金 毅

(呼和浩特市第二中學(xué),內(nèi)蒙古 呼和浩特 010000)

2023年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷立足基礎(chǔ)、考查能力,突出強調(diào)對基本知識和基本概念的靈活掌握,注重考查學(xué)科知識的綜合應(yīng)用能力. 接下來,我們以試卷中的第21題為代表,深度探析其解法和背景.

1 問題呈現(xiàn)

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于點P,證明點P在定直線上.

當(dāng)我們準(zhǔn)備將韋達(dá)定理代入的時候,發(fā)現(xiàn)xP的表達(dá)式中,y1,y2變元結(jié)構(gòu)并不對稱,計算的困難由此產(chǎn)生,這就是圓錐曲線中的“非對稱結(jié)構(gòu)”,下面我們給出解決這種問題的方案,并進(jìn)一步討論解法上的改進(jìn).

圖1 新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)21題圖

2 不對稱結(jié)構(gòu)解決方案的探討

2.1 尋找和積關(guān)系,化復(fù)雜為簡單

綜上,點P在直線x=-1上.

2.2 尋找代換關(guān)系,減少變元個數(shù)

點評以上兩種方案,是基于不對稱的代數(shù)結(jié)構(gòu),在代數(shù)運算上給出的具體策略. 方案1將乘積化為和的關(guān)系,便于和其它項進(jìn)一步運算,最終得到定值;方案2則是消去其中一個未知數(shù),減少未知數(shù)的個數(shù),更加容易做后續(xù)運算,發(fā)現(xiàn)表達(dá)式的規(guī)律,最后整體相除得到定值. 這兩種運算方法靈活運用了韋達(dá)定理,展示了韋達(dá)定理除了整體代換之外另一個層面的運用. 接下來,我們將進(jìn)一步改進(jìn)對這個問題的解決思路,進(jìn)一步優(yōu)化計算.

2.3 尋找斜率關(guān)系,簡化直線方程

=-12.

可得點P在直線x=-1.

點評方案3有很強的實戰(zhàn)性. 根據(jù)直線MN過定點,推出直線MA1與NA1的斜率乘積為定值,在計算的過程中,關(guān)于未知數(shù)y1,y2的結(jié)構(gòu)是對稱的. 再結(jié)合雙曲線第三定義,得到斜率之間的比為定值. 這樣做的結(jié)果就是簡化了直線NA2與直線MA1的形式,便于聯(lián)立,大大減少了計算量,回避了非對稱結(jié)構(gòu)的復(fù)雜運算.

2.4 尋找定比向量,簡化運算過程

①

②

點評本解法充分考慮向量共線,設(shè)定比為λ,再結(jié)合雙曲線的定比點差法,解出M,N縱坐標(biāo)的值,在不用韋達(dá)定理的情況下,直接代入求得定值.

2.5 巧用參數(shù)方程,恒等代換求值

③

將M,N坐標(biāo)代入表達(dá)式

根據(jù)表達(dá)式③,可得

=-1.

3 對試題背景的探討

3.1 極點極線的試題背景

文[1]對結(jié)論1用初等的曲線系方法已經(jīng)給出了詳細(xì)的證明,因篇幅所限,此處不再贅述. 此時稱U為極點,VP為U關(guān)于圓錐曲線f的極線.

圖2 結(jié)論1 極點與極線

類似于文獻(xiàn)[1]的證法,可得到結(jié)論2.

此時稱點P為極點,UV為點P關(guān)于圓錐曲線f的極線.

從結(jié)論1、2可以看出,極點可以在曲線外,可以在曲線內(nèi),也可以在曲線上. 當(dāng)極點在曲線上時,極線為圓錐曲線f在這一點處的切線.

3.2 基于極點極線理論的變式探究

點評結(jié)論4中,令m=-4,a=2,b=4即得到2023年新高考Ⅱ卷21題. 結(jié)論5是對結(jié)論4情況的補充. 結(jié)論4,5均可用本文的方案1至5進(jìn)行證明.

2023年新高考Ⅱ卷第21題基于極點與極線的深刻背景,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力與邏輯推理能力,問題的切入點多樣化,解法不唯一,是一道深刻考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好題. 題目的素材是雙曲線,相比橢圓來說,在考場上做題會感到更陌生,更具有挑戰(zhàn)性. 坐標(biāo)法是解決解析幾何問題的主要方法,是解決解析問題的通法,它體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合的思想,從幾何和代數(shù)兩個方面體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的無窮魅力[2]. 在平常的高三復(fù)習(xí)中,一方面要盡可能理解知識背景,另一方面是用好基本方法處理復(fù)雜問題,特別是要對比各個基本方法之間的優(yōu)勢與不足,這樣才能真正做到學(xué)以致用.