徐海賓, 雷余鵬, 李磊

(1.河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院, 焦作 454000; 2.河南省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院股份有限公司, 鄭州 450000)

鋼管混凝土系桿拱橋具有跨度大,適應(yīng)性強(qiáng),力學(xué)性能好,造型美觀等特點(diǎn),在中外應(yīng)用較為廣泛[1]。桁式鋼管混凝土系桿拱橋是以鋼管混凝土組合結(jié)構(gòu)作為桁式拱肋的主要受力構(gòu)件,用腹桿將拱肋各主管相互連接以形成桁式結(jié)構(gòu)。系桿拱橋是一個(gè)基于拱肋,系桿,吊桿的三元組合體系,在確定系桿拱橋的最佳成橋狀態(tài)的過程中,單一的以拱肋內(nèi)力或者系桿內(nèi)力作為判定條件較為片面,將拱肋、系桿、吊桿所組成的三元體系作為一個(gè)整體綜合考慮,更加全面、合理。

眾多學(xué)者在成橋吊桿索力求解及優(yōu)化和合理拱軸線求解兩方面做了大量研究,方有亮等[2]提出動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法對(duì)斜拉橋索力進(jìn)行優(yōu)化,結(jié)果表明主梁豎向位移與理想位移相差很小且內(nèi)力分布更加合理。徐岳等[3]以結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能和拱肋截面偏心距最小為目的對(duì)下承式系桿拱橋吊桿索力與拱軸線進(jìn)行優(yōu)化,在不改變結(jié)構(gòu)截面尺寸的前提下,使拱肋、吊桿和系桿的內(nèi)力顯著減小。Chen[4]采用智能優(yōu)化算法對(duì)拱橋索力進(jìn)行優(yōu)化分析,應(yīng)用ANSYS優(yōu)化分析功能對(duì)吊桿受力和吊桿結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感性進(jìn)行分析,結(jié)果表明智能算法提高了短吊桿索力的精準(zhǔn)識(shí)別。蔡儆等[5]將改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用到系桿拱橋成橋索力優(yōu)化中,能夠做到收斂速度快、索力合理。占玉林等[6]通過響應(yīng)面法將優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)與索力的關(guān)系顯式化構(gòu)建響應(yīng)面方程,并利用粒子群算法進(jìn)行尋優(yōu),結(jié)果表明主梁最大剪力差、最大彎矩、豎向位移差均有所減小,索力及主梁彎矩更加均勻,線形更加合理。段君邦等[7]提出混沌映射和改進(jìn)灰狼算法組合優(yōu)化模型對(duì)拱橋索力進(jìn)行優(yōu)化,結(jié)果表明該優(yōu)化模型對(duì)數(shù)據(jù)有良好的學(xué)習(xí)能力,可應(yīng)用到拱橋索力優(yōu)化中。Xie等[8]對(duì)傳統(tǒng)影響矩陣法進(jìn)行改進(jìn)以優(yōu)化施工階段索力,結(jié)果表明精度滿足橋梁設(shè)計(jì)要求。郭鑫等[9]采用影響矩陣法對(duì)不對(duì)稱V型斜跨鋼箱拱橋索力進(jìn)行優(yōu)化,優(yōu)化后索力較為均勻,并對(duì)優(yōu)化后索力不同張拉順序進(jìn)行研究。

侯春輝等[10]以彎曲能量最小法為目標(biāo),基于APDL語言對(duì)懸鏈線拱軸系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算,方便快捷的計(jì)算出了拱軸系數(shù)的最優(yōu)解。Zhang等[11]以主管偏心距最小法對(duì)大跨度鋼管混凝土拱橋拱軸線進(jìn)行優(yōu)化,顯著減小了拱橋關(guān)鍵截面的彎矩。劉永健等[12]求解出下承式拱橋合理拱軸線的解析解,在此基礎(chǔ)上定義了主拱恒載占比系數(shù),得到了基于矢跨比和恒載占比系數(shù)的拱軸線快速計(jì)算方法,并通過工程實(shí)例驗(yàn)證了方法可靠性。衛(wèi)星等[13]探討了拱軸線形對(duì)鋼管混凝土拱橋結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的影響,得出拱軸線形對(duì)拱腳截面組合應(yīng)力影響較大的結(jié)論。邱辰等[14]提出用級(jí)數(shù)函數(shù)來表示拱軸線方程,結(jié)果表明新型拱軸在線理論上的正確性,與懸鏈線相比拱橋內(nèi)力與應(yīng)力狀態(tài)有較大改善。

桁式拱肋截面與單管或雙管拱肋截面具有明顯差異,在考慮拱軸線線形時(shí)很難對(duì)桁式拱截面直接進(jìn)行優(yōu)化研究,因?yàn)槊扛鞴苌系钠木嗖煌瑢?dǎo)致其形心不一定處于4根主管的中心線上,所以在對(duì)桁式拱軸線進(jìn)行優(yōu)化時(shí)要綜合考慮各根主管的內(nèi)力分布。同時(shí),吊桿索力變化對(duì)桁式拱的各個(gè)主管都有影響。上述研究多將拱軸線優(yōu)化和吊桿索力優(yōu)化分開考慮,而實(shí)際二者相互影響。因此,將二者一并考慮更加合理?，F(xiàn)從桁式拱肋各主管的內(nèi)力分布著手,同時(shí)考慮系桿的內(nèi)力分布情況,通過基于影響矩陣的最小結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能原理,基于MATLAB編制無約束優(yōu)化算法程序,確定系桿拱橋最佳成橋狀態(tài)。對(duì)優(yōu)化后主拱和主梁截面內(nèi)力、應(yīng)力進(jìn)行分析。

1 吊桿索力優(yōu)化

系桿拱橋是外部靜定內(nèi)部超靜定結(jié)構(gòu),拱肋是以承受壓力為主,承受彎矩為輔的構(gòu)件;吊桿主要承受軸向拉力,不承受彎矩;系桿同時(shí)兼顧承壓和受彎。各構(gòu)件截面剪力值相應(yīng)于軸力或彎矩值相比較小,可以暫不考慮。所以系桿拱橋的結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能包括拱肋和系桿的拉壓應(yīng)變能和彎曲應(yīng)變能,表達(dá)式為

(1)

式(1)中:Ma(x)和Mt(x)分別為荷載作用下拱肋和系桿的截面彎矩值;Na(x)和Nt(x)分別為荷載作用下拱面和系桿的截面軸力值;Ea和Et分別為拱肋和系桿的截面彈性模量;Ia和It分別為拱肋截面和系桿截面的抗彎慣性矩;Aa和At分別為拱肋和系桿的截面面積。

若采用有限元法對(duì)系桿拱橋進(jìn)行優(yōu)化分析,則需要對(duì)系桿拱橋的拱肋和系桿單元離散化。假設(shè)離散單元截面面積和彈性模量為常量,彎矩沿單元軸向線性變化,則單個(gè)離散單元內(nèi)力計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 離散單元彎矩計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Calculation diagram of bending moment of discrete element

則用離散單元端部彎矩表示單元任意截面的彎矩值的表達(dá)式為

(2)

式(2)中:Ln為第n個(gè)離散單元的單元長(zhǎng)度;Ml,n和Mr,n為離散單元左右兩端的彎矩值;x為任意截面距離左端的距離。

同理,離散單元任意截面的軸力值為

(3)

式(3)中:Nl,n和Nr,n為離散單元左右兩端的軸力值。

將式(2)和式(3)代入式(1)中可得出結(jié)構(gòu)在單元離散化后的結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能,其表達(dá)式為

(4)

式(4)中:Ln為第n個(gè)離散單元的單元長(zhǎng)度;En為第n個(gè)離散單元的截面彈性模量;In為第n個(gè)離散單元的截面抗彎慣性矩;An為第n個(gè)離散單元的截面面積;n為系桿拱橋的拱肋、系桿的離散單元總數(shù)。

若將離散結(jié)構(gòu)單元左端、右端彎矩向量分別記為ML和MR,單元左、右端軸力向量分別為NL和NL,同時(shí)構(gòu)造對(duì)角矩陣B和D,對(duì)角線元素分別為bii=Li/6EiIi和dii=Li/6EiAi,式(4)可由矩陣表達(dá),即

(5)

假設(shè)在成橋狀態(tài)下,離散單元彎矩、軸力由外荷載和吊桿索力內(nèi)荷載產(chǎn)生,則有

(6)

式(6)中:ML0和MR0分別為在外荷載作用下的單元左右兩端彎矩;MLX和MRX分別為在單位吊桿力內(nèi)荷載作用下單元左右兩端彎矩的影響矩陣;NL0和NR0分別為外荷載作用下的單元左右兩端軸力;NLX和NRX分別為單位吊桿力內(nèi)荷載作用下單元左右兩端軸力的影響矩陣;X為吊桿索力。

將式(6)代入式(5)中,則有

(7)

當(dāng)采用無約束優(yōu)化算法對(duì)吊桿索力未知量進(jìn)行求解時(shí),則需要滿足

(8)

滿足式(8)的X即為使結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能最小的無約束優(yōu)化吊桿索力,可通過軟件MATLAB進(jìn)行求解。

在上述無約束吊桿索力的作用下,系桿拱橋的結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能會(huì)有所降低,但不能保證拱肋截面內(nèi)力處于最佳狀態(tài)。

2 桁式拱拱軸線優(yōu)化

桁式拱肋是由4根主管和若干腹桿組成的桁式結(jié)構(gòu),在對(duì)其拱軸線進(jìn)行優(yōu)化時(shí)需要關(guān)注每根主管上的內(nèi)力分布,即同時(shí)滿足各主管偏心距達(dá)到閾值要求,為主管偏心距最小法。

實(shí)現(xiàn)桁式拱主管偏心距最小法的步驟如下。

(1)計(jì)算桁式拱肋各主管在初始拱軸線y0時(shí)的單元左右兩端的彎矩和軸力,并提取各主管離散單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(xi,zi)。

(2)計(jì)算各主管截面偏心距e,引入主管偏心距閾值El,將閾值El作為迭代邊界條件。為加快收斂速度,引入節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)修正系數(shù)λ。迭代過程表明,為快速實(shí)現(xiàn)偏心距達(dá)到閾值,偏心距大于15 mm時(shí),λ取1.2,反之則取0.5。

(3)若需要對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行修正,修正量的計(jì)算公式為

Δi=λe

(9)

(4)計(jì)算修正后的各單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),將修正后的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入有限元模型中。重新計(jì)算單元兩端彎矩和軸力并計(jì)算偏心距,直至各主管的偏心距均滿足e≤El。閾值El取0.01 m。

以最小結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能原理對(duì)吊桿索力優(yōu)化的同時(shí),采用主管偏心距最小法對(duì)桁式拱肋拱軸線進(jìn)行優(yōu)化。在偏心距滿足閾值后的優(yōu)化吊桿索力為最優(yōu)索力,對(duì)修正后的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行擬合成光滑曲線作為合理拱軸線。系桿拱橋在擬合拱軸線和優(yōu)化吊桿索力的作用下,能夠滿足全橋結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能達(dá)到最小且拱肋彎矩處于較小且均勻的狀態(tài)。系桿拱橋一體優(yōu)化流程如圖2所示。

圖2 拱橋一體優(yōu)化流程Fig.2 Arch bridge integrated optimization process

3 工程應(yīng)用

河南某下承桁式鋼管混凝土系桿拱橋,工程概況為:主橋理論跨徑為L(zhǎng)=160 m,計(jì)算矢高f=32 m,矢跨比f/L=1/5;拱軸線形為懸鏈線,拱軸系數(shù)m=1.3;主拱為鋼管混凝土結(jié)構(gòu),4根主管由腹桿連接起來形成桁式結(jié)構(gòu);拱肋主管采用變截面,在距離拱腳20 m處,鋼管壁厚由0.02 m變?yōu)?.016 m,單根鋼管直徑為0.9 m;管內(nèi)填充C50微膨脹混凝土,腹桿內(nèi)不填充混凝土;主梁采用箱型變截面,端部是實(shí)體結(jié)構(gòu),跨中采用箱型截面;全橋吊桿共48根,吊桿間距為6 m。

為模擬橋梁所受實(shí)際荷載,在恒載+0.5倍活載作用下對(duì)橋梁進(jìn)行分析。橋梁恒載包括一期、二期恒載,一期恒載包括自重,二期恒載包括橋面鋪裝、拱肋護(hù)鎖區(qū)荷載、欄桿荷載等;活載包括汽車荷載以及人群荷載。C50混凝土容重按26 kN/m3,鋼材容重80 kN/m3,鋪裝厚度為0.01 m瀝青混凝土,容重為24 kN/m3,汽車荷載為公路-I級(jí)×1.3倍,人群荷載集度為3.5 kN/m2?；贛idas Civil的有限元模型如圖3所示。

圖3 全橋有限元模型Fig.3 Full bridge finite element model

3.1 求解優(yōu)化吊桿索力及合理拱軸線

通過迭代計(jì)算,求解出一組無約束優(yōu)化吊桿索力值和索力設(shè)計(jì)值對(duì)比如圖4所示;對(duì)各主管控制截面修正后節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)用三次樣條差值函數(shù)進(jìn)行拱軸線擬合,選取使各主管內(nèi)力較優(yōu)的那根主管拱軸線作為各主管拱軸線。經(jīng)過對(duì)比分析,選取上弦桿控制截面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)擬合的拱軸線作為各主管的合理拱軸線。上弦桿控制截面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)變化如表1所示。

表1 上弦桿控制截面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)變化Table 1 Change of control section dode coordinates of upper chord

圖4 優(yōu)化前后吊桿索力對(duì)比Fig.4 Comparison of suspender cable force

由表1可得出:上弦桿各控制截面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)調(diào)整值最大的節(jié)點(diǎn)在距離拱腳6 m處,調(diào)整值為0.223 m;調(diào)整值最小的節(jié)點(diǎn)在距離拱腳39 m處,調(diào)整量為0.001 m。由此可以看出,對(duì)拱軸線進(jìn)行優(yōu)化時(shí),拱肋節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)調(diào)整幅度較小。

由圖4可得出:優(yōu)化后吊桿索力值較設(shè)計(jì)值均有不同程度的減小且更加均勻,其中9號(hào)吊桿索力降低最多,減小了826 kN,減小約37.5%;1號(hào)短吊桿減小了804 kN,減小約28.7%,說明短吊桿在運(yùn)營(yíng)階段不易發(fā)生疲勞破壞,有利于吊桿在成橋狀態(tài)下的安全使用。

3.2 內(nèi)力分析

選取上、下弦桿半結(jié)構(gòu)作為內(nèi)力比較對(duì)象。優(yōu)化前后拱橋上、下弦桿彎矩值對(duì)比如圖5所示。

圖5 主拱上、下弦桿彎矩值對(duì)比Fig.5 Comparison of bending moment of main arch upper chord and lower chord

由圖5可得出:上、下弦桿截面彎矩圖走勢(shì)大致相同,優(yōu)化前跨中截面均為上下錯(cuò)落走勢(shì),優(yōu)化后變得均勻,最大彎矩值均出現(xiàn)在拱腳處。上弦桿拱腳處的彎矩值優(yōu)化后有所減小,在兩端拱腳處分別減小了767 kN·m和665 kN·m,分別減小約47%和42%;下弦桿拱腳處的彎矩值優(yōu)化后反而有所增大,拱腳兩端分別增大了400 kN·m和561 kN·m,分別增大了40%和57%。優(yōu)化前后,上、下弦桿的彎矩值除拱腳外都有所減小且在主拱跨中位置彎矩值變得均勻。軸力值對(duì)比如圖6所示。

圖6 主拱上、下弦桿軸力值對(duì)比Fig.6 Comparison of axial force of main arch upper chord and lower chord

由圖6可得出:上、下弦桿的軸力分布趨勢(shì)各自大致相同,上弦桿在近端拱腳處軸力基本沒有發(fā)生變化,遠(yuǎn)端拱腳處軸力發(fā)生了突變,整個(gè)上弦桿的跨中控制截面處軸力均有不同幅度的減小,最大處減小了851 kN,減小了7%;下弦桿拱腳處軸力有所減小,兩端分別減小了1 246 kN和1 476 kN,減小了8%和10%,跨中控制截面軸力略有增大,增大值為200 kN,增大了2%。上、下弦桿各控制截面的總軸力值有所減小,說明由軸力產(chǎn)生的拉壓應(yīng)變能減小。

主梁優(yōu)化前后彎矩值和軸力值對(duì)比如圖7所示。由圖7可得出:主梁彎矩值和軸力值優(yōu)化前后的變化幅度不大,主梁彎矩值在優(yōu)化后的跨中正彎矩區(qū)和邊跨與拱腳連接處的負(fù)彎矩區(qū)均有所增大,優(yōu)化后最大負(fù)彎矩在拱腳處為-23 536 kN·m,最大正彎矩在跨中處為11 074 kN·m;主梁全截面受壓,最大軸力值均在拱腳處為60 100 kN,符合剛性系桿能夠同時(shí)承受彎矩和軸力的特點(diǎn)。

圖7 主梁彎矩值、軸力值對(duì)比Fig.7 Comparison of bending moment and axial force of main girder

3.3 應(yīng)力分析

鋼管混凝土作為組合結(jié)構(gòu),鋼管和混凝土的承載力是不同的,需要對(duì)其截面處應(yīng)力分配情況進(jìn)行計(jì)算,判斷鋼管和混凝土所分配應(yīng)力是否滿足承載力要求。何星傳等[15]對(duì)鋼管混凝土拱橋的拱肋截面應(yīng)力分布情況進(jìn)行了公式推導(dǎo),得出了鋼管混凝土拱肋的截面應(yīng)力是按照材料的彈性模量進(jìn)行分配。

對(duì)于小偏心受壓構(gòu)件其應(yīng)力比公式為

(10)

式(10)中:σs和σc分別為鋼管和混凝土的應(yīng)力;Es和Ec分別為鋼管和混凝土彈性模量;Is和Ic分別為鋼管和混凝土的截面慣性矩;As和Ac分別為鋼管和混凝土的截面面積;D和d分別為拱肋截面直徑和鋼管壁厚。

本文研究中的鋼管混凝土拱肋各離散單元屬于小偏心構(gòu)件,適用于式(10)。系桿拱橋拱肋鋼材采用的是Q345,其屈服強(qiáng)度為345 MPa;管內(nèi)混凝土采用的是C50微膨脹混凝土,其抗壓強(qiáng)度為50 MPa。通過式(10)進(jìn)行計(jì)算,鋼管和混凝土應(yīng)力分布結(jié)果如圖8和圖9所示。

圖8 主拱上、下弦桿鋼管應(yīng)力Fig.8 Steel tube stress of upper and lower chord of main arch

圖9 主拱上、下弦桿混凝土應(yīng)力Fig.9 Concrete stress of upper and lower chord of main arch

由圖8可得出:上、下弦桿鋼管所分配的應(yīng)力較大值均現(xiàn)在拱腳處。上弦桿拱腳處鋼管的應(yīng)力值分別為104 MPa和110 MPa,下弦桿分別為131 MPa和137 MPa,均小于Q345鋼材的屈服強(qiáng)度345 MPa。跨中大部分應(yīng)力值都在50～80 MPa,說明跨中各控制截面的應(yīng)力值均遠(yuǎn)小于鋼材的屈服強(qiáng)度,保證了成橋狀態(tài)下鋼管不會(huì)屈服。

由圖9可得出:上、下弦桿混凝土所分配應(yīng)力值基本處于8.5～14 MPa,均小于C50微膨脹混凝土的抗壓強(qiáng)度,說明在成橋狀態(tài)下混凝土不會(huì)發(fā)生受壓破壞,保證了運(yùn)營(yíng)階段管內(nèi)混凝土的安全使用。

4 結(jié)論

對(duì)桁式系桿拱橋拱肋、吊桿、系桿的三元體系結(jié)構(gòu)的最佳成橋狀態(tài)進(jìn)行分析,采用基于影響矩陣的最小結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能原理對(duì)系桿拱橋吊桿索力進(jìn)行優(yōu)化,并通過無約束優(yōu)化算法進(jìn)行求解;以主管偏心距最小法對(duì)桁式拱肋拱軸線進(jìn)行優(yōu)化。對(duì)主拱和主梁內(nèi)力進(jìn)行對(duì)比分析以及組合結(jié)構(gòu)截面應(yīng)力分配進(jìn)行計(jì)算,得出以下結(jié)論。

(1)優(yōu)化后吊桿索力值與設(shè)計(jì)值相比均有不同程度的減小且吊桿索力更加均勻,提高了吊桿使用階段的安全性;最短吊桿的索力減小了近30%,對(duì)于短吊桿線剛度大對(duì)應(yīng)吊桿索力大的特點(diǎn),降低其索力值使短吊桿在成橋狀態(tài)下不易發(fā)生疲勞破壞。

(2)以主管偏心距最小法對(duì)桁式拱拱軸線的優(yōu)化可以顯著降低主拱上、下弦桿各主管截面彎矩值和軸力值,同時(shí)實(shí)現(xiàn)各主管除拱腳外的截面上彎矩處于一個(gè)均勻的狀態(tài),符合柔性拱受力特點(diǎn)。下弦桿拱腳處彎矩值有所增大,但系桿拱橋拱腳處構(gòu)件截面尺寸較大,可以承受較大彎矩值。

(3)一體優(yōu)化方法對(duì)主梁內(nèi)力優(yōu)化效果并不明顯,其原因是主梁內(nèi)力主要依靠主梁預(yù)應(yīng)力和構(gòu)件截面尺寸來調(diào)整。

(4)在優(yōu)化吊桿索力和合理拱軸線作用下的拱橋,拱肋截面鋼管和混凝土截面分配應(yīng)力均小于材料承載力,符合規(guī)范要求。