【摘 要】 問題解決需要有關(guān)聯(lián)的視角，關(guān)聯(lián)一道題的多種解法尋覓其一致性，關(guān)聯(lián)一類題的相同解法尋找其通性通法，再基于一致性與通性通法追本溯源攫取本質(zhì).軸對稱的本質(zhì)是對稱軸上任意一點到對稱點的距離相等，基于這一本質(zhì)解決問題，建構(gòu)知識體系，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維，提升直觀想象與邏輯推理的能力.

【關(guān)鍵詞】 角平分線；軸對稱；本質(zhì)；關(guān)聯(lián)

1 提出問題

軸對稱的本質(zhì)是什么？回到軸對稱的定義——把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點（Symmetric Points）.改變對稱軸，兩個圖形仍舊重合.全等是基于重合所得，與變換要素對稱軸沒有關(guān)系，因此全等不是軸對稱的本質(zhì).

如何作對稱軸？比如，作角的對稱軸，先作一對對稱點，再作一個到對稱點距離相等的點，連接角的頂點與這個點即可得到對稱軸.其本質(zhì)就是先構(gòu)造對稱點，再構(gòu)造到對稱點距離相等的兩點，這兩點都在對稱軸上，根據(jù)兩點確定一條直線得到對稱軸.

如何作一個圖形的軸對稱圖形？作軸對稱圖形皆可化歸作對稱點，如何作對稱點？方法如下：

三種方法均充分體現(xiàn)了對稱軸上任意一點到對稱點的距離相等，這就是軸對稱的本質(zhì).因此，軸對稱圖形需作出對稱軸，才能體現(xiàn)軸對稱的本質(zhì)，同時對稱軸只有構(gòu)造出對稱點才有價值.下面基于本質(zhì)解決系列問題. 圖1

2 解決問題

問題1 如圖1，OC平分∠AOB，∠OAC＋∠CBO＝180°.求證：AC＝BC.

分析條件

條件關(guān)聯(lián)的方向

角平分線

直接應用兩角相等

構(gòu)造軸對稱圖形（軸對稱），

構(gòu)造對稱點得軸對稱圖形

間接應用，將等角轉(zhuǎn)化，

即用平行、旋轉(zhuǎn)或弧進行轉(zhuǎn)化等角關(guān)系

將兩個等角關(guān)系轉(zhuǎn)化成新的等角關(guān)系，構(gòu)成新的軸對稱圖形

∠OAC＋∠CBO＝180°

圖中互補角

等角的補角相等、四點共圓

等角、等弧、等圓心角

分析問題

證明兩條線段相等的方法：全等、等角對等邊、等弧或等圓心角所對的弦相等.

證明兩條線段相等的策略：直接證明或間接證明（等量代換）.

思路方法

方法一：如圖2，構(gòu)造OA′＝OA→△AOC≌△A′OC→AC＝A′C，BC＝A′C→AC＝BC.

方法二：如圖2，構(gòu)造OB′＝OB→△BOC≌△B′OC→BC＝B′C，AC＝B′C→AC＝BC.

方法三：如圖2，構(gòu)造CH⊥OA、CH′⊥OB→CH＝CH′→△ACH≌△BCH′→AC＝BC.方法四：如圖2，構(gòu)造CD＝OC→等腰三角形△COD→△OAC≌△DBC→AC＝BC.

方法五：如圖3，構(gòu)造四邊形AOBC的外接圓→∠APC＝∠BPC→AC＝BC.

反思提煉

首先，角平分線是什么？角平分線所在的直線是角的對稱軸，有對稱軸就要構(gòu)造對稱點，得到軸對稱圖形，再基于軸對稱的性質(zhì)解決問題.其次，如何證明兩條線段相等？把兩條線段分別放在一對全等三角形中，利用全等三角形對應邊相等；放在一個三角形中，利用等角對等邊；放在一個圓中，通過等圓心角或等弧證等弦.最后，再思考是否可以直接證明，若不能，應進行等量代換.角的關(guān)系如何轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系？通過本題可以利用軸對稱全等將等角關(guān)系轉(zhuǎn)化為等邊關(guān)系，或?qū)蓚€等角轉(zhuǎn)化成新的等角關(guān)系，比如通過旋轉(zhuǎn)得到等腰三角形、通過平行轉(zhuǎn)角得到等腰三角形、通過等弧轉(zhuǎn)角得到等圓心角. 圖4

問題2 如圖4，已知點A，B，C，D在⊙O上，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，AB＝3，AC＝5.求AD的長度.

分析條件

（1）AD平分∠BAC→∠BAD＝∠CAD→∠BOD＝∠COD→BD＝CD；

（2）四邊形ABDC是⊙O的內(nèi)接四邊形→∠ABD＋∠ACD＝180°→問題1→BD＝CD；

（3）△ABC確定→BC確定、⊙O半徑確定、△ABD、△ADC確定.

分析問題

如何求弦長？將AD放在一個確定的三角形中，即此三角形可解.特殊的方法就是將AD放在一個直角三角形中，這個直角三角形可解.

思路方法

方法一：如圖5，構(gòu)造AB′＝AB→△ABD≌△AB′D→等腰△DB′C→作DH⊥AC于點H，AH＝AB＋AC[]2＝4→AD＝AH[]cos∠DAH＝4[]cos30°＝83[]3[SX）].

方法二：如圖6，構(gòu)造AC′＝AC→△ADC′≌△ADC→等腰△DBC′→作DH⊥AC′于點H，AH＝4→AD＝83[]3[SX）].

方法三：如圖7，構(gòu)造DH⊥AC，DH′⊥AB→△ADH≌△ADH′→CH＝1→AH＝4→AD＝83[]3[SX）].方法四：如圖8，構(gòu)造CE＝AB→△ABD≌△ECD→等腰△ADE→作DH⊥AC于點H，AH＝4→AD＝83[]3[SX）].

方法五：如圖9，連接BC，OD得OD⊥BC→△ABC確定→BC確定→CE確定→DC確定→△ADC確定.

反思提煉

如何回歸源頭、遷移經(jīng)驗？本問題的解決關(guān)鍵在于回歸源頭，思考角平分線的本質(zhì)，基于等角直接構(gòu)造軸對稱圖形或間接構(gòu)造軸對稱圖形，與問題1如出一轍，圓周角角平分線價值何在？基于弧進行轉(zhuǎn)化，圓周角角平分線可得等弧、等圓心角、等弦，進而構(gòu)造出垂徑定理的基本圖形.如何求弦長？首先把弦放在三角形中，利用勾股定理、相似、面積等方法解三角形，如果不可解，就要讓三角形與其它確定的三角形建立相似的關(guān)系.

問題3 如圖10，已知點A，B，C，D在⊙O上，AC為直徑，AD平分∠BAC，AB＝3，AC＝5.求AD的長度.

分析條件

1.角平分線——直接構(gòu)造軸對稱圖形；轉(zhuǎn)化等角構(gòu)造軸對稱圖形，如等腰三角形.

2.⊙O的直徑AC=5→⊙O為定圓、AB=3→∠BAC確定、圓心O到AB的距離確定、BC的長確定、∠ABC＝90°→∠BAD，∠CAD，∠CBD，∠BCD確定→△BCD確定→DC確定→AD確定.

分析問題

將線段AD放在一個直角三角形中，且這個直角三角形要有兩個元素確定，至少有一邊.

思路方法

方法一：如圖11，構(gòu)造AB′＝AB→△ABD≌△AB′D→等腰△DB′C→作DH⊥AC于點H，CH＝B′H＝1，AH＝4→DH＝2→AD＝25.

方法二：如圖12，延長CD，AB相交于點C′→等腰△ACC′→AC′＝AC＝5，BC′＝2→

CC′＝25→DC＝5→AD＝25.

方法三：如圖13，構(gòu)造DH⊥AC，DH′⊥AB→△ADH≌△ADH′→CH＝1，AH＝4→DH＝2→AD＝25.

方法四：如圖14，構(gòu)造CE＝AB→△ABD≌△ECD→AE＝AC＋CE＝8→作DH⊥AC于點H，CH＝1，AH＝4→DH＝2→AD＝25.

方法五：如圖15，連接OD→OD⊥BC→OE＝1.5，CE＝2，DE＝1→DC＝5→AD＝25.

方法六：如圖16，構(gòu)造OH⊥AB，DE⊥AC→AH＝1.5，OH＝2→Rt△ODE≌Rt△AOH→DE＝OH＝2，AE=4→AD＝25.

方法七：如圖17，構(gòu)造CF∥AB交AD的延長線于點F→＝AB[]CF＝3[]5，BC＝4→BE＝1.5，CE＝2.5→AE＝35[]2[SX）]，DE＝5[]2[SX）]→AD＝25.

反思提煉

首先，解法歸類.方法一、二、三都是源于角平分線——構(gòu)造軸對稱圖形（利用軸對稱性）；方法四、六、七都是源于角平分線——轉(zhuǎn)化為等腰三角形（利用軸對稱性）；方法五是源于角平分線——轉(zhuǎn)化為垂徑——構(gòu)造軸對稱圖形（利用軸對稱性）.歸根結(jié)底就是用好自身的軸對稱性，利用平行線、等弧將等角轉(zhuǎn)化到同一三角形中得到等腰三角形，再利用其軸對稱性解決問題.

其次，解法歸因.問題2是問題1的衍生，由對角互補構(gòu)造圓，利用圓的屬性解決問題，問題3是將問題2特殊化，因此3個問題的方法是存在共性的，每道題的多種解法又具有一致性，充分體現(xiàn)了軸對稱的本質(zhì).

最后，解法遷移.類比角平分線本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)及其應用，思考平移變換、中心對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換、縮放變換的本質(zhì)是什么及如何應用？其實是一以貫之的，回歸定義，緊扣變換要素挖掘本質(zhì)，比如有共端點的等線段這一條件，就具備了旋轉(zhuǎn)要素，端點就是旋轉(zhuǎn)中心，線段的夾角大小為旋轉(zhuǎn)角度，從而構(gòu)造旋轉(zhuǎn)對稱圖形.同樣有旋轉(zhuǎn)對稱圖形，再基于旋轉(zhuǎn)要素挖掘本質(zhì).3 教學思考

3.1 反思數(shù)學本質(zhì)，尋覓知識遷移的源頭

問題都有本質(zhì)，挖掘本質(zhì)方能想得自然，解得通透.挖掘本質(zhì)需要回到知識源頭，源頭就是其定義.通過角平分線系列問題的解決，不難發(fā)現(xiàn)角平分線的本質(zhì)：角平分線（對稱軸）上任意一點到對稱點的距離相等.一是基于角平分線直接構(gòu)造對稱點；二是間接應用等角，比如通過平行、旋轉(zhuǎn)將等角進行轉(zhuǎn)化，使得轉(zhuǎn)化后構(gòu)成新的等腰三角形；在圓中通過弧將兩個等圓周角轉(zhuǎn)化為兩個等圓心角，基于圓的定義形成等腰三角形，進而得到等腰三角形的三線合一.角平分線通常有三個用法：直接構(gòu)造軸對稱圖形；將一角進行轉(zhuǎn)化，使得轉(zhuǎn)化后的角與另一角相等，進而得到等腰三角形；將兩個等角都進行轉(zhuǎn)化，產(chǎn)生新的角平分線，再基于軸對稱解決問題.三種方法殊途同歸，都是化歸軸對稱圖形，這就是角平分線的本質(zhì).

3.2 反思教學過程，體會知識建構(gòu)的過程

角平分線教學采用螺旋上升的策略，先認識角平分線的定義，利用軸對稱全等體會角平分線的價值；再探索角平分線軸對稱性及其性質(zhì)；最后在等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正多邊形、圓等知識中反復滲透其軸對稱性，體現(xiàn)其本質(zhì) [1] .

第一階段：學習角平分線定義，一定要讓學生經(jīng)歷翻折的過程，初步感知軸對稱性，再得出角平分線的定義，切不可直接給出定義，學生就不能很好地體會其軸對稱性，也是為后面尺規(guī)作角平分線奠定基礎(chǔ).

第二階段：尺規(guī)作角平分線，進一步體會角平分線的本質(zhì)，基于軸對稱全等構(gòu)造角平分線，初步體會角平分線所在的直線是對稱軸，為后面學習角是軸對稱圖形奠定基礎(chǔ).

第三階段：角平分線的性質(zhì)探索，很多時候教學僅僅關(guān)注性質(zhì)，即角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等，在此會忽視其一般性，進而學生不能充分體會軸對稱性，也就是特殊性弱化了其軸對稱性，因此有必要在此進行一般化，體現(xiàn)軸對稱的本質(zhì)，就是角平分線上任意一點到角兩邊的任意一對對稱點的距離相等.

第四階段：用對稱的眼光看圖形，需要一以貫之的滲透，從等腰三角形到特殊平行四邊形再到圓，都需要用軸對稱的眼光去研究，比如菱形的對角線所在的直線就是菱形的對稱軸，矩形對邊中點的連線就是其對稱軸，因此在研究特殊平行四邊形時需要有軸對稱的眼光，就是將特殊平行四邊形都化歸等腰三角形；在圓的學習中要基于圓的定義，圓的所有的性質(zhì)皆是化歸等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)研究圓的性質(zhì).

整個知識建構(gòu)的過程中，從定義出發(fā)，反復滲透軸對稱的本質(zhì)，養(yǎng)成翻折的動態(tài)眼光，由角平分線建構(gòu)軸對稱圖形，或?qū)⒌冉沁M行轉(zhuǎn)化得到新的軸對稱圖形.這是一個反復滲透、不斷感知的過程.

3.3 反思關(guān)聯(lián)路徑，挖掘思想方法的生成

認識了角平分線的本質(zhì)及其知識建構(gòu)過程，還需要關(guān)聯(lián)角平分線去學習其它的軸對稱圖形.角是軸對稱圖形的一個代表，角平分線所在的直線就是角的對稱軸，角平分線上任意一點到角兩邊的任意一對對稱點的距離相等.緊扣對稱軸的本質(zhì)去研究線段、等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正多邊形、等腰梯形、圓等軸對稱圖形，即軸對稱圖形需要構(gòu)造出對稱軸，作角平分線或作對稱點的連線段的垂直平分線，有了對稱軸才能體現(xiàn)其軸對稱的性質(zhì).這種眼光與思維方式要貫穿在教學的所有環(huán)節(jié)中，養(yǎng)成用對稱的眼光看圖形，緊扣變換要素研究圖形，還必須關(guān)聯(lián)到其它對稱圖形，包括平移對稱、旋轉(zhuǎn)對稱、中心對稱、位似對稱等等.下面以軸對稱為例（圖18），談談它們之間的內(nèi)在關(guān)系，其它對稱以此類推.

3.4 反思育人價值，落實學科素養(yǎng)的真諦

數(shù)學核心素養(yǎng)包含培養(yǎng)學生的圖形直觀能力，圖形直觀是一種視角與思維，是一種合情推理的方法，是終身發(fā)展的關(guān)鍵能力.圖形變換的本質(zhì)就是把圖形看動起來，在圖形運動的基礎(chǔ)上研究圖形各元素之間的關(guān)系，即研究圖形性質(zhì) [2] .其中角平分線就是需要用翻折的眼光看圖形，找對應元素與對稱軸之間的關(guān)系，同時也是研究復雜圖形的基本方法，更是演繹推理的前提.因此，幾何變換是幾何體系的核心內(nèi)容，它是認識圖形的基本方法，需養(yǎng)成把圖形看動起來的視角，在教學的過程中加強幾何變換教學.通過圖形的運動變換理解軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱和平移變換的基本性質(zhì)，這樣才能將對稱體現(xiàn)的淋漓盡致，這是圖形直觀的關(guān)鍵所在.多年后對稱的性質(zhì)或許已忘卻，但是這種視角、思維方式將永遠存在，其性質(zhì)就自然生長，這就是關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).4 結(jié)束語

數(shù)學題海中不乏貌似各異，但本質(zhì)相同、解法一致的問題，若搞題海戰(zhàn)術(shù)，必然花費大量的時間和精力.為此，要注重對學生進行舉一反三、多題一解的訓練，訓練學生的關(guān)聯(lián)性思維，尤其在知識建構(gòu)的過程中要反復滲透知識的本質(zhì)，同時在解題的過程中要關(guān)聯(lián)一類題的相同解法，一道題的多種解法，做到要溯源、要生長，從而建構(gòu)知識體系，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維.

參考文獻

［1］章建躍.核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學教育變革［J］.數(shù)學通報，2017，56（04）：1-4.

［2］王保東.關(guān)注基礎(chǔ)和思維習慣合理引導學生思考［J］.數(shù)學通報，2018，57（06）：49-52，57.

［3］[BP）]金敏，劉春書.從評價的視角思考初中幾何變換的教學［J］.中學數(shù)學雜志，2017（04）：56-62．

作者簡介 劉春書（1978—），男，江蘇寶應人，副校長，中學高級教師；江蘇省青年教育家型教師、江蘇省教科研先進個人、南京市學科帶頭人;主要從事中學數(shù)學課堂教學和考試命題研究;發(fā)表論文多篇.