黃澤欽,潘 晴,田妮莉

(廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院,廣東 廣州 510006)

1 引言

目前大多數(shù)高分辨率波達(dá)方向估計(jì)(DOA)方法,如多重信號(hào)分類(MUSIC)[1],旋轉(zhuǎn)不變子空間算法(ESPRIT)[2],方向估計(jì)算法(MODE)[3],和主奇向量模態(tài)分析算法(PUMA)[4]等,都是以已知信源個(gè)數(shù)為前提的。而信息論中經(jīng)典的Akaike最小信息準(zhǔn)則(AIC)[5]與最小描述長(zhǎng)度(MDL)準(zhǔn)則[6]具有良好的信源個(gè)數(shù)估計(jì)性能,至今都受到廣泛的關(guān)注。

L Huang等人[7,8]利用目標(biāo)信號(hào)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)可以更快速更精確地劃分信號(hào)和噪聲兩個(gè)正交分量,提高了MDL準(zhǔn)則的計(jì)算效率,也改善了在低信噪比和小快拍數(shù)下的估計(jì)性能。Boaz Nadler[9]則針對(duì)信息論準(zhǔn)則中的非參數(shù)設(shè)置問(wèn)題,利用隨機(jī)矩陣?yán)碚搶?duì)AIC準(zhǔn)則的懲罰項(xiàng)進(jìn)行改進(jìn),顯著提高了AIC準(zhǔn)則在低信噪比下的估計(jì)性能。L Huang和H.C.So[10]研究了噪聲子空間的單位協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)了一種基于線性收縮結(jié)構(gòu)的MDL準(zhǔn)則,用以降低MDL準(zhǔn)則在低信噪比和小快拍數(shù)下的錯(cuò)誤檢測(cè)概率。M Wax等[11,12]則對(duì)改善MDL準(zhǔn)則在相干信源數(shù)目的估計(jì)性能進(jìn)行了研究。然而,以上對(duì)基于AIC和MDL準(zhǔn)則的信源個(gè)數(shù)估計(jì)方法的研究均是在高斯白噪聲這種理想的假設(shè)條件下[13],而實(shí)際環(huán)境中普遍存在的色噪聲會(huì)對(duì)天線接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣產(chǎn)生較大的干擾,從而影響最終的估計(jì)效果[14]。為了改善色噪聲條件下的信源個(gè)數(shù)估計(jì)性能,Calson等人[15,16]提出了結(jié)合對(duì)角加載技術(shù)與信息論準(zhǔn)則的方法,引入加載量來(lái)平滑色噪聲對(duì)特征值的破壞,但缺點(diǎn)是它的最優(yōu)加載值難以確定。L Huang等[17]利用最小均方誤差(MMSEs)來(lái)代替MDL準(zhǔn)則中被色噪聲干擾的特征值,但該方法需要較大的快拍數(shù)和較高的信噪比。許佳奇等人[18]和褚鼎立[19]等人則利用蓋氏半徑與噪聲模型無(wú)關(guān)的特點(diǎn)[20],將MDL準(zhǔn)則和AIC準(zhǔn)則分別與蓋氏半徑(GDE)準(zhǔn)則結(jié)合,但GDE準(zhǔn)則本身具有估計(jì)自由度降低的缺點(diǎn)。

為了更好地解決色噪聲條件下的信源個(gè)數(shù)估計(jì)問(wèn)題,Nasakuditi和Silverstein[21]利用估計(jì)的陣列天線接收到的純?cè)肼晿颖緟f(xié)方差矩陣設(shè)計(jì)出白化濾波器矩陣,對(duì)實(shí)際接收信號(hào)樣本的協(xié)方差矩陣進(jìn)行白化變換,以減輕色噪聲對(duì)特征值的發(fā)散影響,但該白化濾波器的構(gòu)造需要較大的快拍數(shù)。Diaz-Santos 和Wage[22-24]結(jié)合主模式抑制(Dominant Mode Rejection,DMR)技術(shù)設(shè)計(jì)DMR白化濾波器(DMR-WF),并證明了這種新型白化濾波器的最大噪聲特征值的概率密度函數(shù)具有Tracy-Widom分布[25]的特點(diǎn),并驗(yàn)證了DMR-WF的獲得無(wú)需較大的快拍數(shù)。但是,文獻(xiàn)中并沒(méi)有對(duì)DMR-WF對(duì)信源數(shù)個(gè)數(shù)估計(jì)性能的改善進(jìn)行更深入的分析。綜合考慮DMR-WF能夠在較小快拍數(shù)的條件下完成對(duì)色噪聲白化的特點(diǎn),而基于信息論中的AIC和MDL準(zhǔn)則的信源個(gè)數(shù)估計(jì)又只能在白噪聲下進(jìn)行的局限性,本文提出了一種色噪聲下基于DMR-WF與信息論準(zhǔn)則結(jié)合的信源數(shù)估計(jì)方法,并對(duì)DMR-WF傳統(tǒng)的基于AIC和MDL準(zhǔn)則的信源數(shù)個(gè)數(shù)估計(jì)性能的改善做了進(jìn)一步的分析。算法框圖如圖1所示。與傳統(tǒng)信息論算法不同的是,該方法在特征值分解之前,利用純?cè)肼晿颖緟f(xié)方差矩陣構(gòu)造出來(lái)的DMR-WF矩陣對(duì)含有色噪聲信號(hào)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行白化變換,以減輕因色噪聲造成的特征值發(fā)散的影響,實(shí)現(xiàn)信號(hào)和噪聲特征值的有效分離。最后利用AIC和MDL準(zhǔn)則對(duì)信源個(gè)數(shù)進(jìn)行估計(jì),得出信源個(gè)數(shù)。

圖1 算法框圖

2 信源個(gè)數(shù)估計(jì)算法

2.1 信號(hào)模型與信息論準(zhǔn)則

假設(shè)由M個(gè)天線傳感器組成的ULA(M-ULA)觀測(cè)到K個(gè)不相干的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào){s1(t),s2(t),…,sk(t)}以不同的方向{θ1,θ2…,θk}入射到陣列中,其中K未知,且滿足K

x(t)=As(t)+n(t)

(1)

(2)

(3)

式(3)中,λi和ui分別為的特征值和對(duì)應(yīng)的特征矢量。將得到的λi利用信息論準(zhǔn)則(AIC、MDL)獲得信源個(gè)數(shù)的估計(jì)值。其中AIC和MDL準(zhǔn)則的具體表達(dá)式為:

(4)

(5)

遍歷k=1,2,…,M-1,信源個(gè)數(shù)k0的取值為:

(6)

(7)

2.2 DMR白化濾波器

白化濾波器[21]的設(shè)計(jì)是利用ULA接收到的純?cè)肼晿颖緟f(xié)方差矩陣構(gòu)造出來(lái)的。在沒(méi)有信號(hào)的情況下,即s(t)=0時(shí),陣列的接收信號(hào)矢量為純?cè)肼暿噶?即x(t)=n(t),由式(2)可得到純?cè)肼晿颖緟f(xié)方差矩陣為n。設(shè)計(jì)DMR白化濾波器,則需要將n特征分解后分為兩部分:色噪聲部分和白噪聲部分,其中色噪聲部分由大特征值組成,白噪聲部分由小特征值組成。假設(shè)色噪聲子空間的秩為Q[22],則n變?yōu)?/p>

(8)

上式中,gi,gj和ei,ej分別為色噪聲和白噪聲的特征值以及對(duì)應(yīng)的特征矢量。其中小特征值gj的平均值由式(9)給出:

(9)

(10)

然后利用得到的WDMR對(duì)式(2)中的進(jìn)行白化變換,得到變換后的信號(hào)協(xié)方差矩陣DMR：

(11)

3 仿真驗(yàn)證與性能分析

3.1 兩種背景下的特征值分布和信源數(shù)估計(jì)結(jié)果比較

實(shí)驗(yàn)1:針對(duì)背景為色噪聲以及DMR白化濾波后的特征值分布以及信源數(shù)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行了研究。不失一般性,假定陣元數(shù)M分別為4,5,6,信源個(gè)數(shù)K分別為1,2,4。固定信噪比SNR=10dB,快拍數(shù)L=200。任意3次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如表1所示。

表1 兩種背景下協(xié)方差矩陣特征分解后的特征值分布及信源數(shù)估計(jì)結(jié)果

分析:由表1可看出,色噪聲背景下的特征值存在發(fā)散現(xiàn)象,最終都導(dǎo)致AIC和MDL準(zhǔn)則過(guò)估計(jì)。而DMR白化濾波器可有效抑制色噪聲對(duì)特征值的發(fā)散影響,使得噪聲特征值約等于1:λDMR(k+1)≈…≈λDMR(M)≈1,而信號(hào)特征值大于1:λDMR(1)≥…≥λDMR(k)>1,此時(shí)再結(jié)合AIC和MDL準(zhǔn)則可以得到正確估計(jì)的信源個(gè)數(shù)。

3.2 色噪聲背景下基于DMR白化濾波的AIC和MDL準(zhǔn)則的估計(jì)性能

實(shí)驗(yàn)2:估計(jì)性能隨不同信噪比的變化

實(shí)驗(yàn)采用的ULA陣元個(gè)數(shù)為6,獨(dú)立信源個(gè)數(shù)為4,入射角分別為15°,35°,50°和70°,噪聲模型為色噪聲,固定采樣快拍數(shù)為200,信噪比SNR的變化范圍為[-20,20],步長(zhǎng)為2,對(duì)比AIC準(zhǔn)則、MDL準(zhǔn)則和基于白化濾波器的AIC準(zhǔn)則、MDL準(zhǔn)則(本文方法,記為WAIC、WMDL)以及文獻(xiàn)[19]的GDE-AIC準(zhǔn)則、文獻(xiàn)[18]的GDE-MDL準(zhǔn)則共六種算法的正確檢測(cè)概率隨SNR的變化情況。Monte Carlo實(shí)驗(yàn)10000次,仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 正確檢測(cè)概率隨信噪比SNR的變化

實(shí)驗(yàn)3:估計(jì)性能隨不同快拍數(shù)的變化

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械臈l件除了信噪比SNR=10dB,快拍數(shù)在10～100之間變化,步長(zhǎng)為5外,其它條件同實(shí)驗(yàn)2。Monte Carlo實(shí)驗(yàn)10000次,六種算法隨快拍數(shù)的變化如圖3所示。

圖3 正確檢測(cè)概率隨快拍數(shù)的變化

分析:實(shí)驗(yàn)2中六種算法隨SNR變化結(jié)果如圖2所示:當(dāng)噪聲背景為色噪聲時(shí),AIC準(zhǔn)則和MDL準(zhǔn)則的估計(jì)性能隨信噪比變化整體失效,而本文算法在SNR≥4dB時(shí),正確檢測(cè)概率可穩(wěn)定在100%,GDE-AIC算法比本文方法略差,GDE-MDL算法則在信噪比達(dá)到18dB時(shí)正確檢測(cè)概率才趨近于100%;實(shí)驗(yàn)3中六種算法隨快拍數(shù)變化結(jié)果如圖3所示:AIC、MDL準(zhǔn)則整體失效,GDE-AIC、GDE-MDL算法在L>50時(shí)估計(jì)性能隨快拍數(shù)的增加而增加,但整體表現(xiàn)較差,而本文方法在L≥30時(shí)正確檢測(cè)概率就已經(jīng)穩(wěn)定在99%以上,整體估計(jì)性能優(yōu)異。綜上所述,本文方法在色噪聲背景下能夠?qū)崿F(xiàn)信源個(gè)數(shù)估計(jì),且在低信噪比和小快拍數(shù)下相比于基于GDE算法表現(xiàn)更優(yōu)。

3.3 色噪聲和白噪聲并存的背景下基于DMR白化濾波的AIC和MDL準(zhǔn)則的估計(jì)性能

實(shí)驗(yàn)4:估計(jì)性能隨不同信噪比的變化

實(shí)驗(yàn)采用的ULA陣元個(gè)數(shù)為6,獨(dú)立信源個(gè)數(shù)為4,入射角分別為15°,35°,50°和70°,噪聲模型為色噪聲加白噪聲的混合噪聲,快拍數(shù)固定為200快拍,信噪比SNR以步長(zhǎng)為2在范圍為[-20,20]之間變化。同樣對(duì)實(shí)驗(yàn)2中六種算法的估計(jì)性能隨SNR變化進(jìn)行了研究。Monte Carlo實(shí)驗(yàn)10000次,仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 正確檢測(cè)概率隨信噪比SNR的變化

實(shí)驗(yàn)5:估計(jì)性能隨不同快拍數(shù)的變化

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械臈l件除了信噪比SNR=10dB,快拍數(shù)以步長(zhǎng)為5在10～100之間變化外,其它條件同實(shí)驗(yàn)4。Monte Carlo實(shí)驗(yàn)10000次,六種算法隨快拍數(shù)的變化如圖5所示。

圖5 正確檢測(cè)概率隨快拍數(shù)的變化

分析:實(shí)驗(yàn)4中六種算法隨SNR變化結(jié)果如圖4所示:當(dāng)色噪聲和白噪聲并存時(shí),AIC和MDL準(zhǔn)則同樣整體失效,GDE-AIC和GDE-MDL算法正確檢測(cè)概率最高只達(dá)到90%,而本文方法最高為100%;實(shí)驗(yàn)5中六種算法隨快拍數(shù)變化結(jié)果如圖5所示:AIC和MDL準(zhǔn)則依舊整體失效,GDE-AIC、GDE-MDL算法正確檢測(cè)概率最高同樣為90%左右,而本文方法在L=30時(shí)正確檢測(cè)概率已經(jīng)接近100%。綜上可知,當(dāng)兩種噪聲并存時(shí),本文方法仍然有效,且相同情況下性能的改進(jìn)明顯優(yōu)于基于GDE算法。

4 結(jié)論

本文針對(duì)信息論準(zhǔn)則在色噪聲下的信源個(gè)數(shù)估計(jì)性能失效問(wèn)題,提出了將AIC和MDL準(zhǔn)則分別與DMR-WF相結(jié)合的信源個(gè)數(shù)估計(jì)方法。該方法首先由陣列天線的純?cè)肼晿颖緟f(xié)方差矩陣結(jié)合主模式抑制技術(shù)構(gòu)造出DMR-WF矩陣,利用DMR-WF可以白化色噪聲的特點(diǎn),將DMR-WF對(duì)包含色噪聲信號(hào)的樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行白化變換,實(shí)現(xiàn)信號(hào)和噪聲特征值分離,進(jìn)而利用AIC和MDL準(zhǔn)則精確估計(jì)出信源個(gè)數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:1)在色噪聲下,特征值存在發(fā)散現(xiàn)象,傳統(tǒng)的AIC和MDL準(zhǔn)則表現(xiàn)為過(guò)估計(jì),本文算法通過(guò)加入DMR-WF后,可準(zhǔn)確估計(jì)出信源個(gè)數(shù)。2)色噪聲條件下,本文所提方法在SNR大于等于4dB或快拍數(shù)大于30時(shí),信源個(gè)數(shù)正確檢測(cè)概率即可達(dá)到100%,估計(jì)性能明顯優(yōu)于基于GDE的算法。3)當(dāng)色噪聲與白噪聲并存時(shí),本文所提方法依然能夠?qū)崿F(xiàn)信源個(gè)數(shù)的估計(jì),進(jìn)一步提高了信息論準(zhǔn)則的適用范圍。