武捷

摘 ? 要：站在兒童的視角用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)信息是大數(shù)據(jù)時(shí)代全面發(fā)展的人所需要的重要素養(yǎng)之一。學(xué)會(huì)從數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性的角度分析、表達(dá)真實(shí)的數(shù)學(xué)世界是育人導(dǎo)向的需求。由蘇教版五年級(jí)下的一道習(xí)題的辨析展開，分析和發(fā)展學(xué)生多重信息的解碼路徑。通過緊扣生長點(diǎn)，豐富數(shù)學(xué)表達(dá)之路徑；拓寬閱讀空間，延展數(shù)學(xué)信息獲取之渠道；明晰分層優(yōu)化，滲透數(shù)學(xué)思想方法三個(gè)方面幫助學(xué)生建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、數(shù)據(jù)意識(shí)，明晰思維的路徑。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)信息；圖形語言；關(guān)聯(lián)視角

中圖分類號(hào)：G623.5 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? 文章編號(hào)：1009-010X（2023）16-0019-04

堅(jiān)守兒童的立場，用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)信息，這是大數(shù)據(jù)環(huán)境下，全面發(fā)展的人所需具備的重要素養(yǎng)之一?！罢劬€”作為表達(dá)信息一種表征方式，背后蘊(yùn)藏著豐富而多維的信息視角，學(xué)會(huì)從數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性的角度分析、表達(dá)真實(shí)的數(shù)學(xué)世界是育人導(dǎo)向的需求。小學(xué)的統(tǒng)計(jì)圖、運(yùn)行圖等都包含著濃濃的數(shù)據(jù)變化中的規(guī)律，信息的表達(dá)多元而簡明，借由“折線”展開的深入思考，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)表達(dá)的重要渠道之一。

小學(xué)多版本教材在第三學(xué)段都不約而同地安排了有關(guān)“折線”的教學(xué)，折線不僅僅是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的表征形式，更是表達(dá)事物發(fā)展規(guī)律的有利途徑，用思辨的角度縱觀“折線”教學(xué)，以兒童的視角審視，折線的背后還藏著哪些神秘？由蘇教版五年級(jí)下冊整理與復(fù)習(xí)版塊的一道練習(xí)題（圖1）想起，從辨明問題本質(zhì)的關(guān)聯(lián)中思考兒童信息編碼的路徑。

習(xí)題位于五下總復(fù)習(xí)版塊應(yīng)用廣角部分，也是全冊教材的最后一道習(xí)題，在教學(xué)中學(xué)生和教師都存在疑問：這個(gè)內(nèi)容屬于哪個(gè)領(lǐng)域？對應(yīng)的知識(shí)框架是什么？是折線統(tǒng)計(jì)圖嗎？關(guān)于這個(gè)問題的理解呈現(xiàn)出差異性。一方面認(rèn)為：從本冊內(nèi)容整體性上觀察分析，與本練習(xí)知識(shí)上有關(guān)聯(lián)的僅可能是折線統(tǒng)計(jì)圖，但細(xì)細(xì)分析本題的內(nèi)容實(shí)質(zhì)體現(xiàn)的與統(tǒng)計(jì)還有較大差異。經(jīng)過比對蘇教版十二冊教材內(nèi)容，此處之外教材中再?zèng)]有出現(xiàn)類似的問題，六年級(jí)“正比例的圖象”一課時(shí)中出現(xiàn)了與行程、高度等相關(guān)的圖象問題，但相關(guān)聯(lián)的量都呈現(xiàn)了單一的成正比的關(guān)系，沒有出現(xiàn)更復(fù)雜的變化。直到六年級(jí)下冊總復(fù)習(xí)也未曾出現(xiàn)過與本題相似的問題，那么與此相關(guān)的信息處理到底應(yīng)對接到哪個(gè)內(nèi)容板塊才更為合適？在教學(xué)中，以這道題為索引的一類問題學(xué)生在反饋中表現(xiàn)出較多困難，“折線”所表示的具體含義解讀不順暢，如何突破當(dāng)下的現(xiàn)狀？

一、明晰：厘清內(nèi)容實(shí)質(zhì)的階段性與差異性

蘇教版數(shù)學(xué)在“統(tǒng)計(jì)與概率”版塊從四年級(jí)開始安排了統(tǒng)計(jì)圖表的正式學(xué)習(xí)，重點(diǎn)圍繞條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖三大類型展開研究。除此之外，在六年級(jí)下學(xué)期開始了正比例的探討，其中包括了正比例圖象的學(xué)習(xí)。要定位好本題的內(nèi)容、作用和價(jià)值，需要將小學(xué)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行整體性的思考。

在核心素養(yǎng)導(dǎo)向的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求下，從整體性、一致性、階段性的視角出發(fā)，將內(nèi)容前后可能相關(guān)聯(lián)的知識(shí)進(jìn)行比較、明晰差異（表）。

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，利用統(tǒng)計(jì)圖形表現(xiàn)統(tǒng)計(jì)資料，能夠體現(xiàn)簡明生動(dòng)、形象具體等特點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)圖能很清晰地表示現(xiàn)象間的對比、依存關(guān)系，反映空間上的分布情況。借助直角坐標(biāo)系來表達(dá)量的變化情況是其中的一種形式。

小學(xué)階段研究的正比例是量的伴隨性變化中的初始模型，也是相關(guān)數(shù)學(xué)思想的滲透，正比例形成的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線。案例中表達(dá)的信息是統(tǒng)計(jì)圖還是更復(fù)雜的量的變化關(guān)系？有必要進(jìn)行深入地思考與研究。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“折線統(tǒng)計(jì)圖和比例圖象”相關(guān)內(nèi)容的不同要求

折線統(tǒng)計(jì)圖與正比例圖象有一定的相似性：兩者都是線形圖，雖然對應(yīng)的內(nèi)容本質(zhì)不同，但外顯的形式很相似，容易產(chǎn)生混淆。此外，兩者都可以表示兩個(gè)變量間的對應(yīng)關(guān)系，在動(dòng)態(tài)的折線統(tǒng)計(jì)圖中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與對應(yīng)時(shí)間會(huì)產(chǎn)生變化的對應(yīng)關(guān)系。成正比例的兩個(gè)量也會(huì)因一個(gè)量變化導(dǎo)致另一個(gè)量隨之發(fā)生變化。

折線統(tǒng)計(jì)圖與正比例圖象也有著顯著的差異性：兩者屬于不同領(lǐng)域的知識(shí)，折線統(tǒng)計(jì)圖屬于統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域知識(shí)，通過將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化進(jìn)行描點(diǎn)連線，以此判斷數(shù)據(jù)變化的趨勢；正比例圖象屬于代數(shù)領(lǐng)域，它形成的圖象直觀地表示量的變化過程，便于解決問題。

上述的關(guān)系在日常教學(xué)過程中，師生們會(huì)形成一種個(gè)人的體驗(yàn)和感悟，比較容易產(chǎn)生疑義的是兩者根本上的差異。比例圖象上的每一個(gè)點(diǎn)都有確定的意義，它表示著一組對應(yīng)的取值，因此比例圖象所表達(dá)出的是連續(xù)量之間的關(guān)系。而折線統(tǒng)計(jì)圖則不然，統(tǒng)計(jì)圖上只有數(shù)據(jù)調(diào)查得到的點(diǎn)才是真實(shí)存在的，這些點(diǎn)表示統(tǒng)計(jì)對象的真實(shí)取值；而中間連線上的點(diǎn)不一定表示統(tǒng)計(jì)對象的真實(shí)數(shù)據(jù)，在兩個(gè)時(shí)刻之間沒有任何調(diào)查的支持，它只是一種模擬的、可能的數(shù)據(jù)。因此，雖然數(shù)據(jù)實(shí)際也是連續(xù)的，例如每隔一段時(shí)間測量體溫，溫度本身是連續(xù)存在的，但統(tǒng)計(jì)得到的數(shù)據(jù)有時(shí)間間隔，因此它是離散的，折線統(tǒng)計(jì)圖表面上看線段間是連續(xù)的，實(shí)際上是離散的，它只表示一種趨勢。

由此看來，案例中的問題表達(dá)的是一組連續(xù)量之間的關(guān)系，在小學(xué)階段展開表達(dá)式（數(shù)據(jù)）與圖象之間的切換，有助于體現(xiàn)數(shù)與形的緊密勾聯(lián)，以運(yùn)動(dòng)的視角研究量之間的關(guān)聯(lián)變化。

二、關(guān)聯(lián)：結(jié)構(gòu)化視角下多版本的整體關(guān)照

實(shí)際上，將連續(xù)的量借由圖象來描述數(shù)據(jù)變化，在各個(gè)版本教材中都或多或少關(guān)注到。人教版六年級(jí)上冊的數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形中安排一道行程問題的練習(xí)題（圖2），雖然它與蘇教版都是借助習(xí)題的形式呈現(xiàn)了此類問題模型，但對應(yīng)的知識(shí)維度和能力維度不完全相同。浙教版和北師大版安排了專門的例題學(xué)習(xí)，浙教版在五年級(jí)下冊安排了“運(yùn)行圖”（圖3），北師大版在六年級(jí)上冊的“數(shù)學(xué)好玩”版塊編排了汽車行駛速度情境和足球場內(nèi)的聲音情境，展開了更為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)研究。

圖2

學(xué)生需要以動(dòng)態(tài)的視角，關(guān)聯(lián)數(shù)與形間的切換，打開數(shù)學(xué)思維的通道，將數(shù)據(jù)的理解與生活現(xiàn)實(shí)聯(lián)結(jié)，這需要教師有意識(shí)地挖掘素材、啟發(fā)思路。

三、路徑：促進(jìn)數(shù)學(xué)信息的雙向解碼，誘發(fā)思辨、積淀素養(yǎng)

大數(shù)據(jù)時(shí)代，讀懂、讀透數(shù)據(jù)背后的含義是學(xué)生素養(yǎng)生長所需要具有的重要能力。將數(shù)據(jù)的精確性與圖形的直觀性深度融合，有利于學(xué)生簡化思維邏輯、發(fā)現(xiàn)和揭示問題的本質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，有助于發(fā)展幾何直觀、數(shù)據(jù)意識(shí)，明晰思維的路徑，探索解決問題的思路。

（一）緊扣生長點(diǎn)，豐富數(shù)學(xué)表達(dá)之路徑

在當(dāng)下的教學(xué)中教師要關(guān)注學(xué)生的多元表征，豐富外顯思維表達(dá)的路徑，接下來的實(shí)踐探究中，教師可以適應(yīng)真實(shí)情境和社會(huì)發(fā)展，擴(kuò)充數(shù)學(xué)表達(dá)的多維觸角，抓住知識(shí)的生長空間。將事物發(fā)展過程中兩個(gè)伴隨量的變化用圖表動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)出來是數(shù)學(xué)表達(dá)的一種形式，以線段圖作為發(fā)展的基石，讓學(xué)生在具體問題中體會(huì)量之間的變化規(guī)律，進(jìn)而借助常見的生活話題，例如上學(xué)、放學(xué)等情境，感受路程不變、交通方式的不同帶來的時(shí)間、速度的變化，理解線段背后的具體含義，逐步養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說話→觀數(shù)據(jù)變化→話事物規(guī)律這一習(xí)慣與能力，在不同模塊的知識(shí)學(xué)習(xí)中感悟思想和方法的滲透，將問題解決、思維拓展和進(jìn)階學(xué)習(xí)有效融通。

（二）拓寬閱讀空間，延展數(shù)學(xué)信息獲取之渠道

數(shù)學(xué)信息的獲取能力與數(shù)學(xué)閱讀能力存在較高關(guān)聯(lián)性，學(xué)生缺乏對信息的提取、對文本的加工能力，不能將信息轉(zhuǎn)換為自己可以理解的思維邏輯，這些都將影響他們數(shù)學(xué)閱讀能力的提升。案例中將數(shù)據(jù)信息蘊(yùn)藏在線段表征下的變化過程當(dāng)中，需要學(xué)生主動(dòng)形成解讀信息的意識(shí)，并與生活現(xiàn)實(shí)產(chǎn)生對應(yīng)關(guān)照。要想發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)閱讀能力，教師可以有意識(shí)地給學(xué)生提供形式豐富的素材，例如文本語段、表格信息、對話場景等，于文字語言、符號(hào)語言、圖示語言不同形式的表達(dá)中抽取關(guān)鍵要素，進(jìn)行有意義的理解，正如加涅的信息加工學(xué)習(xí)理論所描述的“選擇性知覺”，學(xué)生的識(shí)碼過程需要有經(jīng)驗(yàn)的卷入和深度的知覺。綜上，面對生活中多種類、多維度的信息，學(xué)生需要在大視界的閱讀空間下，建構(gòu)自我的創(chuàng)造性理解。

（三）明晰分層優(yōu)化，滲透數(shù)學(xué)思想方法之根本

教師要在教學(xué)中努力地實(shí)現(xiàn)“問題解決”，而不是“解決問題”，正視學(xué)生的差異性發(fā)展，在此基礎(chǔ)上將數(shù)學(xué)思想潛在的價(jià)值不同程度地挖掘出來，設(shè)計(jì)不同層次的拓展話題，促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化的成長。在形與數(shù)的切換過程中拓寬對“形”外延的認(rèn)識(shí)，從靜態(tài)圖到運(yùn)行圖，從量的一維表達(dá)到多個(gè)量的關(guān)聯(lián)發(fā)展，再到由圖發(fā)展而來的對信息、事件的猜測、推理，這中間層層遞進(jìn)。教學(xué)組織中教師可以設(shè)計(jì)更多開放空間的話題，讓不同層次的學(xué)生都能參與其中，以學(xué)業(yè)質(zhì)量的要求為核心，進(jìn)行問題的解決和探究。例如可以對圖4話題進(jìn)行改編，直接借由讀圖來獲取信息，增加變化過程的真實(shí)性和故事性，對不同層次的學(xué)生提出不同的要求。水平一的學(xué)生可以看圖描述每一段所表達(dá)的含義；水平二的學(xué)生根據(jù)信息解決速度相關(guān)的實(shí)際問題；水平三的學(xué)生根據(jù)圖上信息，編寫A同學(xué)這一路發(fā)生的故事，也可以要求學(xué)生仿照這樣的形式，表達(dá)一組自己身邊關(guān)聯(lián)量的變化過程，例如一場運(yùn)動(dòng)會(huì)上自己體溫的變化情況等，觀察從圖中讀出哪一段在正式比賽、哪一段在看比賽、推測看比賽時(shí)為什么體溫有波動(dòng)等實(shí)際問題，逐步培養(yǎng)用圖來說話的能力。這樣的安排，能力的維度從單點(diǎn)結(jié)構(gòu)走向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，對數(shù)據(jù)分析、幾何直觀、推理意識(shí)素養(yǎng)的逐步提升都很有幫助。

圖4 ?路程與時(shí)間關(guān)系的運(yùn)行圖

數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察自我的數(shù)學(xué)成長，用數(shù)學(xué)的思維認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。以思辨的內(nèi)容、開放的問題作為學(xué)生高階思維的發(fā)展路徑。

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