劉志昂
(江蘇省蘇州市高新區(qū)第五初級中學校 215151)
觀念是指思想意識,函數(shù)觀念即函數(shù)的思想意識.函數(shù)觀念是指數(shù)學學習中,在沒有學習函數(shù)概念及相關性質之前,用函數(shù)的對應關系、定義域和值域及函數(shù)的性質等去理解、感悟一些潛在的函數(shù)關系,加深對數(shù)學知識的理解,是函數(shù)思想的滲透.
函數(shù)思想是人類在長期的社會實踐及理論推理中得出來的現(xiàn)實世界與數(shù)學公式之間的關系,是學習了函數(shù)的概念和性質后,根據(jù)生活實際或者數(shù)學問題中的變量間的對應關系,構建函數(shù)模型,再運用函數(shù)知識解決問題.函數(shù)思想是解決數(shù)學問題最重要、最基本的思想方法之一.
《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)指出:教學內(nèi)容是落實教學目標,發(fā)展學生核心素養(yǎng)的載體.在教學中要重視對教學內(nèi)容的整體分析,幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數(shù)學知識體系.一方面了解數(shù)學知識的產(chǎn)生與來源、結構與關聯(lián)、價值與意義,了解課程內(nèi)容和教學內(nèi)容的安排意圖;另一方面強化對數(shù)學本質的理解,關注數(shù)學概念的現(xiàn)實背景,引導學生從數(shù)學概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā),建立起有意義的知識結構.通過合適的主題整合教學內(nèi)容,幫助學生學會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題,形成科學的思維習慣,發(fā)展核心素養(yǎng).[1]85
數(shù)學結構化整體性教學強調數(shù)學知識之間的內(nèi)在關聯(lián),探尋結構化的知識體系,重視“通性通法”的教學.引導學生在學習的過程中從整體上把握學習內(nèi)容,積累學習的一般方法和基本思維經(jīng)驗,并遷移到后續(xù)的學習中,達到問題解決的目的.
數(shù)與代數(shù)是數(shù)學知識體系的基礎之一,是學生認知數(shù)量關系、探索數(shù)學規(guī)律、建立數(shù)學模型的基石,可以幫助學生從數(shù)量的角度,清晰準確地認識、理解和表達現(xiàn)實世界[1]53.
用字母表示數(shù),拉開了代數(shù)式學習的序幕.在代數(shù)中,用字母表示數(shù)意味著字母可以像數(shù)一樣進行運算和推理而得到一般性的結論,進而用字母來表示數(shù)學中最基本的數(shù)量關系(相等關系和不等關系)以及兩個變量之間的關系,從而進行代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)的學習.
代數(shù)中的用字母表示數(shù),連接了各類代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)之間的內(nèi)在關聯(lián),形成結構,因而教學中更應關注數(shù)學的整體性和運算的一致性.
3.1.1 用字母表示數(shù)的教學
用基本運算符號(基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式.由此可見,用字母表示數(shù)是代數(shù)式學習的基石.
《課標2022》對第三學段(5~6年級)數(shù)量關系的學業(yè)要求中指出:能在具體情境中,探索用字母表示事物的關系、性質和規(guī)律的方法,感悟用字母表示的一般性[1]25.對第四學段(7~9年級)數(shù)與式的內(nèi)容要求中指出:借助現(xiàn)實情境了解代數(shù)式,能進一步理解用字母表示數(shù)的意義[1]55.
在用字母表示數(shù)的教學中,許多版本的教材都選用了從特殊到一般的生活實例來引入.
人教版教材在章頭引言中給出這樣的實例與問題進行引入:
例1青藏鐵路線上,在格爾木到拉薩之間有一段很長的凍土地段.列車在凍土地段、非凍土地段的行駛速度分別是100 km/h和120 km/h,請根據(jù)這些數(shù)據(jù)回答下列問題:
(1)列車在凍土地段行駛時,2 h行駛的路程是多少?3 h呢?th呢?[2]53
在《2.1 整式》的開始部分,給出如下的內(nèi)容:
我們來看本章引言中的問題(1).
列車在凍土地段的行駛速度是100 km/h,根據(jù)速度、時間和路程之間的關系“路程等于速度乘以時間”,列車2 h行駛的路程(單位:km)是 100×2=200,列車3 h行駛的路程(單位:km)是100×3=300,列車th行駛的路程(單位:km)是100×t=100t①.
在式子①中,我們用字母t表示時間,用含有字母t的式子100t表示路程.[2]54
在教學中,教師會引導學生列出如上的算式,然后強調是一個從特殊到一般的過程,用字母來表示一個個具體的數(shù).
再如蘇科版教材中有如下的一個問題:
例2用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片,按圖1的方式拼成正方形.
第(1)個圖形中有一個小正方形.
第(2)個圖形比第(1)個圖形多個小正方形.
第(3)個圖形比第(2)個圖形多個小正方形.
第(4)個圖形比第(3)個圖形多個小正方形.
第(10)個圖形比第(9)個圖形多幾個小正方形?第(100)個圖形比第(99)個呢?第(n)個圖形比第(n-1)個呢?[3]66-67
在教學中,教師同樣會引導學生解答上述問題,然后強調這是一個從特殊到一般的過程,用字母來表示數(shù)和數(shù)量關系.
但是,如上的教學是不夠的.
上述的兩個例子中,都是從特殊的、具體的實例到一般的、抽象的用字母表示,這是一個非常典型的數(shù)學抽象.可是我們的教學不能僅僅停留在此,應該滲透函數(shù)觀念.
我們知道,例1中的100t是t的函數(shù),第2個例子中n2是n的函數(shù).建議例1的教學應形成如下的表格:
時間…23…t路程…200300…100t
然后設計如下的追問:
1.路程和時間之間有什么樣的數(shù)量關系?(路程是時間的100倍,如果路程用s表示,則s=100t)
2.時間的變化對路程有什么影響?(路程隨時間的變化而變化,路程隨時間的增大而增大)
如上的設計,既明確了兩個變量(路程和時間)之間的對應關系(路程隨時間的變化而變化),滲透了函數(shù)的概念,又明確了路程隨著時間的增大而增大,滲透了函數(shù)的單調性.
例2的教學應形成如下的表格:
圖形序號1234…910…n-1n小正方形個數(shù)14916…81100…(n-1)2n2
然后設計如下的追問:
1.小正方形的個數(shù)與圖形序號之間有什么樣數(shù)量關系?(小正方形的個數(shù)是圖形序號的平方,如果第n個圖形中小正方形的個數(shù)用m表示,則m=n2)
2.圖形序號的變化對小正方形的個數(shù)有什么影響?(小正方形的個數(shù)隨圖形序號的變化而變化,小正方形的個數(shù)隨圖形序號的增大而增大)
3.相鄰兩個大正方形,后一圖形中的小正方形個數(shù)減去前一圖形中小正方形的個數(shù),其結果與圖形序號之間有什么樣的數(shù)量關系?圖形序號的變化對結果有什么影響?
教學中,教師可以引導學生通過圖形的拼接與算式的規(guī)律探究,還可以概括出第(n)個圖形比第(n-1)個圖形多2n-1個小正方形.
如上的設計,依然明確了兩個變量之間的對應關系,滲透了函數(shù)的概念,又明確了兩個變量之間的變化規(guī)律,滲透了函數(shù)的單調性.
當然,上面的兩個例子還可以從數(shù)列的視角進行滲透與教學,而數(shù)列則是建立在自然數(shù)集上的特殊的函數(shù),依然是函數(shù)觀念的滲透.
上述兩個變量之間對應關系(函數(shù)關系)的存在與成立,不僅僅是表示特定情境中的實際問題,還可以表示其他的實際問題與數(shù)學問題,所以人教版數(shù)學教材七年級上冊中明確指出:用字母表示數(shù)后,同一個式子可以表示不同的含義.其本質上說明兩個變量之間的對應關系(函數(shù)關系)可以賦予不同的實際情境來表示不同的實際問題.因而這樣的數(shù)學抽象的符號階段,可以擺脫具體的情境而去表示所有的具有同類特征的數(shù)學關系.正如史寧中教授所言:符號的表達必須擺脫具體內(nèi)容,否則這種表達將不具有一般性,在這種表述基礎上的計算和推理,也將不具有普適性[4].
正是學習了用字母表示數(shù)(包括函數(shù)觀念的滲透),才使得代數(shù)式表示數(shù)與數(shù)量關系更具有抽象性、一般性與普適性,為其他代數(shù)式(整式、分式與二次根式等)的學習奠定了基礎.
3.1.2 “列代數(shù)式”的教學
《課標2022》對第四學段(7~9年級)數(shù)與式的內(nèi)容要求中指出:分析具體問題中的簡單數(shù)量關系,并用代數(shù)式表示[1]55.這是對列代數(shù)式的要求.各個版本的教材均沒有單獨的列代數(shù)式的章節(jié),大多散落在用字母表示數(shù)或代數(shù)式的內(nèi)容之中,故在教學中容易不被重視而一帶而過.
在實際教學中,應該重視列代數(shù)式的教學,它與列方程、不等式和函數(shù)表達式一樣,可以描述實際生活問題或者其他數(shù)學問題中的數(shù)量關系,是最基礎、最簡單、最一般的,與列方程、不等式和函數(shù)表達式有著內(nèi)在的關聯(lián).
如滬科版數(shù)學教材中有這樣一道例題:
例3用代數(shù)式表示:把a本書分給若干名學生,若每人5本,尚余3本,求學生數(shù)[5]60.
在后續(xù)的教學中,若給出具體的學生數(shù)求a的值,則轉化為列方程解決問題;若給出學生數(shù)的范圍,則轉化為列不等式解決實際問題;若給出學生數(shù)為x,則轉化為a與x之間的函數(shù)關系.
3.1.3 “求代數(shù)式的值”的教學
用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母,按照代數(shù)式中的運算關系計算得出的結果叫作代數(shù)式的值.《課標2022》對第四學段(7~9年級)數(shù)與式的內(nèi)容要求中指出:會把具體數(shù)代入代數(shù)式進行計算[1]55.這是對求代數(shù)式的值的要求.許多版本的教材有專門的代數(shù)式的值的章節(jié).
如滬科版教材部分內(nèi)容如下:
算一算,你每天需要多少睡眠時間?[5]65
這里的關系式表示的是睡眠時間與年齡這兩個變量之間的對應關系,是它們之間的函數(shù)關系表達式,而求30歲人的睡眠時間則是已知自變量的值(n=30)求對應的函數(shù)值(t),是對函數(shù)對應關系的滲透.
后面的算一算,由于學生的年齡會存在著差異,所以計算時自變量的值會有不同,因而計算的結果也會有所差別,說明“對于x的每一個值,y都有唯一確定的值與它對應”,又是函數(shù)對應關系的滲透.
蘇科版教材在相應位置設置了如下的一個探究過程:
填表:
x-3-2-101232x-1-3xx2
根據(jù)所填表格,討論下列問題:
(1)當x為何值時,代數(shù)式2x-1的值等于-1?
(2)隨著x的值的增大,代數(shù)式2x-1,-3x的值怎樣變化?
(3)隨著x的值的增大,代數(shù)式x2的值怎樣變化?[3]75
如上的探究活動中,(1)是對函數(shù)對應關系的滲透,(2)和(3)則是對函數(shù)單調性的滲透.接著教材中明確指出:一般的,代數(shù)式的值隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化.教學時,教師應該帶著學生深刻理解它的數(shù)學內(nèi)涵,用函數(shù)觀念去分析、理解它,厘清代數(shù)式與函數(shù)之間的內(nèi)在關聯(lián),形成結構化的整體性教學.
3.2.1 用代數(shù)式的知識促進對函數(shù)的理解
學習了函數(shù)之后,已知函數(shù)表達式和自變量的值求對應的函數(shù)值,就是將自變量的確定值代入解析式求代數(shù)式的值;求函數(shù)值等于零、大于零或小于零時的自變量的值或取值范圍,可以將函數(shù)表達式(代數(shù)式)大于零、等于零和小于零轉化為方程或者不等式來求解.從這個角度來說,代數(shù)式是構成函數(shù)的基本單位,是連接函數(shù)與方程、不等式的紐帶.用代數(shù)式的知識促進對函數(shù)的理解也是一種結構化的整體性教學.
3.2.2 用函數(shù)的思想促進對代數(shù)式的理解
學習了函數(shù)之后,學生便具備了函數(shù)思想.在復習,尤其是總復習時,對于代數(shù)式便可以明確地說,代數(shù)式的值與代數(shù)式所含字母是變量之間的對應關系,代數(shù)式的值是代數(shù)式所含字母的函數(shù),它隨著字母取值的變化而變化.此時,教師帶著學生用函數(shù)的思想重新審視學習過的代數(shù)式內(nèi)容,加深學生對代數(shù)式的理解,有利于他們高階思維的形成.
至此,在代數(shù)式、方程和不等式中滲透函數(shù)觀念,以及用函數(shù)思想統(tǒng)領代數(shù)式、方程和不等式的學習,便構建了如圖2的一個學習結構.
圖2
用函數(shù)的思想統(tǒng)領代數(shù)式的學習,關聯(lián)著方程和不等式的相關知識,將初中階段學習的數(shù)與式內(nèi)容連成一體,讓學生感悟一般的思維策略和學習策略,促進學生的深度學習.
代數(shù)式教學中函數(shù)觀念的滲透和函數(shù)思想的統(tǒng)領,使代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)組成了結構化的有機體,有利于從整體上認識數(shù)學知識及其內(nèi)在關聯(lián),形成知識結構與知識體系.利用數(shù)學對象的發(fā)生發(fā)展過程和相互聯(lián)系而使學生認識它的內(nèi)容,利用內(nèi)容的各種表現(xiàn)形式及其運動變化,而使學生深刻理解并掌握數(shù)學知識的精神實質和數(shù)學思想方法,是數(shù)學教學中提高數(shù)學課堂教學質量的根本保證[8].
鄭毓信教授認為:“(數(shù)學)深度教學”的主要含義是數(shù)學教學必須超越具體知識和技能深入到思維的層面,由具體的數(shù)學方法和策略過渡到一般的思維策略與思維品質的提升[9].由此,從函數(shù)觀念到函數(shù)思想的代數(shù)式的結構化整體性教學是深度教學.