褚玉霞　戚有建

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出了數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，明確把“數(shù)學(xué)運(yùn)算”列為六大核心素養(yǎng)之一，明確了“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的定位：數(shù)學(xué)運(yùn)算是在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).通過運(yùn)算可以促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成實(shí)事求是、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.“數(shù)學(xué)運(yùn)算”主要表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果.

教學(xué)中，很多教師片面的將數(shù)學(xué)運(yùn)算理解為追求速度、技巧、準(zhǔn)確率的技能訓(xùn)練，這樣的訓(xùn)練方式對學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的提升是低效的.實(shí)際上數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理的一種形式，數(shù)學(xué)運(yùn)算離不開算理的支撐.算理是客觀存在的規(guī)律，能為數(shù)學(xué)運(yùn)算提供正確的思維方式，從而保證運(yùn)算的合理性和正確性.算理是在把握問題結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，從格局上合理布置運(yùn)算的各個(gè)環(huán)節(jié)，使運(yùn)算承上啟下、有條不紊和結(jié)構(gòu)緊湊，便于運(yùn)算過程的自然展開，算法是一個(gè)將需要引入的運(yùn)算法則、定理、公式組織成一個(gè)緊湊的系統(tǒng)，形成運(yùn)算的一套程序.每個(gè)運(yùn)算環(huán)節(jié)中都蘊(yùn)含著相應(yīng)的“算理”，我們應(yīng)該幫助學(xué)生分析這些算理，從而指導(dǎo)運(yùn)算，讓學(xué)生體會到算理是進(jìn)行一類運(yùn)算的客觀規(guī)律，進(jìn)而提高運(yùn)算的嚴(yán)密性和可操作性.本文以一道解幾題為例，談?wù)劰P者在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)和提升方面的一些做法和思考.

二、教學(xué)案例

題目 如圖1，已知C，D分別是橢圓x2/4+y2/2=1的左右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連CM交橢圓于P，證明：OP·OM為定值．

分析1：本題研究的圖形是一個(gè)動(dòng)態(tài)圖形，對于動(dòng)態(tài)圖形，我們要思考圖形因何而動(dòng)，圖形中的動(dòng)態(tài)元素之間存在怎樣的聯(lián)系.動(dòng)因確定運(yùn)算對象，牽一發(fā)而動(dòng)全身.本題如果理解為M點(diǎn)動(dòng)而引起P點(diǎn)動(dòng)，從而導(dǎo)致OP·OM在動(dòng)，那么我們不妨從設(shè)點(diǎn)M開始，由于橫坐標(biāo)已知，所以可以設(shè)M點(diǎn)縱坐標(biāo).

導(dǎo)圖1：設(shè)點(diǎn)M（2，m）→用m表示P點(diǎn)坐標(biāo)→計(jì)算OP·OM

解法1： 設(shè)M（2，m），則直線CM的方程為y=m/4（x+2），代入橢圓方程x2/4+y2/2=1得（m2+8）x2+4m2x+4m2－32=0，其中Δ=1024，因?yàn)椋?是此方程的一個(gè)根，所以－2xP=4m2－32/m2+8，即xP=16－2m2/m2+8，可求得P（16－2m2/m2+8，8m/m2+8），所以O(shè)P·OM=2×16－2m2/m2+8+m×8m/m2+8=4，為定值.

點(diǎn)評：解法1通俗易懂，學(xué)生容易想到，其中對方程（m2+8）x2+4m2x+4m2－32=0的認(rèn)識是關(guān)鍵，可能有學(xué)生擔(dān)心此二次方程的根會很復(fù)雜、會是無理根，實(shí)際上，此二次方程的根肯定是有理根，不會是無理根，因?yàn)榇朔匠虒?shí)際上已經(jīng)知道一根是－2.另外此二次方程實(shí)際上可以化簡為一次方程，因?yàn)橛幸粋€(gè)因式是（x－2）．

分析2：根據(jù)分析1，本題可以理解為M點(diǎn)動(dòng)而引起P點(diǎn)動(dòng)，從而導(dǎo)致OP·OM在動(dòng)，由于C點(diǎn)是定點(diǎn)，所以M點(diǎn)動(dòng)等價(jià)于直線CM的斜率在動(dòng)，所以本題也可以設(shè)直線CM的斜率.

導(dǎo)圖2：設(shè)直線CM斜率k→用k表示P點(diǎn)坐標(biāo)→計(jì)算OP·OM

解法2：設(shè)直線AD的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程x2/4+y2/2=1得（2k2+1）x2+8k2x+8k2－4=0，因?yàn)椋?是此方程的一個(gè)根，所以－2xP=8k2－4/2k2+1，即xP=2－4k2/2k2+1，可求得P（2－4k2/2k2+1，4k/2k2+1），又由直線AD的方程為y=k（x+2）可得M（2，4k），

所以O(shè)P·OM=2×2－4k2/2k2+1+4k×4k/2k2+1=4，為定值.

點(diǎn)評：比較解法2和解法1可以發(fā)現(xiàn)，解法2直線AD方程y=k（x+2）中的k實(shí)際上就相當(dāng)于解法1直線CM方程y=m/4（x+2）中的m/4，所以解法2和解法1本質(zhì)上是一樣的，但是解法2的過程稍簡潔一些.

分析3：“M點(diǎn)在直線x=2上動(dòng)”等價(jià)于“P在橢圓x2/4+y2/2=1上動(dòng)，直線CP交直線x=2于M”，所以本題也可以設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo).

導(dǎo)圖3：

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）→用x0，y0表示M坐標(biāo)→計(jì)算OP·OM

解法3： 設(shè)P（x0，y0），則直線CP的方程為y=y0/x0+2（x+2），可得M（2，4y0/x0+2），所以O(shè)P·OM = 2x0? + 4y0 2/x0? + 2 = 2x0 2 + 4y0 2 + 4x0 /x0? + 2，又由P在橢圓上得x0 2/4 + y0 2/2 = 1，即2x0 2 + 4y0 2 = 8，所以O(shè)P·OM = 2x0 2 + 4y0 2 + 4x0 /x0? + 2 = 8 + 4x0 /x0? + 2 = 4，為定值.

點(diǎn)評：解法3以P點(diǎn)的坐標(biāo)P（x0，y0）為參數(shù)，看起來有2個(gè)參數(shù)，但這2個(gè)參數(shù)滿足橢圓方程，所以可以通過方程的變形整體消參，這里對方程的代數(shù)變形要求較高.另外，解法1、解法2都需要將直線和橢圓的方程聯(lián)列，而解法3不需要方程的聯(lián)列，所以解法3運(yùn)算的效率更高，充分彰顯了解析法的特點(diǎn)和方程的魅力.

分析4：根據(jù)分析3，本題可以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，P點(diǎn)坐標(biāo)包括三角形式.

導(dǎo)圖4：

設(shè)P（2cosθ，2sinθ）→用θ表示M坐標(biāo)→計(jì)算OP·OM

解法4： 設(shè)P（2cosθ，2sinθ），則直線CP的方程為y=2sinθ/2cosθ+2（x+2），可得M（2，22sinθ/cosθ+1），所以O(shè)P·OM=4cosθ+4sin2θ/cosθ+1=4cos2θ+4sin2θ+4cosθ/cosθ+1=4，為定值.

點(diǎn)評：解法4和解法3本質(zhì)上是一樣的，但解法4比解法3運(yùn)算路徑更短、運(yùn)算效率更高，因?yàn)榻夥?中只有一個(gè)參數(shù).

三、教學(xué)思考

1、明晰運(yùn)算對象是提升運(yùn)算素養(yǎng)的前提

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).可見明晰運(yùn)算對象是思路探究、程序設(shè)計(jì)、方法選擇的前提和起源．所以我們要結(jié)合運(yùn)算情境，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次觀察運(yùn)算對象，得到不同的表達(dá)形式，即運(yùn)算對象的多元表征，挖掘運(yùn)算對象的內(nèi)涵和背景，從而探究運(yùn)算思路，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序．

2、理清算理算法是提升運(yùn)算素養(yǎng)的關(guān)鍵

當(dāng)前，很多教師在進(jìn)行運(yùn)算教學(xué)時(shí)側(cè)重于技能的訓(xùn)練，將數(shù)學(xué)運(yùn)算變成了追求速度、技巧、準(zhǔn)確率的技能訓(xùn)練，這樣的訓(xùn)練方式對學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的提升是盲目的、低效的.實(shí)際上，數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理的一種形式，數(shù)學(xué)運(yùn)算離不開算理的支撐.算理是客觀存在的規(guī)律，能為數(shù)學(xué)運(yùn)算提供正確的思維方式，從而保證運(yùn)算的合理性和正確性，提高運(yùn)算的嚴(yán)密性和可操作性.

3、親身體驗(yàn)過程是提升運(yùn)算素養(yǎng)的根本

很多教師在進(jìn)行運(yùn)算教學(xué)時(shí)，重視思路分析卻忽視讓學(xué)生真正動(dòng)手去算，從而導(dǎo)致部分學(xué)生不愿算、不敢算、不會算．忽視學(xué)生的親身體驗(yàn)，運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)的積累、運(yùn)算素養(yǎng)的提升是一句空話．因此，只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷完整的運(yùn)算過程，把分析運(yùn)算條件、探求運(yùn)算思路、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果這些過程還給學(xué)生，才能充分培養(yǎng)他們的運(yùn)算素養(yǎng)，優(yōu)化他們的思維品質(zhì)．