■四川省綿陽(yáng)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 余 強(qiáng)

縱觀近幾年高考,不等式選講這部分內(nèi)容的試題難度中等,常考內(nèi)容為:絕對(duì)值不等式的求解;應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式求最大或最小值;證明不等式;三元均值不等式及柯西不等式的應(yīng)用等。預(yù)計(jì)2023 年高考仍會(huì)延續(xù)題型靈活、難度中等的趨勢(shì),同學(xué)們只需掌握本部分內(nèi)容的主要考向,并在此基礎(chǔ)上適當(dāng)拓展即可。

考向一、絕對(duì)值不等式的求解與絕對(duì)值三角不等式

1.絕對(duì)值不等式的解法

(1)|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型的不等式,直接轉(zhuǎn)化求解,即|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c?ax+b≤-c,或ax+b≥c。

(2)|ax+b|≤|cx+d|和|ax+b|≥|cx+d|型的絕對(duì)值不等式,可以利用兩邊平方的方法,去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化成一元二次不等式后再求解即可。

(3)一般形式的不等式,例如|x-a|+|x-b|≥c（c＞0）和 |x-a|+|x-b|≤c（c＞0）型的不等式,可以利用零點(diǎn)分段法、幾何法、數(shù)形結(jié)合法求解。

2.絕對(duì)值三角不等式：||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|

(1)|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí),等號(hào)成立。

(2)||a|-|b||≤|a+b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí),等號(hào)成立。

(3)推論:|a-b|+|b-c|≥|a-c|,此性質(zhì)可用于求含絕對(duì)值函數(shù)的最小值,其中,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時(shí),等號(hào)成立。

例1已知函數(shù)f(x)=|2x-6|-|3x-6|。

(1)求不等式f(x)＞1的解集;

(2)若不等式f(x)≤k|x|恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

故實(shí)數(shù)k的取值范圍為[1,+∞）。

評(píng)注:解含有絕對(duì)值的不等式的常用方法有公式法、平方法、零點(diǎn)分段法、數(shù)形結(jié)合法等,對(duì)于不同類型的題目,應(yīng)當(dāng)選擇不同的方法。在使用絕對(duì)值三角不等式時(shí),要注意不等式的取等條件。

考向二、證明不等式

證明不等式的兩種主要方法:

(1)比較法:比較法是證明不等式最基本的方法,主要有作差比較和作商比較兩種。

(2)綜合法和分析法:利用某些已經(jīng)證明成立的不等式和不等式的性質(zhì),推導(dǎo)出所要證明的不等式,這種方法叫綜合法。證明不等式時(shí),可以從求證的不等式出發(fā),分析使這個(gè)不等式成立的充分條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題,如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備,那么就可以判定原不等式成立,這種方法叫分析法。

例2已知a,b為正實(shí)數(shù)。

(1)證明:2a3+a2≤2a4+1;

評(píng)注:作差比較法的步驟:作差、變形、判號(hào)、下結(jié)論。綜合法證明不等式時(shí),要注意分析已知與求證的關(guān)系,分析不等式的左右兩端之間的區(qū)別與聯(lián)系,進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換,這是證明的關(guān)鍵。

考向三、求參數(shù)取值范圍問(wèn)題

求參數(shù)取值范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法:

(1)參變分離法:對(duì)于較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題,可以采用分離參數(shù)法來(lái)解決。

(2)分類討論法:對(duì)于不易參變分離的試題,可采用分類討論法。

(3)數(shù)形結(jié)合法:通常需畫出圖形,通過(guò)直觀分析,從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

例3已知a,b,c∈R,且a2+b2+c2=3。

評(píng)注:不等式恒成立問(wèn)題中常常伴隨著參數(shù)情況,參數(shù)是否可以分離成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵,將參數(shù)與變量分離,即化為m≥f(x)max(或m≤f（x）min)的形式,進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍。

考向四、三元均值不等式和柯西不等式

三元均值不等式與柯西不等式在解決不等式最值問(wèn)題中有其獨(dú)到的魅力,應(yīng)用它們可簡(jiǎn)便地解決問(wèn)題。

例4已知a,b,c均為正數(shù),且4a2+b2+16c2=1,證明:

評(píng)注:利用常見(jiàn)不等式(如均值不等式和柯西不等式)求代數(shù)式的最值,需要尋找合適的模型,再將式子向定值放縮(消元),最后還要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件。

不等式選講是高考選考內(nèi)容之一,考查運(yùn)算求解能力、變形能力、數(shù)形結(jié)合能力、邏輯推理能力等,命題時(shí)通常將絕對(duì)值不等式與函數(shù)或恒成立等問(wèn)題進(jìn)行交匯,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注重?cái)?shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,題目雖然難度不大,但需要同學(xué)們能利用上述考向快速熟練地解決問(wèn)題,希望同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)備考時(shí)多加注意。