柳雅真，王利強(qiáng),2

面向批量訂單包裝的物流箱規(guī)格優(yōu)化問題研究

柳雅真1，王利強(qiáng)1,2*

（1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122；2.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點實驗室，江蘇 無錫 214122）

針對面向倉儲物流環(huán)境下多型號多批量產(chǎn)品的訂單包裝問題，提出一種預(yù)制物流箱規(guī)格優(yōu)化模型及算法。對產(chǎn)品訂單建立訂單分包規(guī)則，確定分包方案，以訂單包裝材料總成本最小為優(yōu)化目標(biāo)建立物流箱規(guī)格優(yōu)化模型。針對該模型提出一種改進(jìn)模擬退火算法，通過貪婪策略求解最優(yōu)分包方案，降低模型計算復(fù)雜度，設(shè)計一種新型解更新算子，以提高算法尋優(yōu)能力，設(shè)計一種自適應(yīng)步長策略，以平衡算法前期全局搜索與后期局部搜索的能力。通過實例證明，文中提出的算法相較于其他算法，具有更強(qiáng)的求解能力，與實例企業(yè)倉儲包裝現(xiàn)狀相比，同批訂單降低了17%的包裝材料成本。該方法可用于解決產(chǎn)品種類多、尺寸差異大、動態(tài)更新等應(yīng)用場景下的系列運輸包裝紙箱規(guī)格優(yōu)化問題，為企業(yè)物流運輸管理提供了一種有效的包裝優(yōu)化思路和解決方法。

批量訂單包裝；物流箱；模擬退火算法；貪婪策略；規(guī)格優(yōu)化問題

在敏捷制造下，產(chǎn)品的訂單量與出貨頻次呈現(xiàn)差異化、高頻率趨勢[1]，企業(yè)對產(chǎn)品物流箱通用性、標(biāo)準(zhǔn)化的要求越來越高，但在實際使用物流箱包裝時，常會出現(xiàn)包裝箱與產(chǎn)品尺寸適配度低的情況，導(dǎo)致包裝材料的消耗量和運輸體積增大，造成物流總成本增大。Lu等[2]研究發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)有解決方案中，消費者最傾向于通過優(yōu)化包裝策略解決過度包裝問題。Geary等[3]和Ahire等[4]的研究均指出，正確的包裝決策可以降低企業(yè)運營成本。由此可見，提高預(yù)制物流包裝箱的通用性和標(biāo)準(zhǔn)化程度對降低企業(yè)產(chǎn)品包裝成本、提高物流響應(yīng)能力十分必要。

物流箱規(guī)格優(yōu)化問題指根據(jù)待包裝物的需求設(shè)計一個包含不同規(guī)格的物流箱型集合（文中用“物流箱型”表示），最終以最小成本包裝全部物品。物流箱規(guī)格設(shè)計一般基于2種尺寸：運輸工具尺寸、內(nèi)裝物尺寸。前者運用模數(shù)法，按照運輸工具（托盤、集裝箱等）尺寸組合分割得到物流箱尺寸[5-6]，或基于最大物流箱尺寸設(shè)計一系列小規(guī)格物流箱尺寸，便于堆碼儲存[7]。隨著內(nèi)裝物規(guī)格的增多和運輸場景的多樣化，基于內(nèi)裝物尺寸的物流箱型設(shè)計更加符合實際需求。Lee等[8]以箱內(nèi)空間利用率最大化為優(yōu)化目標(biāo)，提出一種混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，以優(yōu)化特定箱型的運輸箱長度。近年來有學(xué)者開始使用啟發(fā)式算法或元啟發(fā)式算法求解多品種產(chǎn)品的包裝規(guī)格優(yōu)化問題。Singh等[9]通過聚類內(nèi)裝物尺寸使包裝箱的種類減少，再以最小化運輸成本為優(yōu)化目標(biāo)，采用遺傳算法計算得到物流箱型，并分別用玩具、設(shè)備和醫(yī)療用品訂單對算法可行性加以驗證。丁奧等[10]以包裝用紙箱耗紙量最少為優(yōu)化目標(biāo)，通過重新定義人工魚群含義和求解策略，使用改進(jìn)人工魚群算法求解快遞箱規(guī)格優(yōu)化問題。此外，在研究包裝箱優(yōu)化等相關(guān)問題時，學(xué)者們還將空間利用率[11]、運輸燃料費[12]等作為優(yōu)化目標(biāo)。

在待包裝物體積較大時，1個箱子無法裝下，還需考慮將待包裝物體拆分后再裝箱的問題。可拆分對象的裝箱問題（Fragmentable Object Bin Packing Problem，F(xiàn)OBPP）最早由Mandal等[13]提出，指在不超過被包裝物的最大可拆分?jǐn)?shù)量和容器體積的情況下，將待包裝物拆分成多個對象，并用不同容器包裝的裝箱問題。后有許多學(xué)者對模型進(jìn)行了細(xì)化和擴(kuò)充，Castro-Silva等[14]引入了負(fù)載平衡約束，求解同一規(guī)格容器中分裝等量物品問題；Wei等[15]在研究選箱及裝箱問題時，設(shè)計了一種二進(jìn)制搜索方法，避免在枚舉裝箱策略時花費過多的計算時間。

針對以批量訂單為包裝對象的物流箱規(guī)格優(yōu)化問題的研究尚較少，該問題不僅要考慮物流箱規(guī)格優(yōu)化問題，還需考慮物流箱尺寸變化時的批量訂單最優(yōu)裝箱問題，該問題具有一定的復(fù)雜性和求解難度。由此，文中針對面向包裝多型號、多批量產(chǎn)品的物流箱規(guī)格優(yōu)化問題，以產(chǎn)品訂單內(nèi)容為待包裝物，構(gòu)建一種訂單分包規(guī)則，以包裝材料總成本最小化為目標(biāo)建立優(yōu)化模型，提出一種包含貪婪策略的改進(jìn)模擬退火算法求解該模型。

1 問題描述

針對大型倉儲包裝及物流需求，預(yù)制一系列不同規(guī)格的紙箱，以隨時滿足所有下達(dá)訂單的包裝需求，并實現(xiàn)降本。其中，下達(dá)訂單中涉及的產(chǎn)品型號和數(shù)量繁多，通過尺寸不一的矩形塊來表征不同型號的產(chǎn)品。由此，將此問題抽象為：在滿足包裝需求的前提下，確定1個物流箱型集包裝1批訂單，使包裝成本最小。其中，物流箱與每個訂單之間必須滿足以下4個基本約束條件。

1）訂單在裝箱時產(chǎn)品之間無縫隙。

2）1個物流箱內(nèi)放置的產(chǎn)品總體積不能超過該箱型的容量。

3）每個訂單最多使用2種物流箱型包裝。

4）訂單之間不存在混裝情況，即1個物流箱內(nèi)僅包含1個訂單的部分或全部內(nèi)容。

在滿足上述4個約束條件的基礎(chǔ)上，在打包時盡可能地優(yōu)化訂單，并接近真實的人工打包習(xí)慣和效果，優(yōu)化及打包策略主要考慮了以下幾方面。

1）按訂單打包時，除考慮物流箱成本外，還需考慮其他包裝材料的成本，如緩沖襯墊、透明膠帶等。

2）按訂單打包時，篩選出多個滿足條件的物流箱型，并遵循空間利用率最大原則，選出最適配的包裝方式。

3）對于體量較大的訂單，需要拆分打包，在分包時盡可能多地利用物流箱內(nèi)的容積，使運輸效益最大化，即考慮可拆分對象裝箱模型的實際應(yīng)用。

2 物流箱規(guī)格優(yōu)化模型

不同訂單的產(chǎn)品型號和數(shù)量各不相同，若1個訂單內(nèi)包含產(chǎn)品的數(shù)量過大，則全部裝入1個物流箱內(nèi)會導(dǎo)致包裝件超重。由此，需制定一種訂單分包規(guī)則，將訂單合理分包后再對其包裝規(guī)格進(jìn)行優(yōu)化。

對涉及的集合和符號進(jìn)行說明：產(chǎn)品集合為，p表示集合中的第種產(chǎn)品，p∈，∈{1, 2, … ,p}，產(chǎn)品p為尺寸各異的矩形塊，長度、寬度、高度分別用l、w、h表示，質(zhì)量為m，體積為V。輸入訂單集合為，o為集合中的第個訂單，o∈，∈{1, 2, … ,o}。物流箱型集合為，c為集合中第種物流箱型，c∈，∈{1, 2, … ,c}，物流箱型c的體積為V，長度、寬度、高度分別為l、w、h，并規(guī)定其最大和最小的長度、寬度、高度分別是max、max、max和min、min、min。

2.1 制定訂單分包規(guī)則

首先，需確定產(chǎn)品p在物流箱型c中的最大裝箱量n。因為同種產(chǎn)品之間的排列屬于弱異構(gòu)體排列，宜使用簡單塊的排列原則[16]，以求得最大的裝箱量，即沿同方向排列枚舉出所有排列方式后求得。經(jīng)計算后，得到集合中每種產(chǎn)品p在物流箱型c中的最大裝箱量n，用于后續(xù)求解。

訂單o中包含產(chǎn)品p的數(shù)量為q，引入決策變量x用于判斷訂單o中是否含有產(chǎn)品p，每筆訂單中有且僅包含1種產(chǎn)品，用式（1）約束。制定訂單分包規(guī)則：規(guī)定訂單o最多使用2款物流箱型進(jìn)行分包，2款物流箱型分別稱為主箱型和零頭箱型，用1和2表示。主箱型指包裝o主要使用的物流箱型，產(chǎn)品p在主箱型中的裝箱量必須達(dá)到n，否則使用零頭箱型。零頭箱指產(chǎn)品p使用該款物流箱裝箱但裝箱量小于其最大裝箱量n的物流箱，其裝箱量由該訂單中未包裝的產(chǎn)品數(shù)量決定。1的使用數(shù)量用n表示，為大于0的整數(shù)。2的使用數(shù)量用m表示，取值為0或1，0表示不使用零頭箱，即使用一定數(shù)量的1包裝o能恰好容納q數(shù)量的產(chǎn)品p；1表示使用零頭箱，由式（2）約束。包裝每個訂單使用主箱和零頭箱數(shù)量的總和即為每個訂單使用的物流箱總數(shù)量N，由式（3）表示。

除尺寸約束外，在分包時必須小于物流箱可承擔(dān)的最大裝箱質(zhì)量max，滿足約束式（4）。在同時滿足尺寸和質(zhì)量約束的情況下，輸出訂單o所有可行的分包方案及包裝訂單o后物流箱箱內(nèi)剩余空間總和Vrest通過式（5）計算。

2.2 設(shè)定目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)上述模型確定訂單分包方案，并將其作為包裝對象，在物流箱型集合中使用適配規(guī)格和數(shù)量的物流箱打包。在裝箱后，若箱體內(nèi)部仍有空隙，則使用緩沖包裝填充，最后使用膠帶封箱。由此可見，選用的物流箱型與被包裝物的適配程度直接影響包裝材料的成本。當(dāng)物流箱型與被包裝物的適配度不高時，包裝箱內(nèi)的剩余空間較大，包裝材料用量的增加會導(dǎo)致其成本升高。此模型使用包裝材料的總成本作為評價物流箱型集合優(yōu)劣的依據(jù)，并以包裝所有訂單使用的最小包裝材料總成本作為目標(biāo)函數(shù)。

訂單的包裝材料成本由3個部分構(gòu)成，分別是物流箱成本carton、封箱膠帶成本tape和緩沖襯墊成本buffer，通過式（6）計算。其中，物流箱材料使用瓦楞紙板，考慮到采購、庫存成本等因素，根據(jù)對應(yīng)箱型的使用數(shù)量制定價格梯度。將瓦楞紙板材料單價carton分為高、中、低3個梯度，并設(shè)置每款瓦楞紙箱的使用數(shù)量界限1和2，當(dāng)使用數(shù)量小于1時使用高單價策略carton1，在1和2之間時使用中單價策略carton2，大于2時使用低單價策略carton3。物流箱成本carton通過瓦楞紙板單價與耗紙量的乘積計算，見式（7）。物流箱型c的耗紙量S由式（8）確定。封箱膠帶成本的計算見式（9），在封箱時膠袋的截取長度超出物流箱長度尺寸部分用'表示，tape為膠帶單價。式（10）用于計算緩沖襯墊的成本。由于緩沖填充物在箱體中填充體積與實際使用量相比有一定膨脹，取為膨脹系數(shù)的倒數(shù)，用于計算緩沖物的實際使用量，單價用buffer表示。

3 算法設(shè)計

這里求解的箱型規(guī)格優(yōu)化問題已被證明屬于NP-hard問題[16]，針對該類問題常用元啟發(fā)式算法求解，如遺傳算法、模擬退火算法、人工魚群算法等。模擬退火算法（Simulated Annealing Algorithm，SA）通過模擬熱力學(xué)中的退火過程，由某個較高溫度開始，隨著溫度緩慢下降不斷重復(fù)搜索優(yōu)解，直到滿足終止條件。SA的優(yōu)點是在算法初期可以搜索更廣泛的解空間，通過擴(kuò)大搜索范圍，或根據(jù)Metropolis準(zhǔn)則以一定概率接受差解，以避免算法陷入局部最優(yōu)。SA算法的計算流程簡單且通用性較強(qiáng)，這里擬采用此算法進(jìn)行求解。由于SA算法存在對整體解空間認(rèn)識不足、搜尋效率較低、所求解性能有限等問題，因此這里提出一種改進(jìn)SA算法求解。即，在生成初始解階段，將解均勻分布在可行域中，避免陷入局部求解；在解探索階段，設(shè)計一種新型解更新算子提高算法尋優(yōu)能力，設(shè)計一種自適應(yīng)步長策略平衡算法前期全局搜索能力和后期局部搜索能力；提出一種有效的處理方式，以處理求解過程中出現(xiàn)的無效解情況。

此外，解的變化使參數(shù)的多樣性增加，大大提高了計算的復(fù)雜程度，會影響后續(xù)目標(biāo)函數(shù)值的計算效率。貪婪算法具有自頂向下的處理方式，在求解問題時將問題簡化為若干個子問題，以求得最優(yōu)解，經(jīng)過多次貪婪選擇后最終得到整體的最優(yōu)解。這里采用引入貪婪分包策略的改進(jìn)模擬退火算法求解物流箱規(guī)格優(yōu)化問題，算法流程如圖1所示，算法步驟如下。

1）初始化參數(shù)。確定退火初始溫度0、終止溫度min、退火系數(shù)、馬爾可夫鏈長、最大可重復(fù)搜索次數(shù)max、步長step等參數(shù)及初始解狀態(tài)0。

2）通過位置更新算子生成新解集s，并由貪婪分包策略確定訂單分包方案，計算目標(biāo)函數(shù)(s)。

3）判斷當(dāng)前解集是否為無效解。若不是無效解，則進(jìn)入步驟4；否則，判斷重復(fù)搜索次數(shù)是否小于最大重復(fù)搜索次數(shù)max。若小于max，則跳轉(zhuǎn)至步驟2）；否則跳轉(zhuǎn)至步驟6）。

4）判斷當(dāng)前解s的目標(biāo)函數(shù)(s)是否小于當(dāng)前最優(yōu)解(*)，或滿足Metropolis準(zhǔn)則。若是，則更新當(dāng)前解為當(dāng)前最優(yōu)解，否則跳轉(zhuǎn)至步驟5）。

5）判斷當(dāng)前鏈長是否小于馬爾可夫鏈長。若是，則返回步驟2），否則跳轉(zhuǎn)至步驟6）。

6）判斷當(dāng)前退火溫度T是否大于等于最小退火溫度min。若是，則利用退火系數(shù)更新退火溫度，并計算自適應(yīng)步長step，跳轉(zhuǎn)至步驟2）。若否，則終止算法。

圖1 算法流程

3.1 解的表示

此算法的解由物流箱型集合中不同的物流箱型構(gòu)成，由矩陣s表示，如式（11）所示。其中，每個行向量表示1款物流箱型，行向量中的3個元素分別表示該款物流箱型的長度、寬度、高度，集合中共包含的箱型數(shù)量c對應(yīng)矩陣的行數(shù)。將解的最大和最小邊界max=(max,max,max)和min=(min,min,min)作為解搜索的可行域，生成的所有解均要求在可行域內(nèi)。

3.2 解的初始化

初始解在一定程度上決定了后續(xù)優(yōu)化方向，合理的初始化解方法對于算法求解至關(guān)重要。為了使搜索范圍在可行域內(nèi)分布得更廣，采用Δ、Δ、Δ分別表示物流箱各方向最大與最小尺寸的差值，通過式（12）得到初始解0，使初始解均勻分布在可行域中。

3.3 基于貪婪策略確定訂單分包方案

貪婪算法的核心是選擇一種合適的貪婪策略，得到滿足一定條件的最優(yōu)解。由此，基于貪婪策略求解訂單最優(yōu)的分包方案，以包裝所有訂單使用的物流箱內(nèi)剩余空間總和最小為目標(biāo)函數(shù)確定訂單的分包方案，將其作為待包裝物參數(shù)，用于后續(xù)目標(biāo)函數(shù)的計算，可以提高算法整體的求解效率。貪婪策略的目標(biāo)函數(shù)如式（13）所示。

基于貪婪策略確定最優(yōu)訂單分包方案步驟如下。

1）產(chǎn)品最大裝箱量初始化。以當(dāng)前解s為研究對象，計算每種產(chǎn)品在每種物流箱型中的最大裝箱量。

2）得到所有可行的分包方案。訂單按照分包規(guī)則逐一使用每款物流箱型作為主箱型進(jìn)行分包，輸出每個訂單滿足約束的所有分包方案。

3）求解最優(yōu)分包方案。以式（13）為目標(biāo)，求得每個訂單的最優(yōu)分包方案，并將其作為本代改進(jìn)SA算法求解時的參數(shù)。

3.4 無效解處理機(jī)制

無效解指當(dāng)前訂單中的產(chǎn)品無法放入現(xiàn)有集合的任何一款物流箱型中，則稱該物流箱型集構(gòu)成的解為無效解。針對該情況，此算法設(shè)置了最大可重復(fù)搜索次數(shù)max，當(dāng)出現(xiàn)無效解時，在本代重新搜索可行解，將搜索次數(shù)記為。若執(zhí)行max后仍無法得到本代的可行解，則不更新本代解。

3.5 解的接受準(zhǔn)則

接受準(zhǔn)則是在迭代過程中如果當(dāng)前適應(yīng)度值優(yōu)于目前優(yōu)解*，則接受新解，接受概率為1；否則采用Metropolis接受準(zhǔn)則以一定概率接受差解，以便后續(xù)在新鄰域中重新尋優(yōu)可行解，從而避免解陷入局部最優(yōu)。接受概率由式（14）表示。此外，差解接受概率隨著退火溫度的降低而逐漸減小，最終趨于0。

3.6 迭代準(zhǔn)則

3.7 自適應(yīng)步長策略

在解搜索過程中，步長越大，越容易進(jìn)行全局搜索，但降低了搜索精度；反之，步長越小，求解精度越高，但易陷入局部最優(yōu)。此算法提出了一種自適應(yīng)步長策略，如式（16）所示。該自適應(yīng)步長綜合考慮了退火的初始溫度、終止溫度和當(dāng)前退火溫度的關(guān)系，使步長隨著退火溫度的變化而改變。在算法初期退火溫度較高時，較大的步長可以擴(kuò)大解搜索范圍，使解搜索空間更全面，避免陷入局部最優(yōu)；隨著退火溫度的降低，自適應(yīng)步長逐漸變小，在局部范圍內(nèi)更易搜索到優(yōu)解。

3.8 解位置更新算子

原SA算法解的更新是解在定步長內(nèi)隨機(jī)變化，因此解搜索能力不足。這里引入向歷史最優(yōu)解靠攏的思想，根據(jù)當(dāng)前解s和歷史最優(yōu)解*中每款箱型的位置關(guān)系更新解鄰域搜索范圍。變量d為s中某元素a和*中對應(yīng)位置元素a之間的距離，通過式（17）表示。其中，角標(biāo)表示解矩陣的第列。新解位置的搜索范圍由當(dāng)前解位置、步長step、距離d，以及解的最大邊界和最小邊界max、min確定，分別用+和?表示當(dāng)前解位置上對應(yīng)元素與步長之間的和或差值，新解取閾值內(nèi)隨機(jī)整數(shù)更新解中各元素，如式（18）所示。比如，當(dāng)距離大于0時，當(dāng)前解為鄰域搜索范圍的最小值，搜索范圍的最大值取當(dāng)前解位置與步長之和、當(dāng)前解位置與距離之和、解的最大搜索范圍這三者中的最小值。

4 實例分析

為了驗證算法的效果和可行性，運用實例進(jìn)行仿真試驗。A企業(yè)是一家全球性半導(dǎo)體制造商，主銷產(chǎn)品是各類芯片，產(chǎn)品形態(tài)為多個芯片集成后構(gòu)成的不同規(guī)格矩形塊。使用A公司2021年某季度銷售的39 321條訂單數(shù)據(jù)進(jìn)行算例分析，采集的訂單數(shù)據(jù)中共包含612種產(chǎn)品，不同型號產(chǎn)品的長度、寬度、高度分別為188～588 mm、79～355 mm、20～105 mm，單筆訂單內(nèi)包含產(chǎn)品的數(shù)量為1～280個。為了增加對比性，分別比較了改進(jìn)SA算法與其他算法的效果，并與企業(yè)現(xiàn)行物流箱方案進(jìn)行對比，證明算法的有效性。此外，探究了不同物流箱型數(shù)量對使用包裝材料總成本的影響，將c取5～20進(jìn)行計算分析。本文算法使用Python開發(fā)，所得結(jié)果均在AMD Ryzen7 4800H-2.90 GHz CPU、Windows 64位操作系統(tǒng)的PC上得到。

模型參數(shù)設(shè)置：物流箱型的最大規(guī)格，max=650 mm，max=650 mm，max=450 mm；單箱可承載的最大裝箱質(zhì)量max=20 kg，物流箱型數(shù)量c=9；在包裝材料定價方面，使用數(shù)量界限1=1 000個，2=10 000個，物流箱單價分別為carton1=6.54 元/m2，carton2=5.04元/m2，carton3=4.68 元/m2，膠帶定價tape=0.05 元/m2，緩沖材料定價buffer=53 元/m2；其他參數(shù)，'=280 mm，=1.5。在模擬退火算法中，初始溫度、退火系數(shù)和終止溫度共同影響外循環(huán)的迭代次數(shù)，迭代次數(shù)越多則搜索越充分，但過長的迭代次數(shù)會導(dǎo)致搜索時間過長且無效搜索次數(shù)增多；采用馬爾可夫鏈長控制內(nèi)循環(huán)次數(shù)，過短導(dǎo)致搜索不充分，過長則會導(dǎo)致搜索時間大大增加。由此，綜合考慮了計算效果和求解時間，將算法參數(shù)設(shè)置為初始溫度0=100 000 ℃，終止溫度min=1 ℃，初始步長step=100，退火系數(shù)=0.95，馬爾可夫鏈長=25，最大重復(fù)搜索次數(shù)max=10。

4.1 算法分析

將文中的改進(jìn)SA算法與原SA算法，以及加入文中解位置更新算子的原SA算法和加入文中自適應(yīng)步長的原SA算法的求解情況進(jìn)行了比較，算法迭代圖如圖2所示。原SA算法的初期解探索能力較差，在迭代中后期陷入局部最優(yōu)，求解能力有限；在加入文中解位置更新算子后，算法在全局搜索方面更具優(yōu)勢，提高了原SA算法的尋優(yōu)能力；加入文中自適應(yīng)步長策略的原SA算法，在算法中后期有更強(qiáng)的局部搜索能力。文中SA算法結(jié)合了2種策略，其最優(yōu)解的求解能力較原SA算法提升了15%，得到了更優(yōu)解。

圖2 改進(jìn)SA算法分析

4.2 算法評價

為了評價文中算法，將文中SA算法與文獻(xiàn)[11]中的改進(jìn)人工魚群算法（AFSA）、文獻(xiàn)[16]中的改進(jìn)遺傳算法（GA）進(jìn)行了性能對比，算法迭代對比如圖3所示。其中，AFSA算法的種群規(guī)模為9（與物流箱型數(shù)量相同），視野為100 mm，覓食次數(shù)為15次，退火冷卻系數(shù)為0.95；GA算法中的種群規(guī)模為30，采用錦標(biāo)賽選擇算子、交叉算子和隨機(jī)變異算子，交叉概率為80%，變異概率為40%。為了更好地對比算法效果，2個算法的目標(biāo)函數(shù)和迭代次數(shù)均與文中算法一致，其他條件保持不變。

由圖3可知，文中SA算法在整個迭代過程中的表現(xiàn)均優(yōu)于文獻(xiàn)[16]；與文獻(xiàn)[11]相比，在迭代初期文中算法會出現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)值略低的情況，但在迭代中后期文中算法表現(xiàn)突出。算法分析：文中改進(jìn)SA算法使用解更新算子，相較于文獻(xiàn)[16]采用錦標(biāo)賽選擇算子和交叉算子，有較優(yōu)的算法尋優(yōu)效率，使得整個迭代過程的每代解均優(yōu)于文獻(xiàn)[16]。文獻(xiàn)[11]通過自定義人工魚群，使得迭代初期的結(jié)果較優(yōu)，但算法在后期缺乏對解的持續(xù)探索能力。文中改進(jìn)SA算法通過加入自適應(yīng)步長策略，平衡了前期全局搜索能力與中后期迭代的持續(xù)探索能力，得到了更優(yōu)解。可以證明文中SA算法具有更優(yōu)的解探索能力，并可得到最優(yōu)解。

圖3 算法迭代對比

當(dāng)物流箱型數(shù)量c設(shè)置為9時（與企業(yè)現(xiàn)行物流箱型數(shù)量一致），與A企業(yè)現(xiàn)行箱型相比，包裝算例訂單所用包裝的總成本為39.72萬元，總耗紙量為77 640 m2，箱內(nèi)空間利用率為71.61%。與A企業(yè)包裝現(xiàn)狀相比，其總成本降低了17%，總耗紙量減少了17%，箱內(nèi)空間利用率提高了8%，具體數(shù)據(jù)對比見表1。由此可見，企業(yè)在使用優(yōu)化后的物流箱型包裝批量產(chǎn)品時，可實現(xiàn)降低包裝材料總成本的目的，在節(jié)約包裝材料、提高裝箱空間利用率的同時，減少了企業(yè)運營成本。

表1 物流箱規(guī)格優(yōu)化情況對比

Tab.1 Comparison of logistics bin specification optimization

4.3 箱型數(shù)量與成本關(guān)系

通過分析不同數(shù)量規(guī)格的物流箱型對包裝材料總成本的影響，為企業(yè)管理者制定物流箱型數(shù)量提供了思路和依據(jù)。按照現(xiàn)有成本模型計算物流箱型數(shù)量與包裝材料總成本的關(guān)系，結(jié)果如圖4所示。由圖4可知，當(dāng)物流箱型數(shù)量為5種時，所用的包裝材料總成本最高為42.13萬元；當(dāng)物流箱型數(shù)量為14種時，所用的包裝材料總成本最低，為38.68萬元。由此可知，制定14種箱型數(shù)量構(gòu)成該倉儲物流環(huán)境下預(yù)制物流箱規(guī)格集時可使包裝材料的總成本最小。

總體來看，包裝材料總成本隨著物流箱型數(shù)量的增加，呈現(xiàn)先迅速減小后緩慢增大的趨勢。在物流箱型的數(shù)量小于14種時，包裝材料總成本隨著物流箱型數(shù)量的增加而減少。當(dāng)物流箱型的數(shù)量大于14種時，包裝材料總成本隨著箱型數(shù)量的增加而緩慢增加。出現(xiàn)這個趨勢的原因，一方面，在箱型數(shù)量較少時，隨著物流箱型數(shù)量的增加，瓦楞紙板材料的耗紙量降低，且紙箱內(nèi)空間的利用率增加；另一方面，在箱型較少時，每款箱型的使用數(shù)量均較多，瓦楞紙板材料多為中低定價，因此包裝材料總成本在該區(qū)間內(nèi)急速下降。當(dāng)物流箱型的數(shù)量超過一定值時，由于箱型數(shù)量的增加使得大部分物流箱型采用高定價策略計算物流箱成本。另外，箱型數(shù)量的增多提高了物流箱與產(chǎn)品的適配度，使得包裝材料用量更合理，因此包裝材料的總成本緩慢上升。

圖4 物流箱型數(shù)量與包裝材料成本之間的關(guān)系

5 結(jié)語

為了提高物流包裝通用性，滿足標(biāo)準(zhǔn)化需求，針對多型號、多批量的物流箱規(guī)格優(yōu)化問題，通過建立訂單分包規(guī)則得到符合約束的分包方案，綜合考慮包裝材料用量、箱內(nèi)空間利用率等因素，以包裝材料總成本最小化為目標(biāo)建立優(yōu)化模型，并提出了使用貪婪分包策略的改進(jìn)SA算法求解該模型。貪婪分包策略用于求解訂單的最優(yōu)分包方案，改進(jìn)SA算法提出了一種解位置更新算子和自適應(yīng)步長策略，以提高算法搜索能力，并提出一種無效解處理機(jī)制。使用企業(yè)實例進(jìn)行驗證，通過與其他文獻(xiàn)中算法進(jìn)行比較，證明文中算法有效，并分析了物流箱型數(shù)量與包裝材料成本之間的關(guān)系。

文中提出的方法可應(yīng)用于多型號多批量產(chǎn)品或有訂單分包需求的物流箱規(guī)格優(yōu)化等方面，為后續(xù)相關(guān)研究及企業(yè)倉儲管理提供了一種包裝設(shè)計思路和解決方法，對降低企業(yè)運營成本具有一定參考意義。未來可考慮在運費成本、庫存成本等多目標(biāo)下對物流箱規(guī)格進(jìn)行優(yōu)化。

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Optimization of Logistics Bin Specification for Batch Order Packaging

LIU Ya-zhen1,WANG Li-qiang1,2*

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Jiangsu Wuxi 214122, China; 2. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment & Technology, Jiangsu Wuxi 214122, China)

The work aims to propose a prefabricated logistics bin specification optimization model and algorithm to solve the order packaging problem of multi-variety and multi-batch products in warehousing logistics environment. Firstly, the split packing rules were established for product orders to determine all split packaging plan. A logistics bin size optimization model was established with the minimum total cost of packaging materials for all orders as the optimization objective. Then, an improved simulated annealing algorithm was proposed for this model. After using greedy strategy to solve the optimal split packaging plan to reduce the computational complexity of the model, a new solution updating operator was designed to improve the optimization ability of the algorithm, and an adaptive step size strategy was designed to balance the global search and local search ability of the algorithm. The experimental results showed that the algorithm had stronger solving ability than other algorithms; compared with the packaging status of example enterprises, the same order could reduce 17% packaging cost. This method can be used to solve the problem of optimizing logistics bin specifications for series transportation under the application scenario of multiple product types, large size differences and dynamic updates, providing an effective set of packaging optimization ideas and solutions for enterprise logistics and transportation management.

batch order packaging; logistics bin; simulated annealing algorithm; greedy strategy; specification optimization problem

TB485.3；TP301.6

A

1001-3563(2023)17-0229-08

10.19554/j.cnki.1001-3563.2023.17.028

2023-01-04

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金（JUSRP21115）；江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點實驗室自主研究課題資助項目（FMZ201902）

責(zé)任編輯：彭颋