徐尤南, 劉志強(qiáng)*,,2, 劉汕娟, 李明欽

(1.華東交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院,南昌 330013, E-mail: xyn@ecjtu.jx.cn;2. 江西水利職業(yè)學(xué)院, 南昌 330013)

全斷面硬巖隧道掘進(jìn)機(jī)(Full face hard rock tunnel boring machine,TBM)是集機(jī)、電、液一體化的專用隧道掘進(jìn)工程裝備,廣泛應(yīng)用于巖石地層開挖[1-3]。但在實(shí)際施工中發(fā)現(xiàn)其動(dòng)力損耗嚴(yán)重,如TB880E型TBM由8組功率高達(dá)435 kW電機(jī)驅(qū)動(dòng),將動(dòng)力由傳動(dòng)系統(tǒng)傳給刀盤,再傳到刀具上破巖。若其以70 %額定功率掘進(jìn),切削功率每損失1%(相當(dāng)于50 kW),在其2×104h工作壽命內(nèi)累計(jì)能源動(dòng)力損耗將達(dá)1×106kW·h。全國(guó)目前有數(shù)千臺(tái)掘進(jìn)裝備工作,累計(jì)浪費(fèi)總能量相當(dāng)可觀。另一方面,這些損耗的能量大部分將轉(zhuǎn)化成熱能,使洞遂中工作環(huán)境溫度變高,為治理工作環(huán)境溫度過高問題,還需要增加排氣、降溫等設(shè)施,消耗額外的能源動(dòng)力。可見,工程上對(duì)于TBM節(jié)能施工具有實(shí)際需求。它將帶來兩方面的好處,一是施工中成本的節(jié)省,二是施工工作環(huán)境的改善。

行星減速器具有體積小,重量輕,傳動(dòng)比大及傳動(dòng)平穩(wěn)等特點(diǎn)[4],且正朝著高速、高精度、高效率、低噪聲、大功率方向發(fā)展[5],因而廣泛應(yīng)用于TBM傳動(dòng)系統(tǒng)。典型的掘進(jìn)機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)由多組行星輪系及多級(jí)定軸輪系構(gòu)成,其齒輪有的為內(nèi)嚙合,有的為外嚙合,傳動(dòng)路徑復(fù)雜。而在圓柱齒輪的動(dòng)力傳輸過程中嚙合效率占很大比例[6-7],嚙合傳動(dòng)效率損失的減小,或是減少其動(dòng)力損耗有效途徑之一,尤其在高功率領(lǐng)域,效率更是重要的設(shè)計(jì)指標(biāo)之一[8]。故本文以TBM行星減速器為研究對(duì)象,對(duì)其輪系嚙合效率進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),以實(shí)現(xiàn)節(jié)能施工的工程目標(biāo)。

為尋求提高行星傳動(dòng)效率的有效途徑,國(guó)內(nèi)外學(xué)者從不同領(lǐng)域,不同角度用不同方法對(duì)其進(jìn)行分析及優(yōu)化設(shè)計(jì),如文獻(xiàn)[9]考慮幾何參數(shù)的影響,文獻(xiàn)[10-11]采用虛功理論,文獻(xiàn)[12]采用數(shù)值計(jì)算的方法等。一般而言,機(jī)械效率數(shù)值通常由試驗(yàn)方法確定,考慮幾何參數(shù)的影響就是通過實(shí)驗(yàn)的方法,但在齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)中,通過理論計(jì)算其嚙合效率更為方便合理[13]。為提高齒輪的傳動(dòng)效率,國(guó)內(nèi)外學(xué)者在其傳動(dòng)效率的理論數(shù)值計(jì)算方面做了大量的工作。圓柱齒輪傳動(dòng)效率計(jì)算方法通常是基于摩擦系數(shù)恒定和載荷沿接觸線均勻分布的假設(shè)[14],如文獻(xiàn)[13]通過積分法給出了齒輪副嚙合效率的計(jì)算公式,文獻(xiàn)[15]通過數(shù)值仿真建立直齒面齒輪嚙合效率的計(jì)算模型,但過程較復(fù)雜且文中并未給出直齒輪計(jì)算方法。文獻(xiàn)[16]采用摩擦功理論計(jì)算齒輪的效率,文獻(xiàn)[17]在試驗(yàn)基礎(chǔ)上給出嚙合過程中效率損失的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算式,計(jì)算式簡(jiǎn)潔,初步篩選比較適用,但在一些特定場(chǎng)合并不適用;而且利用MATLAB擬合人字齒輪副滑動(dòng)摩擦功率函數(shù)關(guān)系式,通過積分求出人字齒輪的滑動(dòng)摩擦功率損失,過程復(fù)雜且未給出直齒輪計(jì)算方法。

綜上所述,由于目前已公開的齒輪傳動(dòng)效率損失計(jì)算不便,或數(shù)值積分法計(jì)算過程復(fù)雜,或要求高精度時(shí)計(jì)算工作量大。為通過設(shè)計(jì)并優(yōu)化TBM行星減速器輪系傳動(dòng)效率以實(shí)現(xiàn)節(jié)能目標(biāo),本文將采用作者自行推導(dǎo)的齒輪嚙合效率計(jì)算式進(jìn)行計(jì)算。在設(shè)計(jì)行星齒輪傳動(dòng)時(shí),需要根據(jù)傳動(dòng)比確定各齒輪齒數(shù),在確定行星齒輪傳動(dòng)的各輪齒數(shù)時(shí),除滿足傳動(dòng)比要求外,還需要滿足與裝配有關(guān)的條件,如同心條件、鄰接條件、安裝條件[18]等。而變位系數(shù)的優(yōu)化選擇問題,是在考慮一定的約束條件(如保證不發(fā)生根切、不發(fā)生徑向干涉,不發(fā)生齒廓重疊干涉,保證必要的齒頂厚度和重合度等)下[19-21],遵循一定的分配原則(如等滑動(dòng)率原則[22-23]減小齒輪的點(diǎn)蝕及磨損現(xiàn)象)進(jìn)行各齒輪變位系數(shù)的分配,以達(dá)到齒輪最佳的工作性能。

本文以某型雙級(jí)2K-H型TBM行星減速器為研究對(duì)象,以節(jié)能為設(shè)計(jì)目標(biāo)(提高輪系嚙合效率),研究其行星輪系變位系數(shù)及齒數(shù)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化方法。采用本文作者自行推導(dǎo)的齒輪副嚙合效率損失計(jì)算式,建立其效率損失模型。利用2K-H行星輪系物理模型,推導(dǎo)其效率損失模型,進(jìn)而進(jìn)一步建立TBM行星減速器輪系效率損失模型,并以該減速器行星輪系為設(shè)計(jì)及優(yōu)化實(shí)例,介紹其變位系數(shù)及齒數(shù)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化方法,以實(shí)現(xiàn)節(jié)能的工程目標(biāo)。

1 效率損失模型

1.1 一對(duì)齒輪副嚙合效率損失模型

1.1.1 齒輪嚙合傳動(dòng)模型

圖1(a)、(b)分別是一對(duì)外嚙合及一對(duì)內(nèi)嚙合齒輪副嚙合的傳動(dòng)模型,基本參數(shù)如圖所示。

▲圖1 齒輪傳動(dòng)嚙合模型

圖1中,ωi為齒輪i的角速度方向,N1N2為理論嚙合線,A1A2(B1B2)為實(shí)際嚙合線,C為節(jié)點(diǎn),K為嚙合點(diǎn),ra,r′,rb分別為齒頂圓,節(jié)圓,基圓,rK為漸開線在K點(diǎn)的向徑,αK為漸開線在K點(diǎn)的壓力角,α′為齒輪副嚙合角。

1.1.2 一對(duì)齒輪副的基本嚙合關(guān)系

設(shè)一對(duì)嚙合齒輪副的標(biāo)準(zhǔn)中心距為a、實(shí)際中心距為a′、中心距變動(dòng)系數(shù)為y、兩齒輪的變位系數(shù)分別為x1,x2,其齒頂高變動(dòng)系數(shù)為Δy,上述參數(shù)為下文變位系數(shù)優(yōu)化的計(jì)算依據(jù),此處先行給出。根據(jù)機(jī)械設(shè)計(jì)基本知識(shí)易知:

(1)

式中:z∑為齒數(shù)和;m為模數(shù);符號(hào)“±”應(yīng)根據(jù)內(nèi)、外嚙合關(guān)系選取,外嚙合用上面符號(hào),內(nèi)嚙合用下面符號(hào)(下同)。

結(jié)合無側(cè)隙嚙合方程,有:

(2)

式中:α′為實(shí)際嚙合角,利用無側(cè)隙嚙合方程求解,α為標(biāo)準(zhǔn)壓力角。

由此,可得中心距變動(dòng)系數(shù)y:

y=(a′-a)/m

(3)

根據(jù)無側(cè)隙嚙合條件,有:

(4)

式中:inv為漸開線函數(shù)。

1.1.3 一對(duì)嚙合齒輪副的部分重合度參數(shù)

部分重合度是下文計(jì)算齒輪副嚙合效率的重要參量。圖2(a),(b)分別是一對(duì)外嚙合及一對(duì)內(nèi)嚙合齒輪副嚙合狀態(tài)下的簡(jiǎn)化模型。

▲圖2 齒輪嚙合傳動(dòng)簡(jiǎn)化模型

圖2中N1和N2分別為兩齒輪的嚙合極限點(diǎn),節(jié)點(diǎn)C將其分為CN1和CN2兩個(gè)部分,實(shí)際嚙合線段為A1A2,其兩端點(diǎn)A1、A2分別對(duì)應(yīng)于齒頂處的嚙合點(diǎn),G1、G2則分別位于齒根部對(duì)應(yīng)于另一齒輪齒頂處的嚙合點(diǎn)(本文為敘述方便,將其稱其所在的圓為類齒根圓),ε1和ε2為對(duì)應(yīng)的部分重合度。且圖2(a)得外嚙合部分重合度計(jì)算式為:

(5)

式中:χ為法節(jié)比,其定義為法線長(zhǎng)(齒廓曲線對(duì)應(yīng)點(diǎn)曲率半徑ρ)與法節(jié)長(zhǎng)度Pn比值,故齒廓曲線K點(diǎn)處法節(jié)比χk為:

(6)

當(dāng)某齒輪齒頂越過節(jié)點(diǎn)處于另一側(cè)時(shí),部分重合度將為負(fù)值。故對(duì)于其重合度ε外嚙合按式(7)計(jì)算:

ε=ε1±ε2

(7)

式中:當(dāng)齒頂越過節(jié)點(diǎn)與類齒根處于節(jié)點(diǎn)同側(cè)取“-”號(hào),否則“+”號(hào)(下同)。

同理,由圖2(b)得內(nèi)嚙合部分重合度及重合度分別按按式(8)和式(9)計(jì)算:

(8)

ε=ε2±ε1

(9)

1.1.4 一對(duì)嚙合齒輪的嚙合效率損失計(jì)算模型

如圖1所示的一對(duì)齒輪,其嚙合效率損失計(jì)算模型,將采用本文作者自行推導(dǎo)的計(jì)算式(10)進(jìn)行計(jì)算:

(10)

式中:Δηz為嚙合效率損失,f為摩擦系數(shù),εΣ為綜合重合度,zΣ為綜合齒數(shù),且:

(11)

按文獻(xiàn)[23]建議齒輪的平均摩擦系數(shù)為0.03～0.07,本文計(jì)算時(shí)取其均值f=0.05。

1.2 TBM行星輪系嚙合效率損失計(jì)算模型

TBM減速器行星輪系通常由多級(jí)2K-H(NGW)行星輪系串聯(lián)組成。且根據(jù)總傳動(dòng)比要求及預(yù)先分配好的傳動(dòng)比,可把多級(jí)傳動(dòng)分解為單級(jí)傳動(dòng)分別加以優(yōu)化,簡(jiǎn)化優(yōu)化過程。

1.2.1 2K-H行星輪系物理模型

單級(jí)2K-H行星減速器輪系由太陽輪z1、行星輪z2、內(nèi)齒圈z3及行星架H組成(如圖3(a)所示)。z1,z2組成外嚙合齒輪副z1-z2,z2,z3組成內(nèi)嚙合齒輪副z2-z3,行星架H作為輸出,各齒輪角速度為ωi(i=1,2,3),行星架H角速度為ωH。

分析2K-H行星輪系效率時(shí),采用反轉(zhuǎn)法將其轉(zhuǎn)化為定軸輪系,轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)如圖3(b)所示。

▲圖3 2K-H行星輪系及其轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)

1.2.2 2K-H行星輪系嚙合效率損失計(jì)算模型

如圖3(a)所示2K-H行星輪系由一對(duì)外嚙合及一對(duì)內(nèi)嚙合齒輪副組成,其輪系嚙合效率損失計(jì)算式與式(10)～(11)有關(guān)。轉(zhuǎn)化后的輪系示意圖如圖3(b)所示,其中中心輪3為轉(zhuǎn)化后輸出構(gòu)件,中心輪1仍為輸入構(gòu)件。實(shí)際上,機(jī)械中的摩擦損失功率主要取決于各運(yùn)動(dòng)副中的作用力、運(yùn)動(dòng)副元素間的摩擦因數(shù)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的大小。而行星輪系的轉(zhuǎn)化輪系和原行星輪系的上述三個(gè)參量除因構(gòu)件回轉(zhuǎn)的離心慣性力有所不同外,其余均不會(huì)改變。因而,行星輪系與其轉(zhuǎn)化輪系中的摩擦損失功率(主要指輪齒嚙合損失功率)應(yīng)相等。

根據(jù)圖3(b)分析易知,轉(zhuǎn)化后,輪系的效率損失率為:

Δηe=Δη12+Δη23

(12)

式中:Δη12和Δη23分別為轉(zhuǎn)化后齒輪副z1-z2和齒輪副z2-z3傳動(dòng)效率損失,按式(10)計(jì)算。

顯然,轉(zhuǎn)化后輪系的功率損失為:

(13)

轉(zhuǎn)化前,輪系的功率損失為:

ΔW=Δηm1ω1=Δηm1i1HωH

(14)

則據(jù)ΔWe=ΔW得周轉(zhuǎn)輪系傳動(dòng)效率為[12]:

Δη=(1-1/i1H)·(Δη12+Δη23)

(15)

此式即為本文所采用的單級(jí)2K-H行星輪系嚙合效率損失計(jì)算模型,式(13)～式(15)推到過程可參閱文獻(xiàn)[16]。

1.2.3 TBM行星減速器輪系嚙合效率損失模型

▲圖4 雙級(jí)2K-H型行星減速器機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖4為現(xiàn)有某雙級(jí)2K-H型型TBM行星輪減速器的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖,圖4中,J為輸入電機(jī),第Ⅰ級(jí)2K-H行星減速器輪系由z1,z2,z3及H1組成,其中z1,z3為中心輪,z2為行星輪,H1為其行星架。第Ⅱ級(jí)2K-H行星減速器輪系由z4,z5,z6及H2組成,其中z4,z6為中心輪,z5為行星輪,H2為其行星架。

根據(jù)式(15)建立的單級(jí)2K-H行星輪系嚙合效率損失計(jì)算模型,得圖4中雙級(jí)2K-H行星減速器輪系嚙合效率損失計(jì)算(16)。

(16)

式中:ΔηI為第一級(jí)2K-H行星輪系效率損失,其值按式(15)計(jì)算,ΔηⅡ?yàn)榈诙?jí)2K-H行星輪系效率損失,只是齒輪副z1-z2和齒輪副z2-z3由齒輪副z4-z5和齒輪副z5-z6進(jìn)行相應(yīng)替換。

故圖示TBM行星減速器輪系嚙合效率損失計(jì)算為:

Δη∑=1-(1-ΔηⅠ)(1-ΔηⅡ)≈ΔηⅠ+ΔηⅡ

(17)

此式即為本文所采用的雙級(jí)2K-H型行星減速器輪系嚙合效率損失計(jì)算模型。

2 TBM行星輪系優(yōu)化方法

本文以圖4所示的雙級(jí)2K-H型行星減速器輪系為研究對(duì)象,設(shè)各齒輪副之間摩擦系數(shù)為f,齒輪zi對(duì)應(yīng)變位系數(shù)為xi(i=1,2,…,6)。擬采用變位系數(shù)和齒數(shù)的兩階段優(yōu)化方法,通過本文所述方法優(yōu)化其變位系數(shù)及齒數(shù),使其效率損失最小化,達(dá)到節(jié)能的目的。

2.1 齒數(shù)變化與效率損失規(guī)律分析

TBM行星輪減速器共有兩級(jí)2K-H型行星輪系計(jì)6個(gè)齒輪構(gòu)成,其設(shè)計(jì)變量為zi(i=1,2,…,6)。圖5是第一級(jí)2K-H型行星輪系齒數(shù)變化下中心輪z3與其效率損失關(guān)系圖。

從圖5可以看出,隨著齒數(shù)增加,輪系效率損失呈下降趨勢(shì),說明增加齒輪齒數(shù)可有效減小輪系的效率損失(齒數(shù)增加,重合度增加,參與嚙合齒數(shù)增加,嚙合效率提高),但齒數(shù)增加也會(huì)使機(jī)構(gòu)整體尺寸增加。需要說明的是,圖5中z3的數(shù)值需滿足行星輪系的幾何計(jì)算關(guān)系,該部分內(nèi)容在2.2節(jié)介紹。且z3的取值范圍旨在研究齒數(shù)變化對(duì)效率的影響,而TBM工作空間狹小,故齒數(shù)增加只能在小范圍內(nèi)波動(dòng),故限定齒輪z3和z6的最大齒輪的上限是分別是90和60。

▲圖5 齒數(shù)變化下2K-H行星輪系效率損失

2.2 齒數(shù)可行域分析

單級(jí)2K-H行星輪系齒數(shù)需要滿足如傳動(dòng)比條件、同心條件、鄰接條件、安裝條件等一系列約束條件,其中首要條件是傳動(dòng)比條件。在對(duì)傳動(dòng)比進(jìn)行分析時(shí),需要采用反轉(zhuǎn)法將其轉(zhuǎn)化為定軸輪系,轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)如圖3(b)所示。

易知其傳動(dòng)比為:

i1H=-(1+z3/z1)

(18)

式中,i1H為2K-H行星輪系實(shí)際傳動(dòng)比。

應(yīng)當(dāng)指出的是,對(duì)于行星傳動(dòng)系統(tǒng),速比設(shè)計(jì)對(duì)傳動(dòng)效率具有最重要的影響,大速比下甚至可能自鎖,由于篇幅限制,本文不做具體分析。但為避免自鎖現(xiàn)象的產(chǎn)生,本文將在現(xiàn)有方案的速比下一定波動(dòng)范圍內(nèi)進(jìn)行設(shè)計(jì),設(shè)傳動(dòng)比誤差為5%。

為保證2K-H行星輪系正確裝配,兩個(gè)中心輪(齒輪1和齒輪3)與系桿H三個(gè)基本構(gòu)件需滿足同心條件。其等價(jià)條件為:中心輪1—行星輪2的實(shí)際中心距,與行星輪2—中心輪3的實(shí)際中心距必須相等,因而有:

(19)

考慮采用變位齒輪可配湊中心距,在滿足等中心距的基礎(chǔ)上齒輪z3允許有2個(gè)齒數(shù)的誤差(標(biāo)準(zhǔn)齒輪應(yīng)滿足齒數(shù)和相等)。

行星齒輪傳動(dòng)時(shí)為了進(jìn)行功率分流,提高其承載能力,同時(shí)也為了減小其結(jié)構(gòu)尺寸,通常在中心輪1、3之間,均勻、對(duì)稱地設(shè)置nK個(gè)行星輪。為了使各行星輪之間齒頂不產(chǎn)生相互碰撞,必須保證它們齒頂之間在其連心線上有一定的間隙,即兩相鄰行星輪的頂圓半徑之和應(yīng)小于其中心距LC,此即為其鄰接條件。

(20)

式中:nK為行星輪個(gè)數(shù),LC為相鄰兩個(gè)行星輪中心之間的距離(圖3(a))。本文取nK=3時(shí),鄰接條件滿足,故消除一個(gè)約束條件。

另外,要使nK個(gè)行星輪能均勻裝入,并保證與兩中心輪正確嚙合且沒有錯(cuò)位現(xiàn)象,兩齒輪齒數(shù)和必須是nK的整數(shù)倍,該關(guān)系即為裝配條件,轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)式可表示為:

rem(z1+z3,nK)=0

(21)

式中:rem為求余函數(shù)。

得齒數(shù)變化約束條件為:

(22)

式中:不等式約束1和2為最大齒數(shù)限制,不等式約束3為傳動(dòng)比誤差限制(齒數(shù)變化下允許5%的傳動(dòng)比誤差限制),不等式約束4和5為行星輪齒數(shù)約束,等式約束1和2為裝配條件約束,由式(21)轉(zhuǎn)化所得。

得雙級(jí)2K-H型行星減速器輪系低速級(jí)及高速級(jí)齒數(shù)可行域如圖6所示。

▲圖6 雙級(jí)2K-H型行星減速器輪系齒數(shù)可行域

2.3 變位系數(shù)變化與效率損失規(guī)律分析

在齒數(shù)不變的前提下,可對(duì)變位系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。對(duì)單級(jí)2K-H行星輪系而言,齒頂高系數(shù)、齒頂隙系數(shù)、分度圓壓力角選為設(shè)計(jì)常量,中心距a12,a23及變位系數(shù)x1,x2,x3為設(shè)計(jì)變量,其他參數(shù)均作為中間變量處理。

設(shè)計(jì)過程中注意正確嚙合條件及無側(cè)隙嚙合方程,中心距a12,a23必需相等,據(jù)此,可設(shè)置中心中a作為其共同的中心距,并以其作為設(shè)計(jì)變量,從而消除一個(gè)設(shè)計(jì)自由度。

另外,齒輪2一方面與齒輪1作外嚙合,另一方面與齒輪3作內(nèi)嚙合,行星輪z2作為齒輪副z1-z2和齒輪副z2-z3的連接橋梁,在優(yōu)化過程中,x2將是一個(gè)重要的優(yōu)化變量。故其變位系數(shù)x2可作為獨(dú)立設(shè)計(jì)變量。再根據(jù)正確嚙合條件(式(3))及無側(cè)隙方程(式(4)),由中心a及齒輪2的變位系數(shù)x2,即可得到齒輪1變位系數(shù)x1和齒輪3變位系數(shù)x3,從而再消除兩個(gè)設(shè)計(jì)變量。且考慮變位系數(shù)數(shù)值較小,中心距數(shù)值較大,用中心距變動(dòng)系數(shù)y相應(yīng)替代。故在齒數(shù)已知時(shí),對(duì)單級(jí)2K-H行星輪系進(jìn)行效率優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量為中心距變動(dòng)系數(shù)y和齒輪2的變位系數(shù)x2,以現(xiàn)有設(shè)計(jì)第一級(jí)齒數(shù)參數(shù)為例(z1=17,z2=34,z3=85(下同)),得該單級(jí)2K-H行星輪系嚙合效率損失如圖7所示。

▲圖7 單級(jí)2K-H行星輪系嚙合效率

圖7中,等值線數(shù)值表示輪系嚙合效率損失百分比,空白區(qū)域?yàn)榉强尚杏?。讀圖可知,在不變位的情況下,輪系效率損失為0.921 3%,而效率損失最小點(diǎn)為等值線曲率中心處,而不由中心距變動(dòng)系數(shù)y或齒輪2的變位系數(shù)x2單一決定,故合理分配y和x2的取值,才能取得更理想的優(yōu)化效果。

2.4 變位系數(shù)可行域分析

已知齒數(shù)進(jìn)行變位系數(shù)分析過程中,需要考慮外齒輪齒頂厚(Sa)、內(nèi)齒輪齒槽寬(Ef)、最大滑動(dòng)率(ξmax)及齒廓重疊干涉,齒廓徑向干涉等系列參量,具體來說:

一對(duì)外嚙合齒輪的大、小齒輪及一對(duì)內(nèi)嚙合齒輪的小齒輪,其最小變位系數(shù)受根切條件限制,最大變位系數(shù)受齒頂變尖條件限制,即:

(23)

式中:Samin,xmin分別為外齒輪最小齒頂厚及最小變位系數(shù),且:

而一對(duì)內(nèi)嚙合齒輪的大齒輪,其最大變位系數(shù)受齒根基圓半徑大小限制,最小變位系數(shù)則受齒根處齒槽變尖條件限制,即:

(24)

式中:Efmin為內(nèi)齒輪最小齒槽寬,且:

當(dāng)內(nèi)嚙合的行星輪2與外中心輪3齒數(shù)差較小時(shí),內(nèi)齒輪在裝配時(shí)將不能沿徑向安裝到位,從而產(chǎn)生徑向插入干涉。其不產(chǎn)生徑向插入干涉條件為:

(25)

式中:u為齒數(shù)比,ν=1/u為其反比(下同),且

當(dāng)內(nèi)嚙合的行星輪2與外中心輪3齒數(shù)差較小時(shí),結(jié)束嚙合的行星輪齒頂在退出內(nèi)齒輪齒槽時(shí),兩者的齒廓將會(huì)重疊,從而產(chǎn)生齒廓重疊干涉。其不發(fā)生齒廓重疊干涉的條件為[7];

(26)

徑向插入主要影響安裝方式,不影響安裝后齒廓的嚙合運(yùn)動(dòng),是許可的。齒廓重疊干涉則會(huì)影響齒廓的嚙合運(yùn)動(dòng),是絕對(duì)不許可的。實(shí)際計(jì)算時(shí),為便于觀察其規(guī)律性,將用等價(jià)的法節(jié)比,替代干涉量,即:

(27)

此外,齒輪實(shí)際嚙合齒廓為漸開線,因而在分析齒廓嚙合干涉時(shí),需要考慮漸開線起點(diǎn)處的曲率半徑,對(duì)于外齒輪(i=1,2),假定采用齒條刀具加工,可推知:

(28)

對(duì)于內(nèi)嚙合齒輪,其整個(gè)齒廓均為漸開線,因而無需計(jì)算。

對(duì)于內(nèi)嚙合齒輪對(duì)z2-z3,為避免行星輪z2過渡曲線與內(nèi)齒輪z3齒頂發(fā)生干涉,內(nèi)齒輪應(yīng)滿足的條件是極限嚙合點(diǎn)不能超過實(shí)際漸開線起始點(diǎn),即:

Δχ3=χ2-χρ2-ε3≥0

(29)

式中:部分重合度ε3與內(nèi)齒輪齒頂圓半徑ra3有關(guān),齒輪2漸開線起點(diǎn)處法節(jié)比χρ2按前文所述計(jì)算。

同樣,外嚙合齒輪對(duì)z1-z2一個(gè)齒輪的齒頂也可能與另一個(gè)齒輪齒根處的過渡曲線干涉(由于齒輪根部的一段齒廓是由刀具齒頂圓角加工出來的過渡曲線,當(dāng)此過渡曲線與另一齒輪的漸開線齒廓接觸時(shí)不能保證正確嚙合),且有:

(30)

需要注意的是式(29)與(30)節(jié)點(diǎn)法節(jié)比及部分重合度,應(yīng)按所在的齒輪對(duì)分別計(jì)算。

一對(duì)嚙合齒輪最基本的性能即其重合度,該參數(shù)反映其連續(xù)平穩(wěn)傳動(dòng)性能,故:

(31)

式中:ε12和ε23分別為齒輪副z1-z2和齒輪副z2-z3的重合度,εmin為最小重合度,本文取值1.1。

如前所述,相互嚙合的兩齒輪應(yīng)盡量保持相等的相對(duì)滑動(dòng)速度。對(duì)于z1與z2組成的外嚙合,其最大滑動(dòng)率計(jì)算式為[21]:

(32)

對(duì)于z1與z2組成的內(nèi)嚙合,其齒輪最大滑動(dòng)率計(jì)算式為:

(33)

得變位系數(shù)約束條件為:

(34)

式中:不等式約束1,2,…,6為單級(jí)2K-H行星輪系齒輪1,2,3的變位系數(shù)最小值和最大值約束,由式(23)和式(24)轉(zhuǎn)化所得:不等式約束7為徑向插入干涉約束,由式(25)式(26)轉(zhuǎn)化所得:不等式約束8為齒廓重疊干涉式,由(26)轉(zhuǎn)化所得:不等式約束9,10,11為過渡曲線干涉約束,由式(29)和式(30)轉(zhuǎn)化所得:不等式約束12,13為重合度約束,由式(31)轉(zhuǎn)化所得:等式約束1,2為等滑動(dòng)率約束,可由式(32)和式(33)轉(zhuǎn)化所得。

3 優(yōu)化模型

3.1 變位系數(shù)優(yōu)化模型

綜上所述,在確定齒數(shù)的前提下,若不考慮等滑動(dòng)率原則,得單級(jí)2K-H行星輪系效率最優(yōu)化模型為:

(35)

優(yōu)化結(jié)果如圖8所示。

▲圖8 不考慮等滑動(dòng)率優(yōu)化結(jié)果

圖8中,相近的一條實(shí)線與一條虛線形成一個(gè)約束,所述的實(shí)線為不等式約束界面,虛線表示非可行域,封閉曲線為約束1～11形成可行域,半封閉曲線為約束12～13形成可行域,若不考慮等滑動(dòng)率因素,效率最優(yōu)點(diǎn)在0.737 4處,若考慮等滑動(dòng)率因素,則在式(35)基礎(chǔ)上增加等滑動(dòng)率條件約束,可在圖8的基礎(chǔ)上添加等滑動(dòng)率曲線進(jìn)行分析,如圖9所示。

▲圖9 考慮等滑動(dòng)率優(yōu)化結(jié)果

圖9中,一條實(shí)線外加兩條虛線表示等式約束曲線,所述的實(shí)線為等式約束界面,虛線表示非可行域,從圖中可知,等滑動(dòng)率交點(diǎn)處于基本可行區(qū)間之外,顯然沒有最優(yōu)解。由于內(nèi)嚙合齒輪副效率損失小于外嚙合齒輪副,故不能同時(shí)對(duì)內(nèi)嚙合及外嚙合進(jìn)行等滑動(dòng)率進(jìn)行考慮,而外嚙合相對(duì)內(nèi)嚙合效率損失較大,故只考慮外嚙合齒輪對(duì)最大滑動(dòng)率因素(圖中有數(shù)值標(biāo)明等式約束曲線為外嚙合等滑動(dòng)率曲線,無數(shù)值標(biāo)明等式約束曲線為內(nèi)嚙合等滑動(dòng)率曲線)。得確定齒數(shù)的前提下,考慮等滑動(dòng)率原則,單級(jí)2K-H行星輪系效率最優(yōu)化模型為:

(36)

同理可得,現(xiàn)有參數(shù)下低速級(jí)變位系數(shù)優(yōu)化結(jié)果如圖10所示。

▲圖10 低速級(jí)變位系數(shù)優(yōu)化結(jié)果

3.2 齒數(shù)優(yōu)化模型

齒數(shù)變化下,由雙級(jí)2K-H型TBM行星減速器輪系效率損失計(jì)算式(17),得其效率損失最小化優(yōu)化模型如下:

(37)

式中:z的取值范圍為圖6所示可行域,即設(shè)計(jì)約束按式(22)計(jì)算,且:

(38)

為高速級(jí)2K-H型輪系優(yōu)化結(jié)果,當(dāng)不考慮等滑動(dòng)率原則時(shí),約束條件為式(35),考慮等滑動(dòng)率原則時(shí),約束條件為式(36)。

(39)

為低速級(jí)2K-H型輪系優(yōu)化結(jié)果,設(shè)計(jì)約束同上。

可見,對(duì)齒數(shù)優(yōu)化相當(dāng)于兩階段優(yōu)化方法,其中,第一階段對(duì)變位系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,第二階段對(duì)齒數(shù)優(yōu)化。

4 優(yōu)化結(jié)果

借助約束圖譜驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的可行性,得兩階段優(yōu)化后高速級(jí)和低速級(jí)約束圖譜分別如圖11(a),(b)所示,且將現(xiàn)有齒數(shù)經(jīng)變位系數(shù)優(yōu)化后的效率損失最小值及其齒數(shù)和變位系數(shù)兩階段優(yōu)化后的效率損失最小值匯集于下表。

▲圖11 優(yōu)化結(jié)果約束圖譜

優(yōu)化結(jié)果對(duì)比表

(40)

(41)

表中,現(xiàn)有齒數(shù)作變位系數(shù)設(shè)計(jì)實(shí)例中,在不考慮等滑動(dòng)率情況下,效率損失1.685% ,考慮等滑動(dòng)率情況下,效率損失1.720%。而經(jīng)過齒數(shù)和變位系數(shù)的兩階段優(yōu)化,對(duì)應(yīng)結(jié)果分別為1.415%和1.532%,效率損失減少分別為0.270%和0.188%。顯然,其絕對(duì)值較小,但相對(duì)效率損失減小16.026% 和10.954%,正如前文B880E型TBM切削系統(tǒng)相關(guān)數(shù)據(jù),若效率損失絕對(duì)值減小按0.2%計(jì)算,在其2×104h工作壽命內(nèi)累計(jì)能源動(dòng)力損失減少達(dá)2×105kW·h,能量節(jié)約總量相當(dāng)可觀。

5 結(jié)論

經(jīng)研究得到以下結(jié)論:

(1) 2K-H行星減速器在滿足約束條件下,齒輪副齒數(shù)增加,嚙合效率損失減小。效率優(yōu)化過程時(shí)考慮等滑動(dòng)率原則不能同時(shí)優(yōu)化內(nèi)、外嚙合齒輪副。僅考慮外嚙合等滑動(dòng)率相等下求效率損失最小,可提高嚙合效率同時(shí)提升齒輪副傳動(dòng)性能,是一種較佳的優(yōu)化方法。

(2) 雙級(jí)2K-H型TBM行星減速器輪系齒數(shù)優(yōu)化時(shí),齒數(shù)增加一方面受結(jié)構(gòu)尺寸限制(最大齒數(shù)約束),一方面受傳動(dòng)比誤差限制。其成為限制提高減速器輪系嚙合效率的主要原因。

(3) 限制效率提升的主要因素為外嚙合重合度限制。若放寬重合度限制,或能得到更為理想的優(yōu)化結(jié)果。通過齒數(shù)優(yōu)化,TBM行星減速器相對(duì)初始參數(shù)進(jìn)行效率優(yōu)化后,其效率損失率減少11%～16%,能量節(jié)約總量相當(dāng)可觀。說明本文設(shè)計(jì)及優(yōu)化方法的可行性,對(duì)TBM施工節(jié)能減排具有重要工程意義。