李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué),新疆 烏魯木齊 830002)

最近在某資料上看到一道2021年的模考題,題設(shè)簡單、背景常見、問題常規(guī),但是仔細推敲此題出口甚廣,可以依托二次函數(shù)、三角函數(shù)、均值不等式、向量、正余弦定理、平面幾何、解析幾何等知識解答,對于鞏固基礎(chǔ)知識、開拓解題思路、提高解題的實戰(zhàn)水平均有一定的意義.

1 題目呈現(xiàn)

2 解法探究

解法1 設(shè)AB=2x,則AD=x.

在△ABD中,由余弦定理知

評析設(shè)邊長變量,巧用余弦定理,把面積最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,即可求出面積的最大值[1].

解法2 設(shè)BC=a,AB=2b,則AD=DC=b.

由海倫公式,得

①

在△ABC和△ABD中,分別由余弦定理可得

整理,得a2+2b2=6.

②

由①②,得

評析等式②是在研究同一個角,從而產(chǎn)生等式,學(xué)生一般不太在意,我們平時教學(xué)應(yīng)當多強調(diào).多角度看待問題、思考問題,尋找隱形等量關(guān)系是一種技巧[2].

=2x2sinA

整理,得5S=6sinA+4ScosA

所以25S2≤36+16S2,解得S≤2.

所以△ABC面積的最大值為2.

評析輔助角公式的應(yīng)用使得關(guān)于面積的不等式應(yīng)運而生,顯得十分自然,運算也簡潔,最值成立的條件也一目了然[3].

解法4設(shè)AB=2x,則AD=DC=x,BC=2y.

在△ABD和△CBD中,由余弦定理可得

又∠ADB+∠BDC=π,

所以cos∠ADB+cos∠BDC=0.

化簡,得2x2+4y2=6.

③

評析等式③容易出現(xiàn)視而不見的狀況,而高考命題專家恰好經(jīng)常在這個技巧上做文章,我們平時教學(xué)應(yīng)當強調(diào)到位.這個關(guān)系式還可以通過四點共圓產(chǎn)生,有異曲同工之妙.

=4cosα·sinα

=2sin2α≤2.

所以△ABC面積的最大值為2.

評析引進變量α建立三角函數(shù),目標函數(shù)簡單,最值易求.對學(xué)生的函數(shù)應(yīng)用意識要求較高,等價轉(zhuǎn)化的能力要求較高.

④

由基本不等式,得

即ab≤1,

所以S=2ab≤2.

經(jīng)過以上計算,可求得小數(shù)時延Δt1和幅度參數(shù)α1的初始值。先求出每個信號參數(shù)的初始值,然后采用迭代的方法依次對各參數(shù)進行更新以求得準確值。

所以△ABC面積的最大值為2.

解法7設(shè)G為△ABC的重心,

又AB=AC,

所以S=3S△BCG

=2sin∠BGC≤2,

所以△ABC面積的最大值為2.

解法8設(shè)BC中點為E,則AE⊥BC,G為△ABC重心.

設(shè)BE=x,GE=y,

在Rt△BEG中,BE2+GE2=BG2,

解法9設(shè)BC中點為E,G為△ABC重心,則AE⊥BC.

平方,得

所以△ABC面積的最大值為2.

評析重心的引入非常巧妙,學(xué)生需要長時間的修煉方可達成這種意識,形成這種能力.等價轉(zhuǎn)化思想顯得尤為重要.解法7、8、9屬于非常規(guī)的巧妙解法[3].

設(shè)A(x,y),由AB=2AD,得

所以△ABC面積的最大值為2[4].

設(shè)A(-a,-b),C(a,b),(a>0,b>0),

因為AB=AC,

整理,得

所以△ABC面積的最大值為2[5].

評析解法10、11引入了解析幾何,解法新穎.不僅可以訓(xùn)練學(xué)生三角問題,也能鞏固解析幾何的核心知識,思維顯得十分發(fā)散,對學(xué)生的創(chuàng)新能力培養(yǎng)不可小覷.

3 解后反思

對于習題的處理,通常有兩個誤區(qū):一是做對就好,二是多多益善(刷題).殊不知,很多問題的背后還有豐富的內(nèi)涵,有知識的,有方法的,有能力的.數(shù)學(xué)各個模塊之間存在千絲萬縷的聯(lián)系,這種聯(lián)系只有在主動應(yīng)用中才能織密織牢,只有掌握了理解了這些內(nèi)在的聯(lián)系才能應(yīng)對千變?nèi)f化的試題,才能培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,才能有創(chuàng)新的意識,才能在將來的工作中得心應(yīng)手,高分高能.因此,解題研究,是我們教學(xué)的一個重要工作.