岳紅云

（河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 河南 鄭州 450001）

高等數(shù)學(xué)是高等院校理工科各專業(yè)必備的數(shù)學(xué)工具，是培養(yǎng)和造就適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)與社會(huì)發(fā)展所需人才的必不可少的重要環(huán)節(jié)，是初等數(shù)學(xué)的延伸和發(fā)展。通過教師建構(gòu)、設(shè)置問題情境，進(jìn)行思維方式和能力的逐步訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生通過對問題的深入思考與反思，帶動(dòng)學(xué)生領(lǐng)悟知識(shí)、靈活應(yīng)用知識(shí)，進(jìn)而達(dá)到創(chuàng)新應(yīng)用知識(shí)的目的。根據(jù)課程特點(diǎn)和內(nèi)容，本文通過以下三種方式培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

1 類比轉(zhuǎn)化法

馬克思主義的哲學(xué)觀指出，世界是普遍聯(lián)系的。人們通過事物之間的聯(lián)系，進(jìn)行相關(guān)學(xué)習(xí)活動(dòng)，逐步認(rèn)識(shí)這個(gè)世界，認(rèn)識(shí)把握事物的聯(lián)系，在聯(lián)系中學(xué)習(xí)，建立新的聯(lián)系，收獲靈感和智慧。在高等數(shù)學(xué)中就存在很多聯(lián)系，比如數(shù)與形、多與一、重與單、曲與定、表示事物內(nèi)部和表面之間聯(lián)系的公式等。教師通過引導(dǎo)學(xué)生分析、挖掘知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，幫助學(xué)生將未知內(nèi)容類比轉(zhuǎn)化成已有知識(shí)，從而達(dá)到主動(dòng)學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)的目的。

在多元函數(shù)微分法的學(xué)習(xí)中，無論從函數(shù)、極限和連續(xù)定義，還是多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分，在研究這些內(nèi)容時(shí)，都應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生類比轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)的方法。通過類比引導(dǎo)、學(xué)生討論，促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

在重積分的學(xué)習(xí)中，從概念的引入到積分的計(jì)算，處處都有定積分的身影。所以，在學(xué)習(xí)中，教師要著重引導(dǎo)學(xué)生從定積分能解決的曲邊梯形面積的經(jīng)典問題出發(fā)，探討曲頂柱體的體積問題，將問題轉(zhuǎn)化成定積分問題表述和計(jì)算，從而引入二重積分的概念和計(jì)算方法。由此自然地推廣定積分的概念，從二重積分再到三重積分。通過深入挖掘積分之間的關(guān)系，還能繼續(xù)推廣到更一般的曲線和曲面積分。

2 總結(jié)歸納法

根據(jù)知識(shí)間的聯(lián)系，借助類比的方法，未知轉(zhuǎn)化成了已知，通過對已知的認(rèn)識(shí)去把握未知。知識(shí)間既有聯(lián)系又有區(qū)別，類比相同點(diǎn)，同時(shí)也要對比不同點(diǎn)，這樣才能全面、深入地掌握它。所以教師要站在更高的高度和維度引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納知識(shí)間的聯(lián)系和區(qū)別，提高學(xué)生的深度學(xué)習(xí)能力。例如，在學(xué)習(xí)多元函數(shù)的微分法后，引導(dǎo)學(xué)生在類比一元函數(shù)微分法的基礎(chǔ)上總結(jié)歸納多元函數(shù)的微分法。通過學(xué)生討論，發(fā)現(xiàn)函數(shù)更多元時(shí)，自變量變化會(huì)更豐富和復(fù)雜，所以極限存在的條件變強(qiáng)了，偏導(dǎo)數(shù)只能表示特殊的變化率，可偏導(dǎo)就不能確定可微性了。再如，在多元函數(shù)積分的學(xué)習(xí)中，通過類比轉(zhuǎn)化的方法，理解二重、三重積分，曲線和曲面積分的概念和計(jì)算方法。通過引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納七類積分，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)積分之間的聯(lián)系和區(qū)別，加深對積分方法的掌握。

3 一題多解法

變式教學(xué)是我國傳統(tǒng)的優(yōu)秀教學(xué)策略，一題多解作為變式教學(xué)的重要形式，在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新能力方面，已經(jīng)得到了很多研究者和一線教師的認(rèn)可。在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)將一題多解作為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和探索數(shù)學(xué)思維規(guī)律的重要手段，適當(dāng)?shù)刎灤┯诟叩葦?shù)學(xué)的課堂教學(xué)過程中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

自然界中到處都潛藏著最大最小問題，歷史上著名的Dido 問題就是極值問題，在高等數(shù)學(xué)中，如何判斷極值與最值是重要的研究內(nèi)容。例如，在多元函數(shù)的極值與最值一節(jié)，判定極值與最值就是本節(jié)的重點(diǎn)。下面以一道極值問題為例，通過多種方法的綜合運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)問題的多種解法，從而深刻理解高等數(shù)學(xué)重要的知識(shí)點(diǎn)。

解法1.Lagrange（拉格朗日）乘數(shù)法（多元微分法）：由題意可知，這是一個(gè)條件極值問題，設(shè)交線l上的點(diǎn)為（x，y，z），則l上與xoy面的距離可表示為，且（x，y，z）滿足平面方程和柱面方程，由Lagrange 乘數(shù)法，構(gòu)造Lagrange 函數(shù)為

解得l上與xoy面的距離最短的點(diǎn)為

解法2.Lagrange 乘數(shù)法：設(shè)交線l上的點(diǎn)為（x，y，z），則由題意和圖形可知，l上與xoy面的距離可表示為d=z，且（x，y，z）滿足平面方程和柱面方程，故，且，由Lagrange 乘數(shù)法，構(gòu)造Lagrange 函數(shù)為

解得l上與xoy面的距離最短的點(diǎn)為

注記2：可以看出，解法2 比解法1 簡單，解法2 把兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化成了一個(gè)條件，Lagrange 函數(shù)從5 個(gè)自變量變成了3 個(gè)，求解過程得到了簡化。

解法3.一元微分法：設(shè)交線l上的點(diǎn)為（x，y，z），則由題意和圖形可知，l上與xoy面的距離可表示為d=z，且（x，y，z）滿足平面方程和柱面方程，故，且，因此可設(shè)，則，這是t的一元函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求這個(gè)函數(shù)的最小值，由一元函數(shù)取極值的必要條件，l上與xoy面的距離最短的點(diǎn)為

注記3：解法3 轉(zhuǎn)化成了無條件極值，從而可以應(yīng)用一元函數(shù)微分法求極值，使得求解過程大大簡化。一般來說，解決極值與最值問題經(jīng)常用微分法，體現(xiàn)出微積分的強(qiáng)大威力。

解法4. 初等函數(shù)法：設(shè)交線l上的點(diǎn)為，則由題意和圖形可知，l上與xoy面的距離可表示為這是 的一元函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求這個(gè)函數(shù)的最小值，整理可得，其中，由三角函數(shù)的有界性可知，此時(shí)的取值范圍為故時(shí)最小，因?yàn)榇藭r(shí)，所以，故l上與xoy面的距離最短的點(diǎn)為

注記4：解法4 和解法3 相似，都是將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，不同于解法3 的微分法，解法4 借助三角函數(shù)的有界性，利用了初等函數(shù)中求最值的方法。

解法5.解析幾何法：由題意可知，平面與柱面的交線是空間橢圓，記它的中心為 ，因?yàn)榇藱E圓為平面上被柱面穿過或截過后留下的曲線，所以此曲線上與面的距離最短的點(diǎn)也就是從xoy面向上看，此橢圓曲線的最低點(diǎn)，記為 ，故連接這個(gè)最低點(diǎn) 與橢圓中心 的連線，必與平面與xoy面的交線：直線，z=0，（A(3，0，0)B(0，4，0)）相交，設(shè)交點(diǎn)為D，因?yàn)?為橢圓曲線的最低點(diǎn)，故O′D必垂直AB，記柱面與xoy面的交線為圓O：，z=0，記它的中心為O，連接OD，交圓O于點(diǎn)C，則即為O′D在xoy面的投影，C為C′的投影點(diǎn)，故OD必垂直AB，則即為所求的最短距離，連接O′O，則由點(diǎn)到直線的距離公式可得

所以C點(diǎn)坐標(biāo)為

所求點(diǎn)即為過C點(diǎn)且垂直于xoy面的直線與平面的交點(diǎn)，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入平面方程即可求得交點(diǎn)C′點(diǎn)坐標(biāo)為

注記5：也可以不求C點(diǎn)坐標(biāo)，直接求出C′點(diǎn)坐標(biāo)。由空間兩平面間的夾角公式可得，平面與xoy面的夾角的余弦為：

注記6：條件極值問題一般采用Lagrange乘數(shù)法解決。通過對本題的深入分析與思考，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，給出了5 種解法和更多算法。通過此例說明微積分與數(shù)形結(jié)合思想的巨大威力。通過厘清知識(shí)脈絡(luò)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，突破高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度。

4 結(jié)論

在以學(xué)生為中心的教學(xué)理念下，教師通過類比轉(zhuǎn)化、總結(jié)歸納、一題多解的討論式學(xué)習(xí)方法的實(shí)施，達(dá)到將數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通、靈活利用的目的，為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果提供了新的思路和方向。在OBE 教學(xué)理念和工程認(rèn)證的背景下，引導(dǎo)學(xué)生將高等數(shù)學(xué)的智慧應(yīng)用到專業(yè)與生產(chǎn)生活中，發(fā)揮高等數(shù)學(xué)課程的重要基礎(chǔ)作用。

文章通過三種方法，從不同角度、知識(shí)系統(tǒng)去探求問題解決的不同思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和創(chuàng)造性，引發(fā)學(xué)生逐步形成對問題的遞進(jìn)式思考方式，使學(xué)生形成更加系統(tǒng)、完整、生動(dòng)的知識(shí)框架，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新、發(fā)展的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。重構(gòu)新的知識(shí)體系，逐步形成分析、探究、解決問題的多種方法，提高學(xué)生的基本素質(zhì)和應(yīng)用創(chuàng)新能力，切實(shí)提高人才培養(yǎng)質(zhì)量。