許兵

羅增儒教授指出：一個(gè)數(shù)學(xué)問題，只有在得出多個(gè)解法之后，才會(huì)對(duì)問題的實(shí)質(zhì)有真正的了解，才能體會(huì)不同的思維所引起的不同運(yùn)算方式，學(xué)生的運(yùn)算能力會(huì)在不同的思維中得以比較和提升.好的問題會(huì)蘊(yùn)含多種審視視角，能幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練基本技能，明了在問題處理過程中會(huì)遇到的困惑、障礙及易錯(cuò)處.筆者以江蘇省無錫市高三期末解析幾何題為例，引導(dǎo)學(xué)生從設(shè)線和設(shè)點(diǎn)兩個(gè)角度正確理解運(yùn)算對(duì)象，選擇合適的運(yùn)算方法，優(yōu)化運(yùn)算程序，提高模型識(shí)別能力，提高運(yùn)算能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為3/2，且過點(diǎn)（3，1/2），點(diǎn)P在第四象限，A為左頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，PA交y軸于點(diǎn)C，PB交x軸于點(diǎn)D.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求ΔPCD面積的最大值．

本題屬于直線與橢圓的綜合問題，主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生推理論證能力和運(yùn)算求解能力，以橢圓的定值問題為載體考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力．立意深刻，有內(nèi)涵，是一道很經(jīng)典的解析幾何題．

二、解法探究

易得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/4+y2=1，以下對(duì)第（2）問進(jìn)行探究．

四、反思感悟

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中提出，數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算主要表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果．但在日常的數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生往往關(guān)注的是運(yùn)算法則、運(yùn)算結(jié)果的正確性，但對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解、運(yùn)算思路的探究、算法的設(shè)計(jì)與優(yōu)化往往容易忽視，因此“設(shè)線還是設(shè)點(diǎn)、變元怎么消、表達(dá)式怎么化簡”成為解析幾何求解的“三重門”．線參法和點(diǎn)參法是解決動(dòng)直線與圓錐曲線相交問題的基本方法．在解題過程中要有目標(biāo)意識(shí)，將問題中的信息、目標(biāo)元有機(jī)聯(lián)系起來，確定題設(shè)變元、構(gòu)建變元之間的關(guān)系，是設(shè)點(diǎn)還是設(shè)線的運(yùn)算核心，也正是學(xué)生算法思想的體現(xiàn)．

在用設(shè)點(diǎn)法或設(shè)線法求解時(shí)，若能用某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或某直線方程中的某一個(gè)或幾個(gè)變量去表示其余的點(diǎn)的坐標(biāo)或直線的方程，問題就迎刃而解了．選取什么量將題目中的信息聯(lián)系起來，如何才能將已知信息轉(zhuǎn)化到所設(shè)變量上去．教師要引導(dǎo)學(xué)生直面困難，在求解過程中要學(xué)會(huì)將算理和算法結(jié)合起來，逢山開路，遇水搭橋．既要會(huì)從代數(shù)角度運(yùn)算，也要學(xué)生會(huì)觀察圖形特征；既要能直接“硬算”，也要會(huì)選擇“方法”簡算；既要能選好求解切入點(diǎn)，又要會(huì)中途調(diào)整方向、追根溯源、優(yōu)化解法﹑把握本質(zhì)．解題中因思考而行動(dòng)，因行動(dòng)而理解，因理解而優(yōu)化，促進(jìn)解析幾何中代數(shù)與幾何的綜合能力的升級(jí)與發(fā)展，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng)．

參考文獻(xiàn)

［1］魏侹路.“設(shè)線”還是“設(shè)點(diǎn)”，這是一個(gè)問題——對(duì)近三年浙江卷解析幾何的幾點(diǎn)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西）.2019（12）.

［2］鄒生書，王河.設(shè)點(diǎn)法設(shè)線法探討一道解析幾何題的解法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（廣州）.2018（7）.

［3］張曉陽.四邊形的面積公式［J］.數(shù)學(xué)通訊.2012（10）.

本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題《高統(tǒng)整視角下普通高中大單元作業(yè)設(shè)計(jì)研究》（課題編號(hào)D/2021/02/179）階段性研究成果.