丁建兵

當(dāng)下，數(shù)學(xué)教育側(cè)重于方法、過(guò)程和個(gè)體體驗(yàn)，關(guān)注于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的提升.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，單一的知識(shí)講授已經(jīng)難以滿足學(xué)生生長(zhǎng)和思維發(fā)展的需求.教學(xué)中，教師有必要采用多種的教學(xué)方式和教學(xué)手段來(lái)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)水平.類比思想方法在提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，激發(fā)學(xué)生潛能，發(fā)揮學(xué)生主體性等方面有著重要的應(yīng)用.因此，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際，創(chuàng)造機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)新舊類比來(lái)理解和掌握新知，幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).筆者以“等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式”為例，呈現(xiàn)類比思想在教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值，以期通過(guò)類比提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和創(chuàng)新能力.

一、教學(xué)分析

1、教學(xué)目標(biāo)

（1）理解等比數(shù)列的定義及相關(guān)概念；

（2）掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并運(yùn)用通項(xiàng)公式求相關(guān)項(xiàng)；

（3）運(yùn)用類比思想方法提高學(xué)生觀察、歸納、分析等邏輯思維能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

2、教學(xué)重難點(diǎn)

（1）等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)等相關(guān)概念；

（2）等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo).

二、教學(xué)簡(jiǎn)錄

1、導(dǎo)入

問(wèn)題 已知數(shù)列an，其中a1=1，a2=2；數(shù)列bn，其中b2=2.對(duì)任意的i、j、m、p∈N*，i+j=m+p，均有aibj=ambp，試求an與bn的通項(xiàng)公式.

問(wèn)題給出后，教師讓學(xué)生嘗試運(yùn)用等差數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)尋找解決問(wèn)題的方法.

師：通過(guò)研究問(wèn)題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：根據(jù)已知有a2bn=a1bn+1，即bn+1/bn=a2/a1=2，故數(shù)列an和bn任意相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系為an+1=2an，bn+1=2bn，它不同于等差數(shù)列的遞推形式，這個(gè)應(yīng)該是一個(gè)新內(nèi)容.

師：很好，結(jié)合等差數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為我們應(yīng)該如何來(lái)描述它的本質(zhì)屬性呢？它的通項(xiàng)公式又會(huì)是什么呢？

設(shè)計(jì)意圖：借助問(wèn)題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)所研究的內(nèi)容與之前所學(xué)不同，由此引發(fā)學(xué)生對(duì)新知探究的熱情.同時(shí)，教師有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想等差數(shù)列，繼而為類比教學(xué)作鋪墊.

2、探索新知

環(huán)節(jié)1：探索定義

師：等差數(shù)列的定義大家還記得嗎？

生齊聲答：記得.

教師點(diǎn)名讓學(xué)生陳述等差數(shù)列的定義.

師：對(duì)于數(shù)列an滿足an+1/an=2，你能結(jié)合等差數(shù)列的定義給它下定義嗎？

在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生給出了等比數(shù)列的定義，教師進(jìn)行補(bǔ)充，并給出等比數(shù)列的完整定義.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生與等差數(shù)列的定義相類比，抽象等比數(shù)列的本質(zhì)屬性，以此提高學(xué)生的抽象概括能力，激發(fā)學(xué)生探究熱情.

環(huán)節(jié)2：探索通項(xiàng)公式

師：與等差數(shù)列的定義相比，你認(rèn)為等比數(shù)列強(qiáng)調(diào)的是什么呢？（生積極思考）

生2：等比數(shù)列的任意項(xiàng)不能為0，即公比q不能為0.

生3：也就是說(shuō)常數(shù)列一定是等差數(shù)列，但是它不一定等比數(shù)列，如0，0，0，….（生3補(bǔ)充道）

師：大家說(shuō)得很好.那么對(duì)于問(wèn)題1中的數(shù)列an，它的通項(xiàng)公式會(huì)是什么呢？

在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生結(jié)合等差數(shù)列公式的推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，利用累乘的方法推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn－1.

這樣完成等比數(shù)列概念的抽象和通項(xiàng)公式推導(dǎo)后，教師鼓勵(lì)學(xué)生與等差數(shù)列相類比，并用列表方式進(jìn)行小結(jié).通過(guò)師生互動(dòng)交流，教師給出下表：

名稱/等差數(shù)列/等比數(shù)列

設(shè)計(jì)意圖：教師充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比分析，這樣既幫助學(xué)生鞏固了已有的等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，又讓學(xué)生在自主探索中獲得了新知.另外，在此環(huán)節(jié)，教師刻意放慢節(jié)奏，引導(dǎo)學(xué)生利用表格對(duì)比總結(jié)等差數(shù)列和等比數(shù)列的差異，讓學(xué)生在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上，掌握數(shù)學(xué)研究方法，提升了學(xué)習(xí)質(zhì)量.

環(huán)節(jié)3：探索性質(zhì)

師：在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，我們還學(xué)習(xí)了等差中項(xiàng)，你認(rèn)為等比中項(xiàng)會(huì)是什么呢？（生積極交流）

生4：對(duì)于等差數(shù)列，若a，A，b成等差數(shù)列，則等差中項(xiàng)A滿足條件A=a+b/2.與等差數(shù)列相類似，如果a，G，b成等比數(shù)列，則G2=ab，G叫做a，b的等比中項(xiàng).

學(xué)生通過(guò)類比聯(lián)想得到等比中項(xiàng)的概念后，教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)驗(yàn)證.在此基礎(chǔ)上，教師給出相應(yīng)練習(xí)讓學(xué)生進(jìn)一步理解相關(guān)概念，并得到相關(guān)結(jié)論.

師：很好，若求9和25的等差中項(xiàng)A和等比中項(xiàng)G該如何求呢？

學(xué)生根據(jù)中項(xiàng)公式很快得到等差中項(xiàng)A是17，等比中項(xiàng)G是15或－15.

師：若數(shù)列an為等比數(shù)列，其中a1=9，a5=25，求a3的值.

問(wèn)題給出后，部分學(xué)生結(jié)合上面解題經(jīng)驗(yàn)給出a3的值為15或－15，顯然部分學(xué)生掉入了教師預(yù)設(shè)的陷阱，由此教師充分利用這一生成讓學(xué)生思考：這里為什么a3不能為負(fù)值.

在探究“為什么a3不能為負(fù)值”這一問(wèn)題時(shí)，教師沒(méi)有給出具體的原因，而是類比等差數(shù)列的性質(zhì)am－an=（m－n）d，由此得出am/an=qm－n，該問(wèn)題中a5/a3=q2>0，所以a3取正數(shù).

師：結(jié)合以上問(wèn)題，你能得出什么結(jié)論嗎？

生5：在等比數(shù)列an中，其奇數(shù)項(xiàng)a2n－1和a2n各項(xiàng)的符號(hào)相同.

設(shè)計(jì)意圖：教師從學(xué)生已經(jīng)掌握的等差數(shù)列出發(fā)，通過(guò)類比聯(lián)想讓學(xué)生推理相關(guān)結(jié)論，以此提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3、練習(xí)（略）

三、教學(xué)思考

等差數(shù)列和等比數(shù)列是高中的重要內(nèi)容，也是高考的重要考點(diǎn)，兩者既有明顯的聯(lián)系，也有一定的區(qū)別.在教學(xué)等比數(shù)列時(shí)，大多教師會(huì)從等差數(shù)列入手，開(kāi)展類比教學(xué)，以此在鞏固舊知的基礎(chǔ)上讓學(xué)生自主抽象相關(guān)的概念及性質(zhì)，以此提高學(xué)生的邏輯思維能力，落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1、問(wèn)題引領(lǐng)，引發(fā)類比

在本案例教學(xué)中，教師從學(xué)生熟悉的等差數(shù)列練習(xí)題入手，通過(guò)改編將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，由此引發(fā)認(rèn)知沖突，既激發(fā)了學(xué)生的探究欲，又為本課開(kāi)展類比學(xué)習(xí)埋下伏筆.在探索新知的過(guò)程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用類比方法進(jìn)行探索，如在給等比數(shù)列下定義時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列的定義，然后通過(guò)類比抽象出等比數(shù)列的概念.當(dāng)然，在以上教學(xué)中，除了引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)方面的類比外，教師還重視引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注方法的類比.如在推導(dǎo)通項(xiàng)公式時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從累差法入手，通過(guò)對(duì)比分析，自然發(fā)現(xiàn)累乘法，從而推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.通過(guò)類比提高了學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提高了課堂教學(xué)有效性.

2、科學(xué)驗(yàn)證，求同存異

類比是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它可以幫助學(xué)生在已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展延伸，以此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能.不過(guò)類比得到的結(jié)論是一種猜想，具有一定的主觀性，需要進(jìn)行科學(xué)的驗(yàn)證.

例如，在探究等比中項(xiàng)時(shí)，不能想當(dāng)然地認(rèn)為等比中項(xiàng)與等比數(shù)列是充要條件，如0，0，0不是等比數(shù)列，但是02=0×0.因此，在教學(xué)中，既要“求同”，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，達(dá)到溫故知新的效果，也要“求異”，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，從而有效避免形式上的類比而出現(xiàn)負(fù)向遷移.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不斷更新教學(xué)觀念，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程，有效地提升學(xué)習(xí)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效率.