俞新龍

(紹興市柯橋區(qū)越崎中學(xué),浙江 紹興 312050)

部分高考題源于教材、高于教材已經(jīng)形成一種共識(shí),但大多數(shù)認(rèn)識(shí)僅停留在認(rèn)為是課本題的改編或變式或引申等,實(shí)際上這樣的認(rèn)識(shí)是不夠的,我們也應(yīng)該對(duì)教材中的概念、定理、公式等引起足夠重視,很有必要像研究語(yǔ)文段落一樣,來(lái)討論、研究它們的內(nèi)涵與外延,并采用類比思維方式,從更廣的范圍來(lái)思考、探討相關(guān)知識(shí)點(diǎn)或方法的可行性,從而更好地來(lái)指導(dǎo)、幫助學(xué)生數(shù)學(xué)解題[1].本文以數(shù)學(xué)教材立體幾何中線面角、面面角的定義為例,結(jié)合2020年和2021年高考題來(lái)談?wù)剬?duì)該認(rèn)識(shí)的研究,旨在拋磚引玉,引起大家的共鳴.

1 兩道高考題及解答

題1(2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷)如圖1,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.

圖1 題1圖 圖2 題1解析圖

(1)證明:l⊥平面PDC;

(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

解析(1)因?yàn)锳D∥BC,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD,由線面平行性質(zhì)知l∥BC.

因?yàn)镻D⊥BC,CD⊥BC,PD∩CD=D,

所以BC⊥平面PDC.

所以,l⊥平面PDC.

(2)如圖2建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1).

設(shè)平面QCD法向量為n=(x,y,z),則

可取n=(-1,0,m).

設(shè)PB與平面QCD所成角為θ,

當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào).

題2(2021年全國(guó)甲卷)如圖3,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),D為棱A1B1上的點(diǎn),BF⊥A1B1.

圖3 題2圖 圖4 題2解析圖

(1)證明:BF⊥DE;

(2)當(dāng)B1D為何值時(shí),面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小?

解析(1)由AB∥A1B1,BF⊥A1B1知AB⊥BF.

在Rt△ACF中,AC2=AF2-FC2=8,

所以A1E2=6,EF2=3,A1F2=9.

由勾股定理知A1E⊥EF.

又由面面垂直性質(zhì)知BE⊥面AA1C1C.

所以A1E⊥BE.

于是A1E⊥面BEF.

所以可得A1E⊥BF.

又已知BF⊥A1B1,故BF⊥面A1B1E.

而DE?面A1B1E,所以BF⊥DE.

于是可取平面DFE法向量為n=(3,x+1,2-x),于是得

2 洞析教材內(nèi)涵

以上兩高考題考查的是線面角、面面角有關(guān)最值,題材相似,但卻不落窠臼,考出了新意,具有一定的綜合性.因?yàn)榫哂斜容^好的空間直角坐標(biāo)系結(jié)構(gòu),所以絕大多數(shù)都會(huì)選擇向量坐標(biāo)方法求解,鮮有常規(guī)幾何法求解,這就造成了一種錯(cuò)覺(jué):常規(guī)幾何法無(wú)法求解前述兩高考題,或者說(shuō)這樣就掩蓋了常規(guī)幾何法的精妙,這是由于對(duì)教材中相關(guān)知識(shí)點(diǎn)理解不到位、不深入造成的.

2.1 教材中線面角、面面角的定義

(人教A版必修第二冊(cè)151頁(yè))如圖5,一條直線l與一個(gè)平面α相交,但不與這個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO,過(guò)垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

圖5 線面角定義圖 圖6 二面角的平面角定義圖

(人教A版必修第二冊(cè)156頁(yè))如圖6,在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.

2.2 定義分析,洞析內(nèi)涵

(2)如圖7,若另有一包含直線AB的平面β,若PO1⊥β,作O1B1⊥AB1,所以∠PAO1<∠PAB.這就告訴我們,∠PAB比直線l與經(jīng)過(guò)直線AB的任意平面所成的角都要大;進(jìn)一步可以知道,若另有一條平行于直線AB且與直線l異面的直線CD,則異面直線l與CD所成的角是直線l與經(jīng)過(guò)CD的任意平面所成角的最大角.

圖7 線面角內(nèi)涵圖

面面角內(nèi)涵分析根據(jù)這個(gè)描述性作法可知平面角不僅唯一而且還是兩個(gè)半平面α和β內(nèi)任意各一條直線所成角中最大的角(若另有CA和CB構(gòu)成∠ACB,則由初中知識(shí)就能知∠AOB>∠ACB).因此,二面角的平面角應(yīng)該大于等于其中任何一個(gè)半平面中任意一條直線與另一個(gè)半平面所成的角[2].

3 把握高考題實(shí)質(zhì)

理解清楚這些后,我們?cè)倩氐礁呖碱}來(lái)找尋“神奇”的常規(guī)幾何解法.

圖8 題1的線面角圖

圖9 題2的線面角

又因?yàn)镋F?面DFE,且EF位置具有固定不變的特點(diǎn),所以面BB1C1C與面DFE所成的平面角大于等于EF與平面BB1C1C所成的角,因此問(wèn)題便成為了是否存在點(diǎn)D,使得∠EFG就是面BB1C1C與面DFE所成的平面角.

如圖9,因?yàn)锳1A,FE共面且不平行,所以A1A,FE必相交于一點(diǎn)A2,且AA2=1,同樣地,A2D,BB1共面且不平行,所以A2D,BB1必相交于一點(diǎn)P,連接PF,又因?yàn)镻∈面DFE,P∈面BB1C1C,所以PF是面BB1C1C與面DFE的公共棱.

因?yàn)镋G⊥PF,所以當(dāng)FG⊥PF時(shí)必有EF⊥PF(或者EF⊥PF時(shí)必有FG⊥PF),此時(shí)∠EFG就是面BB1C1C與面DFE所成的平面角.下面通過(guò)FG⊥PF來(lái)確定點(diǎn)P的具體位置,從而再確定點(diǎn)D位置[3].

在Rt△FCG中,FG2=2,在Rt△PBG中,PG2=1+(2+B1P)2,在Rt△PSF中,PF2=4+(1+B1P)2,在Rt△PFG中,PG2=FG2+PF2,解得B1P=1.

4 教學(xué)啟示

高考題以解答對(duì)得滿分為原則,但教學(xué)卻應(yīng)該以學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展為目的.回顧兩立體幾何高考題常規(guī)方法的解答過(guò)程,無(wú)疑給我們數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)一些啟示.

4.1 研讀數(shù)學(xué)教材永遠(yuǎn)都不過(guò)時(shí)

數(shù)學(xué)教材是師生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的藍(lán)本,大多數(shù)知識(shí)都是顯性呈現(xiàn)的,但也有相當(dāng)一部分知識(shí)是隱性呈現(xiàn)的,需要師生一起去努力挖掘找出來(lái),雖然說(shuō)“師傅領(lǐng)進(jìn)門,修行靠自身”,但數(shù)學(xué)教師的引領(lǐng)和示范作用絕對(duì)是不能缺失的,因?yàn)椤耙粋€(gè)專心備課的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不復(fù)雜的題目,去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面,使得通過(guò)這道題,就好像通過(guò)一道門戶,把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”(波利亞).上述兩高考題的命題者連續(xù)兩年提醒教師,要重視教材知識(shí)發(fā)生的核心要義,即知識(shí)的內(nèi)涵與外延,這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中,要通過(guò)同伴互助、教研組協(xié)作、專家引領(lǐng)等各種方式認(rèn)真研讀數(shù)學(xué)教材.

4.2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要跳出題海研究問(wèn)題的規(guī)律性

茫茫題海扼殺了一大批優(yōu)秀學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維發(fā)展,使他們?nèi)鄙倭擞米约邯?dú)特的解題眼光去解題的機(jī)會(huì),十分不利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的獲得.對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,不同水平的學(xué)生會(huì)有不同的解題方法,最好的方法肯定是明了問(wèn)題本質(zhì)、掌握問(wèn)題規(guī)律的獨(dú)特方法,但現(xiàn)在學(xué)生囿于刷題,無(wú)暇思考,缺少了探究問(wèn)題間存在聯(lián)系的能力,也就缺少了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題背后所隱藏某種規(guī)律的機(jī)會(huì).數(shù)學(xué)的最大魅力就是變化之中往往含有不變性,這才應(yīng)該是師生著重探究的.