幾何原本》中第4 卷命題4. 5“作三角形的外接圓”,滲透了古希臘數(shù)學(xué)史[2]. 課例3 介紹了坐標(biāo)法對(duì)幾何圖形的研究,滲透了解析幾何的歷史. 數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)不可分割的一部分,目前課堂對(duì)于數(shù)學(xué)史的滲透是不成體系的,這就導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史的認(rèn)識(shí)都是零碎的,阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的產(chǎn)生. 課例3 中老師滲透數(shù)學(xué)史知識(shí)時(shí),提到了墨子“圓,一周同長(zhǎng)也. ”和《幾何原本》,雖然是短短幾句話,但是學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)史的整體認(rèn)識(shí)有很大的提高. 三個(gè)學(xué)段的數(shù)學(xué)史也可以進(jìn)行串聯(lián),如在各學(xué)段學(xué)習(xí)圓的有關(guān)內(nèi)容之后,在復(fù)習(xí)課以數(shù)學(xué)史為主線幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化. 特別是在高中階段,學(xué)完一部分內(nèi)容之后,在復(fù)習(xí)課以數(shù)學(xué)史為主線,兼顧義務(wù)教育階段內(nèi)容,梳理數(shù)學(xué)史,幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情. 表1 是筆者對(duì)小初高三個(gè)學(xué)段與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)史的梳理,供各位同行參考.

表1

2.3 貫通核心素養(yǎng),體現(xiàn)階段性與一致性

三節(jié)展示課中,隨著年齡的增長(zhǎng),學(xué)生的行為活躍程度降低,但是思維的活躍程度增高. 活動(dòng)設(shè)計(jì)小學(xué)以游戲?yàn)橹?初中以動(dòng)手操作為主,高中則以討論探究為主,問(wèn)題難度不斷增加,思維含量不斷增大,一方面是學(xué)生年齡特點(diǎn)導(dǎo)致,另一方面是學(xué)生知識(shí)水平不同, 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平不同導(dǎo)致.課例1 注重感知幾何圖形及其組成元素,課例2 注重分析圖形的性質(zhì),課例3 注重建立形與數(shù)的聯(lián)系. 課例1、2 注重培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng),課例3 注重培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng),這體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的一致性和階段性. 教育教學(xué)過(guò)程中,不但要注重學(xué)生原有知識(shí)水平,更要注重學(xué)生原有的素養(yǎng)水平. 對(duì)同類(lèi)知識(shí),明確在不同的學(xué)段核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重點(diǎn),教學(xué)才能有的放矢.

如圖6,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的頂層設(shè)計(jì),具有整體性、一致性和階段性,并且三個(gè)學(xué)段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都體現(xiàn)了“三會(huì)”,即用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界(下表簡(jiǎn)稱(chēng)為數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語(yǔ)言),但在具體表述又有所不同[3]. 小學(xué)階段側(cè)重對(duì)經(jīng)驗(yàn)的感悟,初中階段側(cè)重對(duì)概念的理解,高中階段側(cè)重于數(shù)學(xué)的本質(zhì)的探究和能力的掌握. 即低年級(jí)段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)偏于具體,更加側(cè)重于意識(shí)方面;高年級(jí)段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)偏于抽象,更加側(cè)重于能力方面[4].

圖6

從大單元教學(xué)的角度分析,圓的相關(guān)內(nèi)容,小學(xué)階段注重培養(yǎng)幾何直觀,初中階段注重培養(yǎng)推理能力,高中階段注重培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng). 初中階段關(guān)于圓的學(xué)習(xí)主要是通過(guò)合情推理和演繹推理學(xué)習(xí)圓的相關(guān)性質(zhì). 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng),不僅要關(guān)注到當(dāng)節(jié)內(nèi)容,更要從大單元的視角關(guān)注要重點(diǎn)培養(yǎng)的核心素養(yǎng),還要關(guān)注其它學(xué)段相關(guān)內(nèi)容注重哪方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 通過(guò)對(duì)比分析,教師應(yīng)關(guān)注到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一致性和階段性,關(guān)注學(xué)生原有素養(yǎng)水平,確定核心素養(yǎng)的培養(yǎng)增長(zhǎng)點(diǎn),才能更好的將核心素養(yǎng)落地.

3 結(jié)語(yǔ)

全學(xué)段融貫通一體化發(fā)展的系列教研,其目的是建立小學(xué)與初中、初中與高中銜接的長(zhǎng)效機(jī)制,加強(qiáng)小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)教學(xué)“融貫通課堂”的互學(xué)共研,讓學(xué)生在“全學(xué)段貫通式教學(xué)”中得到“系統(tǒng)性”、“連貫性”、“發(fā)展性”的思維訓(xùn)練中成長(zhǎng);讓教師在“一體化發(fā)展”中教學(xué)能力提升. 提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng), 切實(shí)落實(shí)課堂減負(fù)提質(zhì)主陣地作用,全面提高教育質(zhì)量,為學(xué)生終身發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).