胡瑞賢，王永達，張 昭

（中國電子科技集團公司電子科學研究院，北京 100041）

0 引 言

基于合成孔徑雷達（Synthetic Aperture Radar,SAR）的地面運動目標檢測（Ground Moving Target Indication，GMTI）一直是近年來雷達領域的研究熱點［1-4］。眾所周之，由于運動目標存在目標徑向速度，導致其在SAR 圖像中存在方位偏差［5］，運動目標精確定位問題一直是一個重要問題。目標定位誤差表示SAR 圖像上運動目標測量位置與真實目標位置之差。目標定位誤差可以評估目標徑向速度測量精度是否滿足要求，定位結果是否準確。在多通道SAR-GMTI系統(tǒng)中，目標定位精度主要受通道間干涉相位精度影響。一旦干涉相位中存在噪聲，必然會影響目標定位精度。國內外提出了多種方法［6-9］實現(xiàn)運動目標精確定位。Ender 等［9］采用克拉美羅界（Cramér-Rao Bound，CRB）來分析SAR-GMTI 系統(tǒng)的定位誤差性能，但克拉美羅界只給出了定位誤差最小情況下的分析結果。Cerutti-Maori 等［10］應用微分法及誤差傳遞模型來估計定位誤差，該方法缺乏在相位誤差、基線誤差等條件下對定位精度影響的深入分析。

本文從概率統(tǒng)計角度討論了目標定位精度問題。假設定位性能主要受噪聲影響，推導了運動目標的干涉相位誤差的概率密度函數(shù)。這種采用概率密度函數(shù)描述定位誤差的一個突出優(yōu)點是可以在方案設計和參數(shù)評估階段預測估計星載SAR-GMTI的目標定位性能，另外本文還為不同參數(shù)條件下的在軌SAR-GMTI系統(tǒng)性能比較提供了一種新的分析思路。

1 采用多通道技術抑制雜波

當前大多數(shù)GMTI 系統(tǒng)均采用多通道技術［6-13］進行雜波抑制，本文討論聚焦多通道SAR-GMTI系統(tǒng)。雜波抑制的一個重要步驟是根據(jù)實測數(shù)據(jù)來估計雜波向量。假設每個像素內包含一個運動目標，則N幅SAR圖像對應像素的復信號A1,A2,…,AN可以表示為

式中，i表示第i個天線，S1,S2,…,SN分別為N幅圖像中對應的運動目標信號，且Si=S1exp(-jφt,i),λ為工作波長，Vr和V分別表示目標徑向速度和平臺速度，d表示兩個接收天線相位中心之間的距離，ni表示第i個天線的噪聲信號，c表示雜波分量。理想情況下，各個天線接收的雜波信號應完全相同。

在目標信噪比（Signal-to-Noise Ratio,SNR）足夠大的條件下（SNR＞20 dB），可以采用干涉儀（Along-Track Interferometry,ATI）技術［14-15］精確估計運動目標的徑向速度Vr。但是當SCNR 相對較小時，干涉相位測量精度較低，導致徑向速度Vr的測量精度和目標定位精度嚴重下降。因此，必須盡可能抑制雜波信號以便于獲得較高的SCNR。由式（1）可知，理想情況下，N幅復圖像中的雜波向量完全相同，該雜波向量C可以用原點指向點C(x,y)的向量表示。圖1 中，N個點A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，…，AN(xN,yN)表示N幅復圖像a1,…,aN。這N個向量均勻分布在以點C(x,y)為圓心，半徑均為r的圓上，易得這N個向量的表達式為

圖1 采用ATI方法雜波相消時N幅配準的SAR圖像之間的干涉相位關系

為求解運動目標的真實位置，需要對目標重新定位。由于衛(wèi)星/飛機平臺快速運動，地面雜波的主瓣雜波譜會明顯展寬，位于主瓣雜波譜的慢速運動目標通常會被掩蓋，難以檢測；要完成對動目標角度的精確測量和定位至少需要3 個子孔徑［6］（通道）。此處結合圖1，對該原理進行簡單說明。圓上任意兩個向量OA1和OA2表達式分別為

OA1和OA2分別表示兩個通道復信號，雜波相消就是同時減去相同的雜波分量OC。但由圖1可知到點A1和A2距離相同的點C和C′有無窮個，式（3）也可表示為

雜波抑制后沒有多余的空域自由度進行目標定位了。因此，至少需要3 個孔徑，即3 個向量OA1、OA2和OA3，依據(jù)三點共圓原理，可以唯一確定圓心，即先準確估計雜波分量C再進行抑制。

典型的方法是將沿航向均勻排列的3 個天線子孔徑分成1、2 和2、3 兩組完成雜波相消，利用相消后的兩個相位進行干涉測向，按照測得的目標距離和目標所在的多普勒通道，對目標的徑向速度進行估計并對運動目標進行重新定位。

基于上述分析，假設在下文的討論中雜波被充分抑制。雜波抑制后，目標矢量的起始點就變成原點。

2 定位誤差的概率密度函數(shù)

本節(jié)重點分析噪聲對運動目標定位的影響。假設雜波信號被完全抑制，則目標定位精度主要受噪聲的影響。以一個包含3部天線的SAR-GMTI系統(tǒng)為例，“通道1和通道2”以及“通道2和通道3”兩兩雜波相消后，目標信號與噪聲信號構成的兩個復向量I1和I2的表達式如下:

與式（1）不同的是，式（3）中不包含雜波向量（假設采用DPCA 及STAP 等技術已經將雜波完全抑制），則I1和I2的干涉相位可以表示為

式中，angle(·)表示復向量的輻角，[·]*表示取共軛。

式（4）中值得注意的是，只有在不存在噪聲背景下，雜波抑制后兩個復向量的干涉相位才等于運動目標的真實干涉相位。只要存在噪聲，I1和I2的干涉相位必然與真實目標的干涉相位存在偏差。假設干涉相位主要是受白噪聲N1和N2影響，且N1和N2的數(shù)學期望為0，方差為σ2，則可以推導出干涉相位誤差的概率密度函數(shù)。根據(jù)文獻［16］，白噪聲N1和N2的相位在區(qū)間上服從均勻分布，很容易得出N1和N2相位差θ的概率密度函數(shù)

假設目標信號與噪聲信號之間滿足獨立同分布，可得

式中，φt為式（1）中運動目標干涉相位，E[·] 為數(shù)學期望，且

令R=|S|，則式（8）可以變換為

式中，r=σ2/R2，且r的數(shù)學期望E[r] 與信噪比SNR成反比，令

式（8）中復向量的相位Ψ與運動目標干涉相位φt之差為Δφ，且Δφ正切值由下式給出:

令α=θ-φt，對式（8）兩側變量α求偏導，可知當cosα=-r時，求得tan(Δφ) 極值為因此，當Δφ范圍是時，tan(Δφ)的值域為cosα=-r在區(qū)間[-π,π]上有兩個根，分別是α1=-arccos(-r)和α2=arccos(-r)。當α∈(α1,α2)時，函數(shù)tan(Δφ)是單調遞增的；當α∈(-π,α1)及α∈(α2,π)時，函數(shù)tan(Δφ)是單調遞減的。

將cosα看作未知變量，則由式（11）可得:

式中，α的值域為[0,2π]。

根據(jù)一元二次方程求根公式可得

Δφ的概率密度函數(shù)fΔφ(Δφ) 是變量Δφ的分段函數(shù)，因此我們可以分別在兩個區(qū)間上推導fΔφ(Δφ) 的表達式。為便于進一步推導，令A=

分段函數(shù)fΔφ(Δφ)，當時，

式（13）兩側同時對變量Δφ求偏微分，可以得到

注意，式（15）中用α′1和α′2，以便與式（13）中α1和α2進行區(qū)分。

則微分系數(shù)表達式為

根據(jù)概率密度函數(shù)（PDF）的非負性，相位誤差Δφ的概率密度函數(shù)表達式如下:

采用圖2對上述結果進行解釋，假設運動目標位于復平面的第一象限，其幅度大小為R，運動目標干涉相位為φt。上文提及噪聲信號可以被認為是幅度為σ2，相位θ服從均勻分布的復向量?？紤]到噪聲矢量具有隨機性，不論噪聲位于哪個象限（例如圖2 中噪聲位于第一象限，其他象限結論類似），相位差Δφ均表示目標和噪聲和矢量與目標矢量之間的夾角，即目標定位問題實質上是目標矢量與噪聲矢量競爭的結果。

圖2 相位誤差產生原因說明（圖中目標和噪聲向量均位于第一象限）

換言之，相位誤差主要受目標信噪比的影響。事實上，SNR 遠大于1的情況對于探測運動目標是非常有利的，反之SNR遠小于1的情況表明目標被噪聲遮擋難以探測。此處，有三種情況需要解釋。第一種情況，當Δφ=0時，目標向量和噪聲向量矢量方向相同，則目標信號被增強，有利于獲得較高的定位精度；第二種情況，當Δφ=π 時，即目標信號矢量和噪聲矢量方向相反，則目標信號被抵消，目標定位精度由剩余信號能量與噪聲比值（SNR）決定；第三種情況，當目標矢量與噪聲矢量相互垂直，相位誤差Δφ最大，此時目標定位誤差也最大。

3 定位性能分析

本節(jié)從兩個方面針對上面的分析進行性能分析仿真。一方面，采用推導的概率密度函數(shù)（PDF）來分析運動目標定位誤差。另一方面，分析信噪比對目標定位性能的影響。假設星載SAR 下視角為50°，表1 給出了3 個國外典型的單基星載SAR/GMTI 系統(tǒng)［17］的主要參數(shù)，這三個SAR/GMTI 系統(tǒng)分別為TerraSAR-X、RADARSAT-II 和Cosmo-Skymed，它們都有雙通道GMTI 試驗模式，相鄰天線通道（或相位中心）的間距分別為2.39 m，7.5 m 和3 m。注意，每個衛(wèi)星都具有M個天線通道，例如TerraSAR-X（M=12）,RADARSAT-II（M=16）以及Cosmo-Skymed（M=5），這樣有助于采用空時自適應處理技術抑制雜波。

表1 國外3個典型星載SAR-GMTI系統(tǒng)的雷達參數(shù)

根據(jù)文獻［18］，目標徑向速度Vr的表達式如下:

值得注意的是式（18）中的Vr，d和Δφ是不考慮基線誤差時的理想值。

定位誤差是干涉相位誤差Δφ的函數(shù):

式中，Rs表示衛(wèi)星平臺到運動目標間的中心斜距。

由圖3 可知，當信噪比（SNR）為10 dB 時，TerraSAR-X、RADARSAT-II和Cosmo-Skymed 3個星載SAR-GMTI 系統(tǒng)的最大定位誤差分別為158.74 m，136.37 m和150.38 m，它們對應的概率值為1，表明上述3 個SAR-GMTI 系統(tǒng)定位精度大于該取值概率較大。對這三個星載SAR-GMTI系統(tǒng)進行比較，從圖3 可以看出目標定位誤差落入[]0,100 m 區(qū)間的概率分別是0.442，0.472 和0.533。事實上，目標定位誤差與不同天線參數(shù)密切相關。圖3 中，TerraSAR-X 的目標定位誤差比其他兩個系統(tǒng)要大，這主要是由于TerraSAR-X 的方位口徑小于另外兩個星載SAR-GMTI系統(tǒng)，其基線較短。

圖3 3種星載SAR-GMTI系統(tǒng)的目標定位概率密度函數(shù)曲線（圖中設定目標信噪比為10 dB）

影響定位精度的另外一個重要因素是目標信噪比。表2給出3種星載SAR-GMTI系統(tǒng)在不同信噪比條件下的最大定位誤差。

表2 不同星載SAR-GMTI系統(tǒng)不同信噪比條件下的最大目標定位誤差

以TerraSAR-X 為例，圖4 分別給出了信噪比10，15和20 dB 條件下的目標定位誤差概率密度函數(shù)。由圖4 可知，SNR 較低時目標定位誤差較大，反之當SNR 較高時，出現(xiàn)較小的目標定位誤差的概率顯著增加。當信噪比分別為10，15 和20 dB時，定位誤差為9 m 的概率分別為0.037，0.114 和0.384，表明目標信噪比在定位性能上起著重要作用，提高目標定位精度的首要因素就是提高目標信噪比。換言之，要達到一定目標定位精度，目標信噪比必須要達到某個門限值。例如，為了將定位誤差控制到10 m 以內，要求目標信噪比不小于22 dB。

圖4 目標信噪比分別為10，15和20 dB時TerraSAR-X對應的定位誤差概率密度函數(shù)

事實上，星載SAR 斜距可達幾百公里甚至上千公里，即使較小的相位誤差從衛(wèi)星傳導到地面也會造成明顯的定位誤差。為了獲得較高目標定位精度，需要提高雷達系統(tǒng)功率孔徑積，進而提高目標信噪比。注意，上述推導及分析結果是在理想條件下得到的，實際情況中可能不一定完全滿足，但上述分析結果也是有意義的，可以為星載SAR-GMTI 系統(tǒng)理論分析和參數(shù)設計提供重要分析工具。

4 基線誤差對定位性能的影響

上一節(jié)，我們分析了噪聲對定位誤差的影響。事實上，星載SAR-GMTI系統(tǒng)定位誤差還受一些非理想因素（例如地球自轉、大氣擾動、軌道誤差等）影響。這些非理想因素在文獻［19-20］進行了深入討論，此處就不作詳細討論。本文只考慮由于熱脹冷縮現(xiàn)象引起的基線變化對目標定位的影響。根據(jù)式（18），可以得出當基線誤差存在時，定位誤差和徑向速度表達式分別為

式中，dmeasure表示測量基線值，d表示兩通道之間的實際基線值。二者之差用δd=|dmeasure-d|表示。

由于基線測量值dmeasure存在誤差，實際中即使Δφ是準確的，用dmeasure估計得到的目標徑向速度也是存在誤差的。由基線誤差導致的速度估計誤差由下式給出:

由式（22）容易推導得出基線引起的額外定位誤差δRreloca表達式如下:

式中，δdrel=δd/d為δd和d的比值，此處命名為相對基線誤差。當δdrel?1，δRreloca≈·Rc·δdrel。

當徑向速度為常數(shù)時，定位誤差與相對基線誤差成正比。本文以TerraSAR-X 為例來研究基線誤差對定位誤差的影響。仿真中假設基線誤差δd均值為0，方差σ2為（δd）2，即δd值域為（-Δd,Δd）。圖5給出定位誤差δRreloca隨徑向速度Vr和相對基線誤差δdrel的變化關系。垂直坐標表示徑向速度Vr，其變化范圍從0～50 m/s，水平坐標δdrel表示相對基線誤差，其變化范圍從0%～5%，顏色表示不同定位誤差（m）。以定位誤差15 m 為門限，黑線上方區(qū)域表示定位誤差小于15 m的情況。例如，圖5中，當δdrel=1% 和Vr=10 m/s 時，定位誤差為9.94 m。

圖5 目標定位誤差隨徑向速度和相對基線誤差的變化曲線

最后，我們同時考慮噪聲和基線誤差影響，并分析給出目標定位誤差的概率密度曲線。圖6中，綠色、紅色和黑色曲線分別對應d-Δd，d和d+Δd三種情況。換言之，目標定位誤差的PDF 是一類介于d-Δd和d+Δd之間的PDF曲線簇。

圖6 當相對基線誤差分別為1%，5%和25%時對應的目標定位精度

如圖6（a）所示，當基線誤差δdrel只有1%時（Δd=0.023 9 m），3條概率密度函數(shù)曲線幾乎完全重合，表明該基線誤差對定位影響相對較小。當基線誤差δdrel達到5%的時候（Δd=0.119 6 m），概率密度函數(shù)曲線簇出現(xiàn)了分化，此時基線誤差對定位精度影響比較明顯。為了分析基線誤差的影響，仿真計算了一種更極端的情況，但δdrel大于25%（Δd=0.598 0 m）時，黑色和綠色概率密度函數(shù)曲線出現(xiàn)了明顯差異。注意δdrel=25%為較極端情況，實際系統(tǒng)中不常見。事實上，由于黑色和綠色曲線分別表示誤差上界和下界，隨著d的變化可以得到一束分布介于綠色和黑色曲線為邊界的概率密度函數(shù)曲線簇。對于RADARSAT-II 和Cosmo-Skymed系統(tǒng)，也可從仿真計算中得出類似結論，此處不再贅述。

5 結束語

本文首先針對GMTI系統(tǒng)中至少需要3個子孔徑同時實現(xiàn)雜波抑制和目標精確定位的基本原理提出了全新的幾何解釋。在此基礎上，本文指出目標理論位置和實際位置偏離主要是由于復噪聲影響，導致ATI方法測得的目標干涉相位與實際干涉相位存在誤差。受概率統(tǒng)計思想啟發(fā)，基于高斯白噪聲模型假設推導了一種新的運動目標定位誤差的概率密度函數(shù)模型，該統(tǒng)計模型充分發(fā)掘多通道技術探測目標時的相位差異。本文提出的概率分析對星載和機載SAR-GMTI 系統(tǒng)以及分布式衛(wèi)星GMTI 系統(tǒng)［21-23］均適用，拓展后可推廣分析分布式衛(wèi)星系統(tǒng)的目標檢測性能。

注意本文研究目標主要是針對地面慢速運動目標，未來需要深入研究快速或高機動運動目標的定位誤差的統(tǒng)計特性。另外，對于星載SARGMTI 系統(tǒng)，由于衛(wèi)星運動速度遠大于地面目標的運動速度，運動目標方位向速度引起的散焦問題可以忽略。但是對于高機動空中目標或者臨空高速飛行器，實現(xiàn)目標精確定位難度較大，作為開放性研究領域，后續(xù)需要深入研究，一些新技術［24］可能作為有益探索解決此類問題。