山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué) (271400) 張志剛

一、試題與解析

題目(2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)預(yù)賽第6 題)若ΔABC的三邊a,b,c滿足a2+b2+3c2= 7,則ΔABC面積的最大值是____.

本題探求三角函數(shù)面積的最大值,重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng),具有較好的區(qū)分度.

分析解答本題關(guān)鍵有二: 一是選取合適的形式表示三角形的面積;二是求出面積表達(dá)式的最大值. 對(duì)于三角形的面積表示,可考慮、正弦定理、海倫公式和分割轉(zhuǎn)化等,而最值的求解有代數(shù)法和幾何法. 代數(shù)法是由題設(shè)條件結(jié)合三角形知識(shí)將面積表示為邊(或角)的表達(dá)式,然后用函數(shù)(含三角函數(shù))最值或不等式放縮等求出最值. 幾何法則通過積極聯(lián)想,賦予表達(dá)式一定的幾何意義,進(jìn)而求出最值. 此外,對(duì)于多元函數(shù)最值問題,消參減元是貫穿解題始終的主線,即把雙變量問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)(或不等式)問題,再輔以換元法、構(gòu)造法、放縮法、配方法及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法,實(shí)現(xiàn)消元、降冪、化簡之目的.

下面以ΔABC面積的表示為切入點(diǎn),從多個(gè)視角嘗試解答. 記ΔABC的面積為S.

二、背景揭示

本題的命制源于外森比克不等式.

該結(jié)論由外森比克(Weitzenbock)于1919 年提出,它揭示了三角形邊長與面積的一種約束關(guān)系. 其幾何意義是: 以三角形的三邊分別做等邊三角形,其面積之和大于等于原三角形面積的3 倍. 1961 年國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中就要求證明該式,2011 年科索沃?jǐn)?shù)學(xué)奧林匹克試題亦對(duì)其進(jìn)行了考查[1].

將外森比克不等式加以推廣,可得結(jié)論2.

結(jié)論2若ΔABC的三邊長為a,b,c, 面積為S, 若x,y,z＞0,則xa2+yb2+zc2≥

證明由余弦定理及柯西不等式得,

由外森比克不等式衍生的其他結(jié)論見文獻(xiàn)[2-4],不再贅述.

前文探討了以外森比克不等式為背景命制的一類三角形面積極值問題. 一個(gè)自然的問題是: 四邊形是否也存在類似問題呢? 例如,若凸四邊形ABCD的邊長分別是a,b,c,d,滿足a2+b2+2c2+2d2=8,那么四邊形ABCD的面積的最大值是多少? 通過觀察、歸納、猜想,能否發(fā)現(xiàn)一些一般性事實(shí)呢? 對(duì)于這些問題,將另文探究.

下面給出幾題,供讀者練習(xí).

(1) (2022 年石家莊市三模第16 題) 在ΔABC中, 角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c, 若a2+b2+ 2c2= 8, 則ΔABC面積的最大值為____.

(2)設(shè)ΔABC的面積為2,若角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則a2+2b2+3c2的最小值為____.

(3)已知ΔABC的三邊分別為a,b,c,面積為S,且滿足4a2=b2+2c2,則的最大值是____.

(4) 在四邊形ABCD中,AB= 3,BC= 4,CD= 5,AD=6,則四邊形ABCD的面積的最大值是___.__