范明輝

(湖北省荊門市龍泉中學)

2023年,對于使用數(shù)學新高考Ⅰ卷的省份而言,是新課標、新教材、新高考“三新”背景交會統(tǒng)一的開局之年.新高考Ⅰ卷數(shù)學試題在“反套路”“反機械刷題”上下足了功夫,突出了試題的基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性的考查要求,體現(xiàn)了數(shù)學學科在人才選拔中的重要作用,同時也為今后的復習備考和數(shù)學學習指明了方向.

1 考查維度

2023年數(shù)學新高考Ⅰ卷逐題多維度考查細目如表1所示.

表1

2 試題評析

2.1 基礎性

2023年數(shù)學新高考Ⅰ卷第5,7,9,11,16,20,21,22題重點考查了高中數(shù)學基本概念,第2,3,4,8,10,13,14,17,21對高中數(shù)學基本公式、基本原理進行了考查,突出了試題的基礎性,考查學生對于必備知識的掌握情況.

例1(2023 年新高考Ⅰ卷4)設函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在(0,1)上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是( ).

A.(－∞,－2] B.[－2,0)

C.(0,2] D.[2,＋∞)

分析本題屬于課程學習情境,以指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性為載體,考查邏輯思維能力和運算求解能力.借助復合函數(shù)“同增異減”的單調(diào)性判定法則,將原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y＝x(x－a)在(0,1)上單調(diào)遞減的問題,或直接求導處理,將原問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在(0,1)上小于或等于零恒成立問題.

解法1函數(shù)y＝2x在R 上單調(diào)遞增,而函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在(0,1)上單調(diào)遞減,由復合函數(shù)的單調(diào)性法則,可知函數(shù)y＝x(x－a)在(0,1)上單調(diào)遞減,故對稱軸,即a≥2,故選D.

解法2因為函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以f′(x)＝2x(x－a)·(2x－a)·ln2≤0在(0,1)上恒成立,則2x－a≤0 在(0,1)上恒成立,所以a≥2x,又2x＜2,則a≥2,故選D.

例2(2023 年新高考Ⅰ卷14)在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,AB＝2,A1B1＝1,AA1＝,則該棱臺的體積為________.

分析本題屬于課程學習情境,以正四棱臺的體積為載體,考查運算求解能力.《普通高中數(shù)學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》中指出,“要知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算公式,能用公式解決簡單的實際問題”.自2021年以來,高考數(shù)學試題這幾年都對臺體的體積進行了考查,其目的并不是考查學生對于臺體體積公式的機械記憶,而是要讓大家從臺體的形成過程出發(fā),回到臺體的定義,“還臺為錐”,借助錐體的體積得到臺體的體積,從本質(zhì)上理解并掌握臺體體積的計算公式.

圖1

2.2 綜合性

2023年數(shù)學新高考Ⅰ卷第6,7,8,11,12,16,17,18,19,20,21,22題突出考查高中數(shù)學知識內(nèi)部的聯(lián)系,在知識的交會處命題,凸顯了各模塊之間的聯(lián)系,強調(diào)學生要注重知識的本質(zhì),能夠融會貫通,靈活運用,形成完整的高中數(shù)學知識體系.

例3(2023年新高考Ⅰ卷6)過點(0,－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α,則sinα＝( ).

分析本題屬于課程學習情境,以過圓外一點作圓的切線問題為載體,考查邏輯思維能力和運算求解能力.過圓外一點作圓的切線問題是一種常見的出題背景,新人教A 版高中數(shù)學《選擇性必修第一冊》第92頁便有一道這樣的例題(課本中的例2),而這道高考題在學生熟悉的背景中再次創(chuàng)新,考查三角求值問題,體現(xiàn)試題的綜合性,對學生的綜合運用能力有一定的要求.

解如圖2所示,記點P(0,－2),兩條切線分別為PA,PB,與圓M相切于A,B兩點,連接MA,MB,MP和AB,記AB與MP相交于點C.

易知切點弦AB所在的直線方程為2x＋2y＋1＝0,所以,由勾股定理易求得

例4(2023年新高考Ⅰ卷19)已知函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

分析本題屬于課程學習情境,以函數(shù)單調(diào)性的討論、含參數(shù)不等式的證明為載體,考查邏輯思維能力和運算求解能力.試題設問較為常見,但一改往年的命題風格,題序前移,難度也隨之降低到了課本習題難度.這無疑釋放出了兩個信號:

1)高考解答題的順序不會一成不變,任何模塊都可能成為壓軸題;

2)復習時要重視教材中出現(xiàn)的例題、習題,高考題的考查情境很大程度上來源于教材.考生必須對每個模塊都加以重視,認真學習,要樹立拿滿分的目標.

解(1)易 知f′(x)＝aex－1,當a≤0 時,f′(x)＜0,所以f(x)在R 上單調(diào)遞減;當a＞0時,令f′(x)＞0,可得x＞－lna;令f′(x)＜0,可得x＜－lna,所以f(x)在(－∞,－lna)上單調(diào)遞減,在(－lna,＋∞)上單調(diào)遞增.

解法2記g(x)＝ex－x－1,則g′(x)＝ex－1,所以當x＜0時,g′(x)＜0,當x＞0時,g′(x)＞0,則g(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(0)＝0.又

2.3 應用性

2023年數(shù)學新高考Ⅰ卷第10,13,21題設置生活實踐情境,將抽象的數(shù)學概念與實際生活相結(jié)合,體現(xiàn)了數(shù)學的應用性,強調(diào)學生要注重理論聯(lián)系實際,活學活用,考查學生運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力.

例5(2023年新高考Ⅰ卷10,多選題)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱,定義聲壓級,其中常數(shù)p0(p0＞0)是聽覺下限閾值,p是實際聲壓.表2 為不同聲源的聲壓級.

表2

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m 處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3,則( ).

A.p1≥p2B.p2＞10p3

C.p3＝100p0D.p1≤100p2

分析本題屬于生活實踐情境,以噪聲污染問題為背景,以對數(shù)運算為載體,考查運算求解能力.解決此題的主要難點在于提取表格數(shù)據(jù)信息,結(jié)合聲壓級的定義和對數(shù)運算法則,正確運算出四個選項內(nèi)容中的代數(shù)關系.試題是在新人教A 版高中數(shù)學《必修第一冊》第141頁習題4.4第10題的基礎上創(chuàng)新了設問方式,改變了題型,將高中數(shù)學中的對數(shù)知識和不等式內(nèi)容與實際生活相結(jié)合,在考查學生數(shù)學運算功底的同時,也充分發(fā)揮了試題的德育功能,引導學生注意保護環(huán)境.

例6(2023年新高考Ⅰ卷21)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

(3)已知:若隨機變量Xi服從兩點分布,且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi(i＝1,2,…,n),則記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E(Y).

分析本題屬于生活實踐情境,以投籃這種學生熟悉的生活情境為背景,以概率與統(tǒng)計為載體,考查邏輯思維能力、運算求解能力和數(shù)學建模能力.試題第(1)問考查新人教A 版高中數(shù)學教材新增內(nèi)容“全概率公式”的應用;第(2)問要求學生能夠發(fā)現(xiàn)投籃規(guī)律,構(gòu)建等比數(shù)列模型,運用等比數(shù)列的相關知識運算求解.對于此類問題的求解,在新人教A 版高中數(shù)學《選擇性必修第二冊》第39 頁例12、第41 頁習題4.3第8題中皆有體現(xiàn).第(3)問結(jié)合兩點分布模型,與第(2)問環(huán)環(huán)相扣,需要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和問題.試題引入投籃問題,意在引導學生要加強體育鍛煉,注重勞逸結(jié)合.

解記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai,“第i次投籃的人是乙”為事件Bi.設P(Ai－1)＝pi－1(i＝1,2,…,n),則P(Bi－1)＝1－pi－1.

(1)由題意可得P(B2|A1)＝1－0.6＝0.4,P(B2|B1)＝0.8,由全概率公式得

2.4 創(chuàng)新性

2023年數(shù)學新高考Ⅰ卷第6,11,12,21,22題凸顯了試題的創(chuàng)新性,探索了新的設問方式,強調(diào)學生要靈活運用所學知識,考查學生的探究意識和創(chuàng)新能力,為全面提高人才自主培養(yǎng)質(zhì)量,著力造就拔尖創(chuàng)新人才助力.

例7(2023 年新高考Ⅰ卷11,多選題)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(xy)＝y(tǒng)2f(x)＋x2f(y),則( ).

A.f(0)＝0

B.f(1)＝0

C.f(x)是偶函數(shù)

D.x＝0為f(x)的極小值點

分析本題屬于探索創(chuàng)新情境,以抽象函數(shù)及其性質(zhì)為載體,考查邏輯思維能力、運算求解能力、數(shù)學建模能力和創(chuàng)新能力.對于A,B,C 選項,可采用賦值法解決,難點在于C 選項,判斷函數(shù)的奇偶性需從定義入手,找到f(－x)與f(x)之間的關系.由于等式右邊f(xié)(x)的系數(shù)為y2,等式左側(cè)為f(xy),考慮令y＝－1,將奇偶性的判定問題轉(zhuǎn)化為求f(－1)的值.至于D 選項,可以構(gòu)造符合題意的特殊函數(shù),利用函數(shù)模型加以解決.

解令x＝y(tǒng)＝0,得f(0)＝0,故A 正確.令x＝y(tǒng)＝1,得f(1)＝f(1)＋f(1),所以f(1)＝0,故B正確.令x＝y(tǒng)＝－1,可得f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝0,所以f(－1)＝0;令y＝－1,可得

所以f(x)是偶函數(shù),故C正確.

對于D,考慮常函數(shù)f(x)＝0滿足題設條件,但函數(shù)f(x)無極值點,故D 錯誤.

易知f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在,＋∞)上單調(diào)遞增.縱觀整個定義域,可知x＝0為f(x)的極大值點,故D 錯誤.

綜上,選ABC.

例8(2023年新高考Ⅰ卷12,多選題)下列物體中,能夠被整體放入棱長為1m 的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有( ).

A.直徑為0.99m 的球體

B.所有棱長均為1.4m 的四面體

C.底面直徑為0.01m、高為1.8m 的圓柱體

D.底面直徑為1.2m、高為0.01m 的圓柱體

分析本題屬于探索創(chuàng)新情境,以正方體、球、正四面體、圓柱體等常見的幾何體為載體,考查邏輯思維能力、運算求解能力和空間想象能力.試題以學生熟悉的多面體和旋轉(zhuǎn)體為背景,考查學生對這些幾何體基本特征的掌握情況,同時創(chuàng)新設問方式,對考生的空間想象能力要求較高.值得注意的是,對于D 選項,不能簡單地通過圓柱體的底面直徑1.2 m 小于正方體的體對角線長度m,就認為可將整個圓柱體放入正方體之中,而是要從整體上考慮.

圖3

對于D 選項,首先需要說明的是圓柱體的底面或中截面能夠放入正方體中.如圖4所示,作出正方體中與體對角線A1C垂直且經(jīng)過正方體中心O的正六邊形截面EFGHIJ.

圖4

在《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》的附錄案例11正方體截面的探究中,可以探究發(fā)現(xiàn)此正六邊形截面為正方體內(nèi)面積最大的截面,易求得正六邊形截面EFGHIJ的內(nèi)切圓直徑d＝,因此可在這個正六邊形中可以放入一個以O為圓心,直徑為1.2m 的圓.

接下來需要說明整個圓柱都可以放進去.如圖5所示,在正六邊形截面中過點O作正方體體對角線A1C的垂線交EF于點M,在線段OM上取點P,使得OP＝0.6m,過點P作體對角線A1C的平行線交A1M于點Q,連接PQ.

圖5

因此,正方體內(nèi)可以放入直徑為1.2 m、高為0.03 m的圓柱體,故D 正確.

綜上,選ABD.

3 備考策略

1)潛心研究真題,找準備考方向

高考真題是學生備考的重要參照,必須要潛下心來,認真研究.高中數(shù)學知識內(nèi)容繁多,不同知識的學習目標和要求不盡相同,究竟哪些內(nèi)容應當予以了解,一帶而過,哪些內(nèi)容應當深入探究,拓展推廣,這需要根據(jù)歷年高考真題的考查特點找到備考方向,而不是盲目地進行擴充.2023 年數(shù)學新高考Ⅰ卷第12題是個很好的例子,以正方體為載體,看似簡單,實則頗有難度.不同于日常訓練時“正方體問題建系處理”的情形,此題無法很好地借助空間直角坐標系來解決,需要較強的空間想象能力.這種能力的培養(yǎng),是一個長期的過程,而類似于《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》附錄中的案例11就是很好的學習素材.因此,潛心研究高考真題是非常必要的.

2)靜心鉆研教材,挖掘習題功能

教材是學生學習數(shù)學的基本參照.我們要用教材學,而不是簡單地“學教材”.在學習新知識的過程中,學生要領會教材的編寫意圖,以適當?shù)姆绞接煤媒滩?對于教材中的重要概念,要精心研讀,提煉出概念中所蘊含的數(shù)學思想方法.對于習題的處理,要充分挖掘教材中典型例題、習題的功能,注重“一題多解”和“一題多變”,從多角度看待問題,把握問題的本質(zhì).通過改編教材例題、習題而生成高考試題的例子比比皆是,教材的重要性不言而喻.

3)用心參與課堂,注重思想方法

課堂是學生收獲知識的主要陣地.在有限的時間里,高效地開展課堂學習顯得尤為重要.這就需要學生在課前進行預習,發(fā)現(xiàn)和提出問題,帶著自己的疑問去聽課,積極與老師進行互動,真正地參與課堂學習.新時代背景下,國家需要的不是只會考試的人,而是會解決問題的人.這就要求學生在日常學習中,要注重思想方法的領會,而不是專注于考試的解題技巧.2023年數(shù)學新高考Ⅰ卷中對于數(shù)列求和問題的考查,不同于以往的“錯位相減”“裂項相消”題型,而是與概率統(tǒng)計內(nèi)容有機結(jié)合,需要學生運用數(shù)列的遞推思想,自主探索,這不是機械地訓練解題技巧就能應付的.

4)真心交流互動,提高思維品質(zhì)

互動是學生檢驗自我的重要途徑.只有主動參與數(shù)學學習,積極與同學、老師進行交流、討論、互相切磋,才能激發(fā)自己的學習興趣,提高數(shù)學思維品質(zhì),不斷體會到學習數(shù)學時無與倫比的成就感.將自己的解題方法、解題思路講給老師、同學聽,同時聽取他人的想法,是一種非常好的交流互動方式.它能夠幫助我們意識到自己哪些地方掌握得比較好、哪些地方還存在著不足.通過不斷進步、不斷收獲學習數(shù)學的成就感,學生才會產(chǎn)生強大的動力去面對數(shù)學學習中的困難,敢于直面數(shù)學挑戰(zhàn).從2023年數(shù)學新高考Ⅰ卷的考查情況來看,“刷題式”學習越來越無法讓學生在高考數(shù)學中脫穎而出,而提高學生的數(shù)學思維品質(zhì),讓學生學會分析問題、解決問題才是未來決勝于高考考場的必勝法寶.

(完)