■陜西省漢中市西鄉(xiāng)縣第二中學 陳 剛

坐標系與參數(shù)方程為高考選考內容之一,題量、考查難度都相對穩(wěn)定。近幾年高考全國卷坐標系與參數(shù)方程考查的問題主要有:極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化;求曲線的軌跡方程;利用極坐標方程、參數(shù)方程解決交點問題、距離問題、最值問題等。試題分設兩問,第一問考查內容多為極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化或求曲線的軌跡方程,第二問考查內容多為利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義或極坐標方程中極徑和極角的幾何意義解決問題,內容涉及交點、距離、面積、弦長等問題。在解決此類問題的過程中,需要注意數(shù)形結合、轉化與化歸等數(shù)學思想的應用。整體來講,考查難度定位中等偏易,是考生容易突破的一道題目。本文結合實例探析2023 年高考全國卷坐標系與參數(shù)方程的考向、?？碱}型及解題方法。主要目的是幫助同學們把握高考脈搏,提高復習備考效果和效率。

題型一、求曲線的極坐標方程

總結：求曲線的極坐標方程的一般步驟:(1)建立適當?shù)臉O坐標系,設P(ρ,θ)是曲線上任意一點。(2)由曲線上的點所滿足的條件,列出曲線上任意一點的極徑ρ和極角θ之間的關系式。(3)將列出的關系式進行整理、化簡,得出曲線的極坐標方程。

題型二、極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化

(1)求曲線C1和曲線C2的極坐標方程;

總結：(1)直角坐標方程與極坐標方程的互化:如果將極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與x軸重合,則同一個點可具備極坐標（ρ,θ）和直角坐標（x,y）,那么兩種坐標間的轉化公式為(2)參數(shù)方程與直角坐標方程的互化——消參法,消去參數(shù)的方法一般有三種:①代入消參。利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達式,然后代入消去參數(shù)。②整體消參。根據(jù)參數(shù)方程本身的結構特點,靈活地選用一些代數(shù)方法從整體上消去參數(shù)。③三角消參。利用三角恒等式消去參數(shù),如平方消參等。但要注意將參數(shù)方程化為普通方程時取值范圍要保持一致,防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范圍。另外,確定曲線的參數(shù)方程時,一定要根據(jù)實際問題的要求確定參數(shù)的取值范圍,必要時通過限制參數(shù)的范圍去掉多余的解。

題型三、極坐標方程的應用(如距離問題、最值問題)

例3在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρ=6cosθ。

(1)求直線l的極坐標方程和曲線C1的直角坐標方程;

總結：(1)用極坐標系解決問題時,要注意題目中的幾何關系,如果幾何關系不容易通過極坐標表示,可以先化為直角坐標方程,將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題加以解決。(2)用極坐標方程解決有關距離問題時,通常利用ρ和θ的幾何意義,直接求解,能達到化繁為簡的解題目的。(3)用極坐標方程解決有關最值問題時,往往通過極坐標方程引入三角函數(shù),利用三角函數(shù)模型求解最值,這比在直角坐標系中求最值的運算量小。另外,還要注意數(shù)形結合的應用,即充分利用ρ和θ的幾何意義。

題型四、參數(shù)方程的應用(如距離問題、最值問題)

(1)若直線l與曲線C沒有公共點,求t的取值范圍;

在解決與坐標系和參數(shù)方程有關的問題時,從坐標系和參數(shù)方程本身從發(fā),選取適當?shù)姆椒ㄍ梢匀〉檬掳牍Ρ兜男ЧＡ硗?坐標系和參數(shù)方程雖然是選考內容,但如果能夠將它們和普通方程有機聯(lián)系,相互補充,在解決與圓錐曲線有關的高考小題和解答題時,也可以優(yōu)化解題思路、發(fā)散思維,從而簡化計算過程,減少運算量,提高解題的效率。