王超，劉長(zhǎng)建，肖國(guó)銳，孫爽，孟欣

(信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院,鄭州 450001)

0 引言

實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)(RTK)是一種利用載波相位觀測(cè)值實(shí)現(xiàn)高精度定位的技術(shù)之一，載波相位整周模糊度正確固定是RTK 達(dá)到厘米級(jí)甚至毫米級(jí)定位的關(guān)鍵[1].為解決模糊度固定問(wèn)題，基于整數(shù)最小二乘理論的算法是當(dāng)前模糊度解算方法中關(guān)注最多的，這類方法中比較有代表性的有最小二乘模糊度降相關(guān)平差(LAMBDA)[2]、三頻載波模糊度解(TCAR)[3]、最優(yōu)GPS 模糊度估計(jì)(OMEGA)等[4].同時(shí)模糊度固定還取決于全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)的模型強(qiáng)度及觀測(cè)值精度，相同觀測(cè)精度下模型強(qiáng)度越強(qiáng)模糊度就越容易固定[5-6].為增強(qiáng)GNSS 模型強(qiáng)度，一些學(xué)者使用多頻、多系統(tǒng)組合的GNSS 定位方法，結(jié)果表明：雙頻、三頻組合的模糊度固定率高于單頻[7-10]，多系統(tǒng)組合能夠改善衛(wèi)星空間幾何結(jié)構(gòu)，提高定位精度[11-13].另外基于多接收機(jī)組合的方法已被廣泛使用，例如多元約束的姿態(tài)確定[14-16]、多動(dòng)態(tài)參考差分增強(qiáng)定位[17]、天線陣列輔助精密單點(diǎn)定位(PPP)等[18].

研究表明多臺(tái)接收機(jī)組成的天線陣列能夠提高RTK 模糊度固定成功率與可靠性[19]，但目前對(duì)天線陣列RTK 的研究較少，文獻(xiàn)[6，19]主要對(duì)天線陣列RTK 的模糊度固定進(jìn)行分析，對(duì)其定位性能分析較少，對(duì)不同截止高度角下的天線陣列RTK 定位研究不足.設(shè)置不同截止高度角在一定程度上能夠模擬樹木、建筑遮擋衛(wèi)星信號(hào)的情況，所以不同截止高度角下的天線陣列RTK 定位性能分析具有一定的研究和應(yīng)用價(jià)值.

為此，本文對(duì)比分析了天線陣列RTK 與RTK 的數(shù)學(xué)模型，研究了20°～50°截止高度角下GPS 單系統(tǒng)、BDS 單系統(tǒng)以及GPS+BDS 的天線陣列RTK 模糊度固定與定位性能，并與RTK 計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了天線陣列RTK 模型的可行性，并提高了RTK 在大截止高度角下的適用性.

1 天線陣列RTK 模型

1.1 觀測(cè)模型

假設(shè)原始偽距、載波相位觀測(cè)方程為

短基線背景下，電離層延遲與對(duì)流層延遲經(jīng)雙差處理后被極大削弱，因此忽略兩者雙差后的殘余誤差項(xiàng).將r視為流動(dòng)站接收機(jī)的標(biāo)識(shí)，數(shù)字1 為參考站接收機(jī)標(biāo)識(shí)，i、j為兩顆可視衛(wèi)星，在式(1)的基礎(chǔ)上，得到雙差觀測(cè)方程為

假設(shè)s+1 顆 衛(wèi)星在 第f個(gè) 頻率上被同時(shí)觀 測(cè)，根據(jù)文獻(xiàn)[5]，基于式(3)可以得到RTK 的觀測(cè)模型為

如圖1 所示，由一臺(tái)參考站接收機(jī)擴(kuò)展到n臺(tái)接收機(jī)時(shí)，一共能夠構(gòu)成n組雙差觀測(cè)方程，但由一組待求的參數(shù)向量變成了n組.參考文獻(xiàn)[19]中，向量b為參考站1 和流動(dòng)站r之間的基線向量，而本文基線向量b實(shí)際上為近似坐標(biāo)與待求坐標(biāo)間的改正值向量，因此每個(gè)參考站與流動(dòng)站組成的觀測(cè)方程中只需要選擇相同的近似坐標(biāo)展開就可以保證所有待求向量b相同.因?yàn)橄蛄縝具體含義不同，所以本文的天線陣列RTK 觀測(cè)模型與文獻(xiàn)[19]有所區(qū)別.

圖1 天線陣列RTK 示意圖

對(duì)于n組雙差模糊度向量，有如下關(guān)系：

通過(guò)式(5)可以將其他的雙差模糊度向量都轉(zhuǎn)為一組待求的模糊度向量N1r.

將RTK 觀測(cè)模型擴(kuò)展為天線陣列RTK 觀測(cè)模型，即

1.2 隨機(jī)模型

根據(jù)參考文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[19]，直接給出RTK 的隨機(jī)模型：

式中：?r、?1,...,?n為載波相位星間單差OMC(已經(jīng)減去近似點(diǎn)處的星地距離)；式中其他項(xiàng)與上文含義一致為n×(n+1)階流動(dòng)站與天線陣列間的差分矩陣，當(dāng)n=1 時(shí)，DA變?yōu)閱螀⒖颊九c流動(dòng)站間的差分矩陣.認(rèn)為流動(dòng)站和參考站1 ,...,n的星間單差觀測(cè)值獨(dú)立等精度，結(jié)合式(9)天線陣列RTK 的載波相位雙差方程(偽距雙差方程同理)，根據(jù)誤差傳播律，可以得到天線陣列RTK 的隨機(jī)模型為：

1.3 與RTK 對(duì)比

首先對(duì)天線陣列RTK 和RTK 的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行對(duì)比.在觀測(cè)模型方面，根據(jù)式(4)和式(6)，兩種模型的形式具有一致性，區(qū)別在于天線陣列RTK 觀測(cè)模型將更多觀測(cè)值通過(guò)站間雙差模糊度信息融合進(jìn)行參數(shù)解算，增加雙差方程的冗余度，提高了RTK 的模型強(qiáng)度.隨機(jī)模型方面則根據(jù)觀測(cè)模型的變化擴(kuò)展了流動(dòng)站和天線陣列間的差分矩陣.

本文使用LAMBDA 算法進(jìn)行模糊度固定，需要先求出參數(shù)浮點(diǎn)解.天線陣列RTK 和RTK 通過(guò)與其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)最小二乘原理求得模糊度與基線向量的浮點(diǎn)解，篇幅限制未展示其推導(dǎo)過(guò)程.表1展示了天線陣列RTK 模型與RTK 模型的參數(shù)浮點(diǎn)解公式.

表1 天線陣列RTK 模型與RTK 模型參數(shù)浮點(diǎn)解公式

結(jié)合表1 中的公式可以推導(dǎo)出天線陣列RTK與RTK 這兩種模型的參數(shù)浮點(diǎn)解的關(guān)系為

2 實(shí)驗(yàn)分析

2.1 實(shí)驗(yàn)描述

實(shí)驗(yàn)?zāi)康臑榉治霾煌刂垢叨冉窍碌膯蜧PS、單BDS 與GPS+BDS 雙系統(tǒng)組合的天線陣列RTK定位性能，雙系統(tǒng)采用松組合的形式，其中單系統(tǒng)和雙系統(tǒng)都采用常見(jiàn)的頻率組合，分別為L(zhǎng)1+L2、B1I+B3I.實(shí)驗(yàn)使用澳大利亞科廷大學(xué)GNSS 中心的四臺(tái)Trimble NETR9 接收機(jī)的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行定位實(shí)驗(yàn)，接收機(jī)天線為Trimble 59800，數(shù)據(jù)采樣間隔為30 s.圖2 為組成天線陣列的多臺(tái)接收機(jī)分布情況，其中CUT00、CUTA0、CUTB0 組成天線陣列，CUTC0 視為流動(dòng)站，其坐標(biāo)待求；當(dāng)用RTK 解算時(shí)，CUT00 為參考站，CUTC0 為流動(dòng)站.分別使用天線陣列RTK模型與RTK 模型進(jìn)行解算，采用LAMBDA 算法進(jìn)行模糊度固定，比較模糊度固定后的坐標(biāo)與已知坐標(biāo)，當(dāng)三維誤差小于0.1 m 且通過(guò)ratio 檢驗(yàn)則視為模糊度固定成功，其中ratio 檢驗(yàn)閾值設(shè)為2.

圖2 天線布局示意圖

當(dāng)截止高度角過(guò)大會(huì)導(dǎo)致一些歷元的可用衛(wèi)星數(shù)不能滿足定位要求，本文對(duì)不同截止高度角下的解算率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，解算率為滿足定位要求的歷元占所有歷元的比例.衛(wèi)星單系統(tǒng)至少有4 顆可用衛(wèi)星，雙系統(tǒng)組合不少于5 顆且每個(gè)衛(wèi)星系統(tǒng)的可用衛(wèi)星不少于2 顆才能獲得單歷元解.當(dāng)高度角小于20°時(shí)，BDS 單系統(tǒng)和GPS 單系統(tǒng)的解算率都是100%，因此截止高度角小于20°的解算率情況就不予列出.從表2中看出，GPS 單系統(tǒng)在截止高度角45°時(shí)有效歷元僅為37.7%，但BDS 和GPS+BDS 組合仍能保持較為連續(xù)的定位；當(dāng)截止高度角為50°時(shí)，BDS 單系統(tǒng)的解算率為78.5%，有接近四分之一的歷元解算失敗，無(wú)法保持較連續(xù)定位.當(dāng)截止高度角大于55°時(shí)，BDS 單系統(tǒng)只有12.5%的歷元能滿足定位需求，幾乎完全喪失單獨(dú)定位能力；GPS+BDS 組合系統(tǒng)在截止高度角為50°時(shí)，其解算率大于99%.GPS+BDS 組合系統(tǒng)在截止高度角為55°時(shí)，定位連續(xù)性銳減，截止高度角為60°時(shí)也完全喪失了連續(xù)定位的能力.

表2 不同截止高度角下各衛(wèi)星系統(tǒng)的解算率 %

從圖3 與表3 中可以看出，隨著截止高度角的增加可視衛(wèi)星數(shù)量減少，衛(wèi)星空間幾何結(jié)構(gòu)變差，位置精度因子(PDOP)值變大.當(dāng)截高度角為40°時(shí)，實(shí)驗(yàn)中GPS 單系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的PDOP 均值大于20，平均可視衛(wèi)星數(shù)量為3.8 顆；而BDS 單系統(tǒng)在截止高度角為40°時(shí)，平均可視衛(wèi)星數(shù)有6.1 顆，PDOP 均值為6.9，相對(duì)于GPS 單系統(tǒng)具有明顯優(yōu)勢(shì)；GPS+BDS 雙系統(tǒng)組合與單系統(tǒng)相比，組合系統(tǒng)的可視衛(wèi)星數(shù)增加，衛(wèi)星的幾何結(jié)構(gòu)更好，PDOP 均值在高度角為50°時(shí)為9.6，明顯優(yōu)于GPS 單系統(tǒng)和BDS 單系統(tǒng).

表3 不同截止高度角下各衛(wèi)星系統(tǒng)PDOP 均值與可視衛(wèi)星數(shù)均值

圖3 不同截止高度角下PDOP 均值與可視衛(wèi)星數(shù)均值

為具體分析天線陣列對(duì)于RTK 模型的增強(qiáng)，評(píng)估天線陣列RTK 的性能，分別使用天線陣列RTK 模型和RTK 模型計(jì)算BDS 單系統(tǒng)、GPS 單系統(tǒng)、BDS+GPS 三種情況下不同截止高度角的定位結(jié)果，并對(duì)兩種模型所對(duì)應(yīng)的模糊度衰減因子(ADOP)、模糊度固定成功率、浮點(diǎn)解、固定解進(jìn)行分析.

2.2 模糊度固定分析

自舉成功率Ps,IB計(jì)算簡(jiǎn)單，是整數(shù)最小二乘成功率的明顯下限，能夠用來(lái)分析整數(shù)最小二乘成功率.圖4 中虛線代表的是天線陣列RTK 模型，實(shí)線是RTK 模型，可以看到，GPS 單系統(tǒng)在高度角大于20°時(shí)，兩種模型計(jì)算的自舉成功率就有較為明顯的差距，而BDS 單系統(tǒng)在高度角大于40°、GPS+BDS在高度角大于45°時(shí)，自舉成功率才有明顯差距.結(jié)合表3 分析這可能是由于GPS 單系統(tǒng)在高度角大于20°時(shí)，模型強(qiáng)度受衛(wèi)星數(shù)減少的影響，逐漸不能維持較高的模糊度自舉成功率，同理基于BDS 單系統(tǒng)、GPS+BDS 的RTK 模型強(qiáng)度則分別在40°、45°時(shí)不能保證較高的自舉成功率.以上這種情況意味著隨著截止高度角的變大，RTK 模型在模糊度固定方面受到挑戰(zhàn)，而天線陣列對(duì)模型的增強(qiáng)在一定程度上降低了模糊度固定的難度，在圖4 中表現(xiàn)為在較高的截止高度角下，天線陣列RTK 的自舉成功率高于RTK.

圖4 天線陣列RTK 與RTK 在不同截止高度角下的平均自舉成功率Ps,IB

表4 對(duì)兩種模型不同截止高度角下各個(gè)衛(wèi)星系統(tǒng)的模糊度固定成功率進(jìn)行分析.當(dāng)截止高度角為20°時(shí)，GPS 單系統(tǒng)的天線陣列RTK 模糊度固定成功率略高于RTK，與自舉成功率分析的結(jié)果一致；當(dāng)截止高度角為30°、35°、40°、45°時(shí)，相較于RTK，天線陣列RTK 模糊度固定成功率分別從90.4%、84.8%、78%、70.8%提高至93.5%、90.3%、84.7%、78.2%，最多提高了7.4%.BDS 單系統(tǒng)在截止高度角50°時(shí)，天線陣列RTK 提高最多，為8%.因?yàn)镚PS+BDS 組合的模型強(qiáng)度高于GPS、BDS 單系統(tǒng)，能夠較好地完成模糊度固定，所以在雙系統(tǒng)組合定位時(shí)天線陣列對(duì)RTK 的增益較小，模糊度固定成功率在截止高度角55°時(shí)提高最多，為4.9%.

表4 天線陣列RTK 與RTK 在不同截止高度角下的模糊度固定成功率 %

結(jié)合圖4、表3 和表4 發(fā)現(xiàn)，在低截止高度角可用衛(wèi)星數(shù)量充足的情況下，例如高度角為20°時(shí)RTK 的模型強(qiáng)度能夠保證較高的模糊度固定成功率，因此天線陣列RTK 的優(yōu)勢(shì)不明顯.而由于截止高度角變大導(dǎo)致可視衛(wèi)星減少，例如截止高度角由20°變?yōu)?0°時(shí)，GPS 單系統(tǒng)平均可視衛(wèi)星數(shù)由6.6 顆變?yōu)?.8 顆，衛(wèi)星空間構(gòu)型強(qiáng)度變?nèi)酰珿PS 單系統(tǒng)的模糊度固定成功率迅速降低.不過(guò)由于天線陣列RTK 的模型強(qiáng)度高于RTK，即便其模型強(qiáng)度也隨著衛(wèi)星數(shù)減少而減弱，但模糊度固定成功率仍比RTK高6.7%.而在50°的大截止高度角時(shí)，天線陣列RTK 的模糊度固定成功率為93.6%，優(yōu)于RTK 的89.6% 的模糊度固定率.表4 的結(jié)果表明，在低高度角GNSS 模型強(qiáng)度較高的情況下，天線陣列RTK 模型與RTK 模型的模糊度固定成功率沒(méi)有太大差別，但在高截止高度角時(shí)，隨著GNSS 模型強(qiáng)度的減弱，天線陣列RTK 模型的模糊度固定成功率明顯優(yōu)于RTK 模型.

接下來(lái)通過(guò)ADOP 值來(lái)解釋天線陣列RTK 提高模糊度固定成功率的原因.ADOP 是一種能夠衡量模糊度固定成功率且易于計(jì)算的標(biāo)量因子，根據(jù)文獻(xiàn)[5]，其定義為

式中：q是模糊度向量的維數(shù)；|·| 是行列式運(yùn)算符.根據(jù)式(12)，模糊度浮點(diǎn)解精度越高ADOP 值越小，而同樣條件下天線陣列RTK 模糊度浮點(diǎn)解精度高于RTK，所以其ADOP 值小于RTK.由于ADOP 值與模糊度搜索空間的體積對(duì)應(yīng)相關(guān)，意味著天線陣列RTK 的模糊度搜索空間小于RTK，更有利于模糊度的搜索，并且ADOP 值等價(jià)于降相關(guān)后模糊度標(biāo)準(zhǔn)差的幾何平均值，所以天線陣列RTK 的模糊度固定成功率高于RTK，不過(guò)天線陣列RTK 能夠提高模糊度浮點(diǎn)解精度才是提高模糊度固定成功率的根本原因.

在圖5 中，藍(lán)色曲線和紅色曲線分別表示的是天線陣列RTK 模型與RTK 模型計(jì)算的ADOP 值.圖5(a)、(b)、(c)反映了基于兩種模型計(jì)算的不同截止高度角下不同衛(wèi)星系統(tǒng)所有歷元的ADOP 均值，對(duì)比圖5(a)和圖5(b)發(fā)現(xiàn)，相同截止高度角下BDS的ADOP 均值都小于GPS，當(dāng)截止高度角大于30°時(shí)，BDS 的ADOP 值明顯小于GPS.結(jié)合表3 分析，可能由于BDS 的可視衛(wèi)星數(shù)多于GPS，衛(wèi)星幾何結(jié)構(gòu)更好.圖5(d)是在截止高度角30°時(shí)，GPS 系統(tǒng)ADOP 值的時(shí)間序列，其更加直觀地展示了天線陣列RTK 對(duì)ADOP 值的減小.

圖5 不同截止高度角下RTK 和天線陣列RTK 計(jì)算的ADOP

2.3 定位精度分析

模糊度固定的最終目的是為了獲得精密定位，并且由于GNSS 信號(hào)常受到周圍環(huán)境遮擋，設(shè)置不同截止高度角能在一定程度上模擬城市峽谷或者林蔭道路環(huán)境，接下來(lái)對(duì)不同截止高度角下天線陣列RTK的定位性能進(jìn)行評(píng)估.

由表5 可以看出，相同截止高度角的情況下，與RTK 相比，天線陣列RTK 都能明顯提高浮點(diǎn)解定位精度，其中當(dāng)截止高度角為20°的GPS 單系統(tǒng)精度提升最少，為8.7%，在截止高度角為30°的BDS 單系統(tǒng)解算精度時(shí)提升最多，為27.1%.

表5 不同截止高度角下天線陣列RTK 與RTK 三維坐標(biāo)RMSE

圖6 展示了截止高度角20°和40°時(shí)兩種模型固定解在水平、垂直方向上的偏差，圖中紅色、藍(lán)色散點(diǎn)分別代表RTK 與天線陣列RTK.可以發(fā)現(xiàn)天線陣列RTK 的定位精度更高，這是由于天線陣列RTK 增加了雙差模型的冗余度，提高了模型強(qiáng)度，而GPS+BDS 的組合要優(yōu)于GPS 單系統(tǒng)或BDS 單系統(tǒng)，這是由于雙系統(tǒng)組合增加了衛(wèi)星空間結(jié)構(gòu)強(qiáng)度也提高了模型強(qiáng)度.開闊環(huán)境下常將截止高度角設(shè)置為20°或小于20°，此時(shí)GPS 單系統(tǒng)、BDS 單系統(tǒng)、GPS+BDS的解算率都為100%，且模糊度固定成功率接近100%，結(jié)果連續(xù)穩(wěn)定，滿足厘米級(jí)的定位需求.當(dāng)高度角由20°增大到40°時(shí)，定位精度隨之下降，GPS 單系統(tǒng)的定位結(jié)果不連續(xù)，而BDS 單系統(tǒng)與GPS+BDS仍能保持厘米級(jí)定位.

圖6 截止高度角20°與40°時(shí)天線陣列RTK 與RTK 的固定解水平方向、高程方向偏差

表6 統(tǒng)計(jì)了更多截止高度角下東(E)、北(N)、天頂(U)三個(gè)方向上的定位誤差，通過(guò)表2 可知，GPS單系統(tǒng)在截止高度角為50°時(shí)，解算率僅為17.6%，不能進(jìn)行有效定位，因此表6 中未分析該情況的固定解.經(jīng)分析，無(wú)論是單系統(tǒng)還是組合系統(tǒng)，天線陣列RTK 還是RTK，隨著截止高度角的變化，均呈現(xiàn)出一定的規(guī)律和特點(diǎn)：首先在選取的截止高度角下，相同衛(wèi)星系統(tǒng)下的天線陣列RTK 在E、N、U 方向上的RMSE 都小于RTK，說(shuō)明天線陣列RTK 能夠提高定位精度；特別是在截止高度為50°時(shí)，天線陣列RTK 的E、N、U 方向的固定解較于RTK 分別提高了7.7%、11.7%、6.7%.其次隨著截止高度角變大，衛(wèi)星數(shù)量下降，衛(wèi)星的幾何構(gòu)型變差，在三個(gè)方向上固定解的RMSE均變大，但天線陣列RTK 在50°截止高度角時(shí)，其固定解水平精度優(yōu)于1 cm，高程精度優(yōu)于2 cm，仍能滿足高精度定位需求.最后，結(jié)合表3中的PDOP 數(shù)據(jù)，即在相同高度角的條件下，BDS 單系統(tǒng)的定位精度要好于GPS 單系統(tǒng)，這可能是由于本次實(shí)驗(yàn)中同一高度角的BDS 可視衛(wèi)星數(shù)要多于GPS 單系統(tǒng)，BDS 單系統(tǒng)的空間構(gòu)型更好，同理，GPS+BDS 雙系統(tǒng)組合的衛(wèi)星空間結(jié)構(gòu)要好于單獨(dú)任意一個(gè)系統(tǒng).

表6 不同截止高度角下天線陣列RTK 與RTK 固定解E、N、U 方向上的RMSE

3 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)天線陣列RTK 定位性能評(píng)估問(wèn)題，對(duì)比了天線陣列RTK 和RTK 的數(shù)學(xué)模型，使用澳大利亞科廷大學(xué)GNSS 中心的觀測(cè)數(shù)據(jù)，主要分析了20°～50°截止高度角下GPS 單系統(tǒng)、BDS 單系統(tǒng)以及GPS+BDS 的天線陣列RTK 模糊度固定與定位性能，并通過(guò)與RTK 定位結(jié)果對(duì)比得到以下結(jié)論：

1)天線陣列RTK 能夠在每個(gè)歷元現(xiàn)有的衛(wèi)星條件下，充分利用觀測(cè)信息.其關(guān)鍵技術(shù)是融合多個(gè)測(cè)站的偽距、載波相位觀測(cè)值從而增加雙差模型的冗余度，增加模型強(qiáng)度，進(jìn)而提高模糊度固定成功率與定位精度.

2)天線陣列RTK 的表現(xiàn)優(yōu)于RTK.當(dāng)截止高度角較低時(shí)，天線陣列RTK 在模糊度固定方面具有微弱優(yōu)勢(shì)，而對(duì)浮點(diǎn)解定位精度的提升較為明顯.例如單BDS 在截止高度角為20°、30°定位時(shí)，相較于RTK，天線陣列RTK 的浮點(diǎn)解定位精度分別提高了24.4%和27.1%，這對(duì)于只能使用浮點(diǎn)解的應(yīng)用場(chǎng)景具有一定的研究?jī)r(jià)值.

3)在50°大截止高度角下，GPS 單系統(tǒng)、BDS 單系統(tǒng)的解算率分別為17.6%和78.5%，無(wú)法連續(xù)定位，而GPS+BDS 雙系統(tǒng)組合的解算率大于99%，在此條件下天線陣列RTK 的模糊度固定率由RTK 的89.6%提高至93.6%，單歷元固定解在E、N、U 方向上的精度分別提高了7.7%、11.7%和6.7%，并且其固定解的水平精度優(yōu)于1 cm、高程精度優(yōu)于2 cm，滿足高精度定位的需求，因此天線陣列RTK 提高了RTK 在大截止高度角場(chǎng)景中(例如城市峽谷)的定位性能.