鄒信武

1 問題的提出

函數(shù)單調性是反映函數(shù)變化規(guī)律的一個基本性質，由于它的“抽象性”和“應用性”，歷來都是高中數(shù)學教師研究的重點教學內容.在以往的教學設計中，重點往往在于如何引導學生理解“符號化表示”和“任意性”上，誠然，這是學生學習函數(shù)單調性時的認知障礙，但是，從發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的角度，函數(shù)單調性還承載著更多的教育教學作用.

2 函數(shù)單調性教學作用

2.1 函數(shù)單調性是發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的優(yōu)良載體

函數(shù)單調性是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的良好教學素材.函數(shù)單調性概念的形成中，學生經歷了從圖形語言、自然語言再到符號語言表達的過程，從具體到一般，從“定性分析”到“定量刻畫”，可以發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)；在經歷具體函數(shù)圖象的單調性提煉和函數(shù)單調性在具體函數(shù)的“直觀圖象”中，發(fā)展學生直觀想象素養(yǎng)；在理解函數(shù)單調性概念中的“全稱量詞”、“特稱量詞”等邏輯用語中，發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng)；在利用函數(shù)單調性定義解決具體問題中，發(fā)展學生數(shù)學運算等素養(yǎng).

2.2 函數(shù)單調性是后續(xù)學習函數(shù)性質的優(yōu)良“示范”

學生在學習函數(shù)概念和函數(shù)的表示方法之后，在學生心中可以產生大量的問題，如下一步應該學習（思考）函數(shù)的什么呢？什么是函數(shù)的性質？如何尋找函數(shù)的性質？又應該表達它們呢？這樣做有什么作用呢？……這些問題恰恰利于發(fā)展學生的“理性思維”.因此，應該把握住這一教學契機，在函數(shù)單調性的探求過程中，引導學生逐步明了研究函數(shù)性質的基本框架和路徑，使數(shù)學中發(fā)展特有的目標取向、思考結構、思維方式和符號化表達有機的融入系列化數(shù)學活動中，形成一個完整的數(shù)學研究過程，為后續(xù)函數(shù)性質研究提供一個“示范”.

3 函數(shù)單調性的學習過程

函數(shù)的單調性概念的形式化過程，本質上就是數(shù)學概念的抽象過程.關于數(shù)學抽象，史寧中教授將它分成三個階段：一是簡約階段，即抓住事物特征，語言表達；二是符號階段，即抓住事物本質，符號表達；三是普適階段，即抓住事物關聯(lián)，模型表達.函數(shù)單調性的教學過程應尊重數(shù)學抽象的層次性，兼顧學生思維的發(fā)展水平，概念形成與概念同化相結合.如圖1，將函數(shù)單調性的概念學習分為四個階段：方法與途徑、辨別與提煉、表征與定義、完備與應用.

4 函數(shù)單調性教學設計

4.1 方法與途徑

引入：前面我們學習了函數(shù)的定義和表示法，知道函數(shù)是描述客觀世界中變量之間的一種對應關系.這樣，我們就可以通過研究函數(shù)的變量間的變化規(guī)律來把握客觀世界中事物的間的變化規(guī)律，變化中的不變性就是性質，變化中的規(guī)律性也是性質.因此，研究函數(shù)的性質，就是研究自變量在變化時，函數(shù)值呈現(xiàn)出什么樣的變化規(guī)律.那么，哪一種函數(shù)表示方法可以直觀的反映規(guī)律性呢？

設計意圖：承前啟后，交代清楚性質和函數(shù)性質的涵義.引出了本節(jié)課的主題——研究函數(shù)的性質，同時指出了研究的途徑：尋找自變量與函數(shù)值的變化規(guī)律；并且指出研究的出發(fā)點：函數(shù)的圖象.

4.2 辨別與提煉

問題1 觀察圖2中的三個函數(shù)圖象，你能說說它們分別反映了相應函數(shù)的哪些性質嗎？哪些是三個函數(shù)圖象共有的性質？

設計意圖：這樣的處理，既體現(xiàn)了數(shù)學抽象中“簡約階段”的特征，又能統(tǒng)攝后續(xù)學習內容，體現(xiàn)“大單元”教學觀.學生從特殊的三個函數(shù)圖象中，分析變化規(guī)律，并進一步對它們進行提煉和類化，進而得到某些“規(guī)律性特征”.這幾個圖象中，有“上升”、“下降”——單調性，有中心對稱和軸對稱——奇偶性，有極值和最值，還有變化快慢等特征，這些都是今后要研究的性質.當學生提煉了種種性質之后，再指出“上升”、“下降”這樣的圖形特征我們稱為函數(shù)的單調性，本節(jié)課的目標就是準確的描述這樣的圖象特征.

4.3 表征與定義

問題2 我們從簡單的函數(shù)開始，先研究函數(shù)f（x）=x2，g（x）=x3的單調性.請同學們用描點法畫出它的圖象，并描述出它的單調性情況.

設計意圖：這是本節(jié)課的關鍵問題，設計主要從以下幾個方面考慮：

（1）從簡單到復雜，從特殊到一般，是我們研究問題的一種常見方法.利用特殊函數(shù)的圖象引導學生進一步明晰單調性的圖形直觀，并得出圖形直觀描述：從左往右看，y=g（x）圖象在“上升”；當x<0時，y=f（x）圖象“下降”，當x>0時，y=f（x）圖象“上升”.

（2）此處要求學生使用描點法作圖，使學生在列表描點過程中，能直接感受自變量變化時函數(shù)值的變化規(guī)律，并且把這樣的規(guī)律與圖象變化建立聯(lián)系，進而實現(xiàn)圖象描述向代數(shù)刻畫轉變.

（3）選擇f（x）=x2和g（x）=x3的原因還有兩個：一是通過對比，讓學生體會單調性是函數(shù)的局部性質，并且具有普遍性；二是為后面函數(shù)奇偶性的研究埋下伏筆.

追問1：函數(shù)是自變量與因變量的一種對應關系，對于f（x）=x2，你能用自變量x與函數(shù)值 f（x）描述剛剛大家得到的函數(shù)圖象的“上升”和 “下降”嗎？

設計意圖：學生經歷了描點法作圖過程，就不難從圖形描述轉向數(shù)學描述性語言：當x<0時，f（x）越?。划攛>0時，x越大， f（x）越大.值得注意的是，雖然這樣的描述語言在初中已經出現(xiàn)，但是在以往教學實踐中，大部分學生依然不能精確地表述，因此這樣的復習還是有必要的.

追問2：結合繪制f（x）=x2的過程，請你舉例說明：當x>0時，x越大， f（x）越大.

設計意圖：函數(shù)單調性概念符號化過程中的一個難點就是如何讓學生自然地使用區(qū)間上兩點坐標去刻畫變化規(guī)律.在這個問題解決過程中，從一般到特殊，隨著學生不斷列舉實例（如1<2，則f（1）< f（2）等），進而發(fā)現(xiàn)“上升”圖象中的兩點坐標間的大小關系.

追問3：大家發(fā)現(xiàn)了“上升”部分兩點間存在大小關系，你能用剛才的發(fā)現(xiàn)來描述“當x>0時，x越大， f（x）越大”嗎？

設計意圖：從特殊到一般，引導學生用符號語言描述“上升”這一性質.這是達成抽象概念的重要過程，雖然描述不完善，但是描述脫離了圖象，完成了定性刻畫向定量刻畫的轉變.

追問4：請同學們判斷：當x1，x2∈［0，+∞），如果x1

設計意圖：引導學生逆向思考，完成函數(shù)單調性概念形成過程中的“完備性”.此處是本節(jié)課的難點之一，通過設置充分必要條件的判斷，使學生意識到“所有點都應滿足”，進而體會 x1、x2任意性的重要性.

追問5：請同學們用準確的語言刻畫f（x）=x2“上升”和“下降”的情況.對于g（x）=x3呢？

設計意圖：通過前面的層層鋪墊，達成數(shù)學抽象符號化.學生在使用嚴謹?shù)姆栒Z言刻畫f（x）=x2的g（x）=x3的單調性情況，體會符號語言的精煉與準確.

追問6：對于函數(shù)h（x）=|x|又有怎樣的單調性呢？你能描述出來嗎？

設計意圖：再通過一個特殊函數(shù)單調性的判斷，深化符號語言表達與理解.讓學生再一次體會“圖形語言→自然語言→符號語言”這一數(shù)學抽象的過程.

問題3 如圖3，對于一般的函數(shù)，你能寫出這兩種情況的定義.

設計意圖：師生一起歸納單調遞增（減）、增（減）函數(shù)的定義和單調區(qū)間的定義.關注學生符號語言的準確性，特別是在區(qū)間、任意、取點等地方的細節(jié).

4.4 完備與應用

問題4 教材中的思考：

（1）設A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且？ x1，x2∈A，當x1

（2）函數(shù)的單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的，你還能舉出在整個定義域內是單調遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內的某些區(qū)間上單調遞增但在另一些區(qū)間上單調遞減的函數(shù)例子嗎？

設計意圖：這是概念同化的過程.因為函數(shù)單調性概念的抽象性，可以提供幾個問題給學生辨析，增強學生對概念的理解.教材中的兩個問題分別從函數(shù)單調性中的“任意性”和區(qū)間兩個方面進一步深化對函數(shù)單調性概念的理解.

問題5 例1：根據(jù)定義，研究函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）的單調性.

例2：物理學中玻意耳定律p=k/V（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大，試對此用函數(shù)的單調性證明.

例3：判斷函數(shù)y=x+1/x在區(qū)間（0，+∞）的單調性.

設計意圖：通過實例使學生體會單調性符號化定義的必要性和實用性，通過例1、例2歸納用單調性定義證明單調性的步驟，例3則是定義法證明單調性的推廣和應用.

例1和例2本質上分別是一次函數(shù)和反比例函數(shù)單調性的判斷，在初中我們一般采用圖象法進行判斷單調性，這樣判斷的弊端是圖像往往只能得到局部的特征，對于“無窮”位置，是無法解釋的.因此，引導學生使用定義法證明幾個簡單函數(shù)的單調性，有助于提升代數(shù)證明、推理能力，同時也有助于學生理解“無窮”的含義，體會“無窮”的數(shù)學處理方法，從中感受數(shù)學的美和力量.

例3則是通過一個學生相對陌生的函數(shù)，引導學生通過數(shù)學運算，進行恰當?shù)淖冃?，進而判斷函數(shù)單調性，使學生體會定義法判斷單調性的強大作用和價值.

問題6 請同學們思考并回答以下問題：

（1）什么叫函數(shù)的單調性？你能舉出一些具體例子嗎？

（2）你認為在理解函數(shù)的單調性時應把握好哪些關鍵問題？

（3）利用定義證明單調性的步驟是什么？有哪些注意事項？

（4）結合本節(jié)課的學習過程，你對函數(shù)性質的研究內容和方法有什么體會？

設計意圖：通過問題設置，將本節(jié)課的知識、方法、技能、過程等進行回顧與提煉，突出函數(shù)單調性的概念內涵和外延，歸納函數(shù)性質的研究過程，為后續(xù)函數(shù)性質研究的埋下鋪墊.

5 小結

通過函數(shù)單調性教學，我們希望給學生建立一種研究函數(shù)性質的“示范”，在這樣的“示范”下，后續(xù)性質的教學就變成有目的、有方法、有路徑的探究學習.學生在學習過程中，得到的不僅僅是函數(shù)性質本身，還有探尋和研究問題的思維不斷得到鍛煉和提升，進而達到“教會學生學習”的教學效果，最終發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻

［1］章建躍.如何幫助學生建立完整的函數(shù)概念［J］.數(shù)學通報，2020，59（09）：1-8.

本文系南寧市“十四五”規(guī)劃“品質課堂建設”專題課題《三新背景下高中數(shù)學品質課堂的探索與實踐》（2022PZKT003）階段性成果.