許培琳

1 原題呈現(xiàn)

已知a>0，b>0，且a+1/b=1，則b/a的最小值是 .

本題是連云港市2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中調(diào)研題的第13題，題干短小精悍，解法靈活多樣，值得深入探究.

2 解法探究

簡(jiǎn)析1：直接利用基本不等式a>0，b>0，a+b≥2ab進(jìn)行求解.

解法1：因?yàn)閍>0，b>0，有基本不等式1=a+1/b≥2a/b（當(dāng)且僅當(dāng)a=1/b即a=1/2，b=2時(shí)取等號(hào)）得a/b≤1/4，所以b/a≥4，所以b/a的最小值是4.

簡(jiǎn)析2：“1”的代換，利用基本不等式.

解法2：a>0，b>0，且a+1/b=1，所以b/a=b/a×（a+1/b）=b+1/a=（b+1/a）（a+1/b）

=ab+1/ab+2≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)ab=1即a=1/2，b=2時(shí)取等號(hào)，所以b/a的最小值是4.

簡(jiǎn)析3：減元，利用a表示b，轉(zhuǎn)化成含a的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.

解法3：因?yàn)閍>0，b>0由a+1/b=1得b=1/1－a（0

簡(jiǎn)析4：代數(shù)換元，結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式進(jìn)行求解.

解法4：令a=x，1/b=y（x>0，y>0），由a+1/b=1得x+y=1，所以b/a=1/xy=x+y/xy=1/x+1/y=（1/x+1/y）（x+y）=y/x+x/y+2≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=y，即a=1/2，b=2時(shí)取等號(hào)，所以b/a的最小值是4.

簡(jiǎn)析5：三角換元，利用三角函數(shù)有界性求解.

解法5：令a=sin2α，1/b=cos2α，所以b=1/cos2α，所以b/a=1/sin2αcos2α=4/sin22α≥4，當(dāng)且僅當(dāng)sin22α=1，即a=1/2，b=2時(shí)取等號(hào)，所以b/a的最小值是4.

簡(jiǎn)析6：構(gòu)造以d等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化成d的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值.

解法6：因?yàn)閍>0，b>0由a+1/b=1=2×1/2得a，1/2，1/b成等差數(shù)列，設(shè)公差為d（－1/2

簡(jiǎn)析7：減元，利用b表示a，湊配b－1+1/b－1形式，再利用基本不等式求解.

解法7：因?yàn)閍>0，b>0由a+1/b=1得a=1－1/b=b－1/b（b>1），所以b/a=b2/b－1=（b－1）2+2（b－1）+1/b－1=（b－1）+1/b－1+2≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)b－1=1/b－1時(shí)取等號(hào)即a=1/2，b=2.所以b/a的最小值是4.

簡(jiǎn)析8：巧妙構(gòu)造定比，利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式結(jié)合基本不等式求解.

解法8：因?yàn)閍>0，b>0，由a+1/b=1得0<1/b<1，00，則1/b=λ/1+λ，a=1/1+λ，所以b/a=（1+λ）2/λ=λ+1/λ+2≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)λ=1，即a=1/2，b=2時(shí)取等號(hào)，所以b/a的最小值是4.

3 變式訓(xùn)練

變式 （1）已知x>0，y>0，且x+4/y=8，則x/y的最大值為 ；

（2）已知a>0，b>0，且a+1/b=2，則4/a+b的最小值為；

（3）已知x>0，y>0，且1/x+1/y=1，則4x+2y+b/a的最小值為；

（4）已知負(fù)實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b=－2，則a－1/b的最小值為 .

4 結(jié)語(yǔ)

一道好的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和探究欲望，引導(dǎo)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)有效進(jìn)行.而一道好的數(shù)學(xué)試題應(yīng)具備“容易接受、一題多解、蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想、不故意設(shè)陷阱、可推廣和變式”等特征.上述解題中，解題方法靈活多樣，不同層次的學(xué)生都能獲得不同程度的知識(shí)建構(gòu)機(jī)會(huì)，讓他們感受到數(shù)學(xué)活動(dòng)的快樂(lè).