宗冬娣

摘要：本文以“多面體的外接球問題”的復(fù)習(xí)為例探索基于深度學(xué)習(xí)的高三數(shù)學(xué)微專題復(fù)習(xí)策略.

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)；微專題復(fù)習(xí)；外接球

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇見學(xué)生一聽就懂，一做就錯(cuò)的現(xiàn)象，這樣的無(wú)奈，究其本質(zhì)，就是學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容不甚理解或者理解了但不會(huì)運(yùn)用，又或者會(huì)解決當(dāng)下的問題，但又無(wú)法遷移去解決新的問題.而這些情況都不是靠延長(zhǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間、反復(fù)講或大量刷題就能夠解決的，其根本原因在于學(xué)生沒有發(fā)生真實(shí)的“深度學(xué)習(xí)”.

深度學(xué)習(xí)理論認(rèn)為知識(shí)的獲得應(yīng)該是建立在理解基礎(chǔ)上的知識(shí)整合與運(yùn)用，而不是簡(jiǎn)單的知識(shí)疊加與記憶.數(shù)學(xué)微專題復(fù)習(xí)是指立足于學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教師通過對(duì)相關(guān)或相似的數(shù)學(xué)概念、規(guī)律原理、模型思想方法等內(nèi)容進(jìn)行整合與提煉形成種聯(lián)系緊密、邏輯清晰的微型專題復(fù)習(xí)結(jié)構(gòu).微專題具有因微而準(zhǔn)，因微而細(xì)，因微而深的顯著特點(diǎn)，正是促進(jìn)深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生的重要途徑.本文以高三數(shù)學(xué)“多面體的外接球問題”的專題復(fù)習(xí)為例，談?wù)勆疃葘W(xué)習(xí)理念下的高三數(shù)學(xué)微專題復(fù)習(xí)策略.

1教學(xué)流程設(shè)計(jì)

1.1真題回顧，明確高考方向

高三的復(fù)習(xí)課首先要明確高考方向，把握高考熱點(diǎn)，然后進(jìn)行微專題教學(xué)，查找漏點(diǎn)、掃清盲點(diǎn)、厘清疑點(diǎn)、突破難點(diǎn).縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷，球常和其他空間幾何體相結(jié)合，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，研究多面體外接球的問題，需要具有較強(qiáng)的空間想象能力、邏輯推理能力以及運(yùn)算求解能力，動(dòng)態(tài)觀察形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中感悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

如圖：

教學(xué)意圖：把歷次的高考真題展示給學(xué)生，讓學(xué)生明白這個(gè)專題的重要性，吸引學(xué)生，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的熱情，起到開門見山的作用.

1.2直觀畫圖，提出問題

問題1：你能畫出長(zhǎng)方體（正方體）外接于球的直觀圖嗎？其幾何體的外接球的球心分別在哪里？外接球的半徑與這些幾何體的棱長(zhǎng)存在什么數(shù)量關(guān)系？

問題2：球的定義是什么？多面體的外接球定義是什么？

問題3：長(zhǎng)方體（正方體）外接球的球心為什么是其體對(duì)角線的中點(diǎn)？

教學(xué)意圖：引導(dǎo)學(xué)生作出準(zhǔn)確而富有立體感的直觀圖，借助直觀圖研究長(zhǎng)方體（正方體）外接于球的位置關(guān)系，找出球心位置，讓他們通過自己的主動(dòng)探究，產(chǎn)生對(duì)外接球的內(nèi)心體驗(yàn)，體會(huì)從實(shí)際事物、模型到直觀圖形的抽象識(shí)和操作方法使空間想象素養(yǎng)的培養(yǎng)落在實(shí)處.

1.3深度類比，理解知識(shí)本質(zhì)

所謂類比，就是由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式.類比是一種主觀的不充分的似真推理，因此，要確認(rèn)其猜想的正確性，還須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證.

問題4：類比平面上圓的性質(zhì)，那么球有哪些性質(zhì)？

生1：如圖2，用一個(gè)平面去截球，截面是圓面，用一個(gè)平面去截球面，截線是圓.

生2：球心和不過球心的截面圓心的連線垂直于截面.

生3：如圖3，球心到截面的距離d與球的半徑R

及截面的半徑r有關(guān)系：r=?R2－d2?.

問題5：觀察長(zhǎng)方體（正方體）外接球模型，其外接球的球心位置還能如何確定？

生：長(zhǎng)方體的兩個(gè)相鄰面所在的平面截球，得到截面為圓面，過兩截面的圓心作垂直于截面圓的垂線，則由過兩截面圓心的垂線交點(diǎn)就是外接球的球心.如圖4，OO1=?C?2?，AO1=??a2+b2??2?，R＝??a2+b2+c2??2?.

教學(xué)意圖：教育家布魯納提出，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu).這是在運(yùn)用知識(shí)方面的最低要求，它有助于解決學(xué)生在課外所遇到的問題和事件，或者在日后訓(xùn)練中所遇到的問題”［1］.通過平面上圓的性質(zhì)，類比球的性質(zhì)，聯(lián)想長(zhǎng)方體的外接球球心位置的另一種確定方法.通過分析、比較、抽象、概括、類比等數(shù)學(xué)思維過程，抽象出外接球球心位置確定的本質(zhì)特征，從而建構(gòu)起深度的結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系.

1.4規(guī)律遷移、進(jìn)行問題解決

遷移是學(xué)習(xí)者理解或識(shí)別新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性后產(chǎn)生的已有知識(shí)在新學(xué)習(xí)中的應(yīng)用［2］.遷移是學(xué)習(xí)的主要目的，所有學(xué)習(xí)活動(dòng)的目標(biāo)都是為了使學(xué)生實(shí)現(xiàn)遷移.遷移是否成功取決于學(xué)習(xí)者對(duì)新舊知識(shí)之間的理解深度.

問題6-1：已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（）.

A.16π?B.（2?3）π

C.8π?D.（8?2??3）π

問題6-2：三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，棱錐P-ABC的各棱長(zhǎng)為：PA＝2，PB＝3，PC＝4，AB13，BC＝5，AC＝2/5，則球O的表面積為（）.

A.28π

B.29π

C.30π

D.31π

問題6-3：已知D，E分別是邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC邊AC，AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿DE翻折使得平面ADE⊥平面BCDE，則棱錐A-BCDE外接球的表面積為______.

教學(xué)意圖：針對(duì)確定外接球球心位置不同方法對(duì)應(yīng)設(shè)置三個(gè)問題，即：球的定義法，長(zhǎng)方體（正方體）補(bǔ)形法，球的截面性質(zhì)的應(yīng)用.在問題解決中回歸到概念本身，學(xué)生理解了概念本身，應(yīng)用能力自然就隨之提高.深度學(xué)習(xí)不在于教師講了多少，而在于學(xué)生悟出了多少、獲得了多少.深度學(xué)習(xí)從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，采用能滿足學(xué)生發(fā)展需要的教學(xué)策略和教學(xué)手段，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生在積極、主動(dòng)的探知過程中掌握教學(xué)內(nèi)容.

2教學(xué)反思

在進(jìn)行基于深度學(xué)習(xí)的微專題教學(xué)時(shí)，教師還要考慮不同層次的學(xué)生存在認(rèn)知水平的差異，在教學(xué)中要不斷地優(yōu)化“微專題”的設(shè)計(jì)，盡可能引導(dǎo)學(xué)生由“淺層學(xué)習(xí)”逐步走向“深度學(xué)習(xí)”，發(fā)展學(xué)生的高階思維，以問題鏈、深度理解、總結(jié)反思等教學(xué)途徑促進(jìn)學(xué)生理解知識(shí)本質(zhì)、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高問題解決能力，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］布魯納.教育過程［Ｍ］.上海師范大學(xué)外國(guó)教育研究室譯.上海：上海人民出版社，1973.

［2］曹寶龍.學(xué)習(xí)與遷移［Ｍ］.杭州：浙江教育出版社，2019：2-８.

基金項(xiàng)目：江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究課題：高中數(shù)學(xué)反思性教學(xué)的策略研究（課題編號(hào)：2013JK10-L070）.