金永濤

深度學(xué)習(xí)，是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)活動［1］.深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)教師主導(dǎo)下的學(xué)生主動參與、積極建構(gòu)、強(qiáng)調(diào)學(xué)生的教育性發(fā)展.在這一過程中，學(xué)生通過掌握學(xué)科核心知識，把握學(xué)科本質(zhì)和思想方法，理解學(xué)習(xí)過程，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機(jī)并獲得發(fā)展.

數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)，羅增儒教授指出：數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)教師創(chuàng)造了對數(shù)學(xué)知識的理解.只有教師具有深度教研的意識、能力和素養(yǎng)，在日常教學(xué)中一貫堅(jiān)持指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，才能更好地培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和思維品質(zhì)，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 問題提出

在高一指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的教學(xué)中，經(jīng)過系統(tǒng)研究函數(shù)性質(zhì)后得到了它們的圖像.學(xué)生在完成課后練習(xí)時，常會遇到了函數(shù)y=2x－1/2x+1、y=log22－x/2+x、y=lg（x+x2+1）及相關(guān)的問題.借助換元法、整體代換與復(fù)合函數(shù)的方法對問題給出解答后，學(xué)生提出了一個共同的疑問：以往對函數(shù)的學(xué)習(xí)，都是通過研究函數(shù)的性質(zhì)并作出圖像.能否系統(tǒng)研究上述函數(shù)的性質(zhì)呢？基于這些函數(shù)的性質(zhì)能作出它們的圖像嗎？學(xué)生提出的新設(shè)想，是嘗試應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的研究方法研究陌生函數(shù)的需求和愿望，這是開展深度學(xué)習(xí)、提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的最佳契機(jī)，本文筆者將自己的教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施與大家分享交流.

2 指數(shù)相關(guān)函數(shù)的對稱性探究

題目1 研究函數(shù)f（x）=2x－1/2x+1的性質(zhì)并作圖.

學(xué)生的解答過程如下：

研究可知，f（x）是定義域?yàn)镽的增函數(shù)且為奇函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)為x=0.在研究單調(diào)性時，觀察解析式代數(shù)結(jié)構(gòu)，將其整理為f（x）=1－2/2x+1的形式，可識別出f（x）為增函數(shù)；通過判斷f（－x）與f（x）的關(guān)系得到了奇函數(shù)這一結(jié)論.結(jié)合上述性質(zhì)，學(xué)生基于經(jīng)驗(yàn)作出了f（x）的一個錯誤的圖像（圖1）.

2.1 學(xué)生的困惑與疑問

雖然得到了f（x）的圖像，但學(xué)生并不能理解，為何指數(shù)函數(shù)不具有對稱性，而f（x）卻具有對稱性；指數(shù)函數(shù)存在漸近線，f（x）是否存在漸近線.

2.2 指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)

為了引導(dǎo)學(xué)生深入探究f（x）的函數(shù)性質(zhì)及其內(nèi)在聯(lián)系，提出如下思考問題.

引導(dǎo)思考1 你知道哪些與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的奇函數(shù)、偶函數(shù)？

學(xué)生回顧并給出形如y=2x、y=2x+2－x是偶函數(shù)，y=2x－2－x、y=2－x－2x是奇函數(shù).引導(dǎo)學(xué)生梳理已有知識儲備和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)、探究指數(shù)相關(guān)函數(shù)的對稱性做好鋪墊和準(zhǔn)備.

引導(dǎo)思考2 上面的奇函數(shù)和偶函數(shù)與f（x）有什么關(guān)系呢？怎么探究它們之間的關(guān)系呢？

學(xué)生分析后發(fā)現(xiàn)，由熟悉的奇函數(shù)和偶函數(shù)可以構(gòu)建出新的奇函數(shù)、偶函數(shù).如y=2x+2－x/2x－2－x、y=2x－2－x/2x+2－x均為奇函數(shù)，在形式上與f（x）很類似；學(xué)生進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，如果將函數(shù)y=2x－2－x/2x+2－x的分子、分母同時乘以2x，變形可得y=4x－1/4x+1，這與f（x）的解析式的結(jié)構(gòu)是一樣的. 類比可知，對f（x）進(jìn)行如下變形，f（x）=2x－1/2x+1=2x/2－2－x/2/2x/2+2－x/2，這樣f（x）就化成了一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的商的形式.

引導(dǎo)思考3 f（x）是否存在漸近線？

引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)函數(shù)的漸近線，不僅在函數(shù)圖像上有所呈現(xiàn)，也可以借助解析式從數(shù)量關(guān)系上給出描述，啟發(fā)學(xué)生借助f（x）的解析式研究漸近線的數(shù)量關(guān)系.

學(xué)生思考后指出，由f（x）=1－2/2x+1可知f（x）<1，圖1是錯誤的.因?yàn)楫?dāng)x→+∞時，f（x）<1且f（x）→1，即y=1是函數(shù)的一條漸近線，再由奇函數(shù)可知

y=－1也是函數(shù)的漸近線，從而得到函數(shù)f（x）的圖像應(yīng)該是圖2. 教師指出，基于函數(shù)性質(zhì)的作圖過程，是對函數(shù)性質(zhì)的深刻理解與準(zhǔn)確應(yīng)用，是對函數(shù)性質(zhì)的最佳呈現(xiàn).

2.3 教學(xué)反饋與評價

為了鞏固、強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)識和理解，教師提出下列問題.

探究思考 研究函數(shù)f（x）=2x/2x+1的性質(zhì)并作圖.

學(xué)生整理得到f（x）=1－1/2x+1，定義域?yàn)镽；可判斷出f（x）在R上單調(diào)遞增；當(dāng)x→+∞時，f（x）<1且f（x）→1；當(dāng)x→－∞時，f（x）>0且f（x）→0，即y=1和y=0是函數(shù)的兩條漸近線，作出函數(shù)圖像（圖3），觀察圖像，學(xué)生給出猜想：f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)0，f（0）成中心對稱. 學(xué)生觀察圖像大膽猜想，是對函數(shù)性質(zhì)的深度思考.教師鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探究：怎么檢驗(yàn)這一猜想呢？

學(xué)生嘗試1 判斷f（x）的圖像是否關(guān)于點(diǎn)0，f（0）成中心對稱，等價于驗(yàn)證函數(shù)是否滿足f（－x）+f（x）=1恒成立，整理可得上述結(jié)論是成立的.

學(xué)生嘗試2 運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，借助奇函數(shù)與中心對稱的關(guān)系，判斷f（x）的圖像是否關(guān)于點(diǎn)0，f（0）成中心對稱，只需驗(yàn)證y=f（x）－1/2是否為奇函數(shù)即可.

3 對數(shù)相關(guān)函數(shù)的奇偶性探究

題目2 判斷函數(shù)f（x）=log22－x/2+x的奇偶性.

學(xué)生的解答：函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?，2），且對任意的x∈（－2，2），都有－x∈（－2，2）；f（－x）=log22+x/2－x=－f（x），所以f（x）是奇函數(shù). 或者，可化為f（x）=log2（2－x）－log2（2+x），也能判斷出f（x）是奇函數(shù).

3.1 學(xué)生的困惑與嘗試

雖然問題給出完整解答，但學(xué)生不能準(zhǔn)確理解f（x）為何是奇函數(shù)，函數(shù)的什么性質(zhì)是使其成為奇函數(shù)的核心因素；既然f（x）是奇函數(shù)，能否進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，嘗試作出函數(shù)的圖像.

嘗試1 函數(shù)f（x）中的真數(shù)u（x）=2－x/2+x的圖像具有中心對稱，整理可得u（x）=－1+4/2+x，所以u（x）的對稱中心為點(diǎn)（－2，－1），圖像如圖4. 但由定義域?yàn)椋ǎ?，2），只涉及圖4的實(shí)線部分， u（x）的這部分圖像不具有對稱性. 這說明函數(shù)u（x）的中心對稱性不是f（x）為奇函數(shù)的原因.

嘗試2 系統(tǒng)研究f（x）的其他性質(zhì)（單調(diào)性、零點(diǎn)、漸近線等），嘗試作出f（x）的圖像.

（1）函數(shù)的單調(diào)性：由u（x）在（－2，2）上遞減；根據(jù)單調(diào)性的定義，對任意的x1，x2∈（－2，2）且x1u（x2），進(jìn)而一定有f（x1）>f（x2），所以f（x）在區(qū)間（－2，2）上單調(diào)遞減.

（2）函數(shù)零點(diǎn)：易知x=0是函數(shù)唯一的零點(diǎn).

（3）漸近線：當(dāng)x>－2且x→－2時，u（x）→+∞則f（x）→+∞；當(dāng)x<2且x→2時，u（x）>0且u（x）→0則f（x）→+∞. 可知，x=－2和x=2是f（x）的兩條漸近線.

根據(jù)f（x）性質(zhì)可作出函數(shù)的圖像（圖5）.

3.2 指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)

基于上述嘗試，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個方面，探究、思考f（x）成為奇函數(shù)的影響因素.

引導(dǎo)思考1 觀察函數(shù)u（x）、f（x）的圖像（圖6），你能從u（x）的取值分布判斷出f（x）的奇函數(shù)性質(zhì)嗎？

觀察圖像后，學(xué)生很難由u（x）判斷出f（x）為奇函數(shù). 教師指出，函數(shù)圖像固然直觀，但有時很難呈現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的深層次信息，要借助解析式從數(shù)量上給出精準(zhǔn)的刻畫.

引導(dǎo)思考2 對于函數(shù)關(guān)系式f（－x）=－f（x），真數(shù)u（x）具有什么性質(zhì)？

由f（－x）與f（x）互為相反數(shù)，可知u（－x）與u（x）互為倒數(shù)關(guān)系，即u（－x）=1/u（x）. 引導(dǎo)學(xué)生歸納出，對于定義域內(nèi)任意的x和－x，當(dāng)真數(shù)u（－x）與u（x）互為倒數(shù)時，f（x）是奇函數(shù).

3.3 教學(xué)反饋與評價

為了鞏固、強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)識和理解，教師提出下列問題.

思考問題1 你能給出一個與對數(shù)有關(guān)的函數(shù)且為奇函數(shù)的例子嗎？

學(xué)生從定義域的角度給出實(shí)例，如f（x）=log23－x/3+x，f（x）=log22－x/2+x（－1

思考問題2 研究函數(shù)f（x）=lg（x+x2+1）的性質(zhì)，并試著畫出函數(shù)圖像.

有了前面的經(jīng)驗(yàn)積累，學(xué)生能夠有意識地研究函數(shù)性質(zhì)，得到函數(shù)為奇函數(shù)這一結(jié)論.

（1）定義域?yàn)椋ǎ蓿?∞）.

（2）奇偶性：f（－x）+f（x）=lg（x2+1－x）（x2+1+x）=lg1=0，所以f（x）是奇函數(shù).

（3）單調(diào)性：記u（x）=x+x2+1.當(dāng)x∈［0，+∞）時，易知u（x）遞增，則f（x）遞增；

當(dāng)x∈（－∞，0］時，由奇函數(shù)的對稱性，可知f（x）遞增，進(jìn)而u（x）遞增.

（4）取值趨勢與漸近線：當(dāng)x→+∞時，u（x）→+∞，u（x）→2x且u（x）>2x，則f（x）→+∞；當(dāng)x→－∞時，u（x）→0且u（x）>0，則f（x）→－∞. 從上述分析可得y=2x與y=0是u（x）的兩條漸近線.

基于上述分析，作出u（x）的圖像（圖7），在繪制f（x）圖像時，很多學(xué)生參考u（x）的圖像作出f（x）的圖像（圖8）. 此時，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：①這樣作圖的根據(jù)是什么？②繪制f（x）圖像時，我們可使用的信息有哪些？學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)，由y=2x是u（x）的一條漸近線，當(dāng)x→+∞時，f（x）→lg2x，從而判斷出圖8中f（x）的圖像是錯誤的；當(dāng)x<0時，由f（x）是奇函數(shù)，作出f（x）的圖像（圖7）.

4 教學(xué)反思

4.1 發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是開展深度學(xué)習(xí)的最佳支點(diǎn)

問題是數(shù)學(xué)的心臟. 發(fā)現(xiàn)和提出問題，是自主學(xué)習(xí)與深度學(xué)習(xí)的最佳支點(diǎn). 對題目1和題目2的教學(xué)，都是在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)并提出了學(xué)生普遍存在的一個共性問題，對學(xué)生有一定的挑戰(zhàn)性，學(xué)生通過解決問題實(shí)現(xiàn)了對知識與思維的深刻理解，有助于學(xué)生形成科學(xué)、規(guī)范的研究方式. 好的數(shù)學(xué)問題，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能啟迪學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的深層次理解. 創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫?，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，有利于提升數(shù)學(xué)思維能力，有利于提升學(xué)生的研究能力和創(chuàng)新意識，有利于培育學(xué)生的批判思維和理性精神.

4.2 深度教研是深度學(xué)習(xí)的根本前提

深度學(xué)習(xí)開展的效率與質(zhì)量，究其根本取決于教師的深度教研意識、能力和素養(yǎng). 只有教師不斷踐行指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律為基礎(chǔ)，以實(shí)現(xiàn)知識理解的系統(tǒng)性和深刻性、探究和把握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)為根本，以揭示知識蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法創(chuàng)造性地分析和解決問題為核心，才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.3 學(xué)法指導(dǎo)是深度學(xué)習(xí)的根本保障

教師不僅要研究教學(xué)，還要研究學(xué)法，站在學(xué)生的視角審視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).在題目1中，學(xué)生習(xí)慣于“就題論題”，通過設(shè)置有梯度、有層次的思考問題，引導(dǎo)學(xué)生將思考不斷引向深入，逐步探究問題的本源，有助于培養(yǎng)學(xué)生的理性精神與批判思維.引導(dǎo)學(xué)生有效開展觀察與分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理、交流與反思，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的意識，提升高階思維能力；培養(yǎng)學(xué)生的探究意識，努力揭示知識的本質(zhì)和問題的本源；培養(yǎng)學(xué)生的多元思維，提升遷移能力、發(fā)散思維和創(chuàng)新意識.

參考文獻(xiàn)

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［3］ 姜志遠(yuǎn)，潘超.理解越深刻 解題越高效［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2020（10）：33-37.