張梅秀

摘要：通過(guò)對(duì)2020年中考數(shù)學(xué)綜合題評(píng)析，教師有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要立足教材、夯實(shí)基礎(chǔ)，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問(wèn)題、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和交流問(wèn)題的習(xí)慣，進(jìn)而切實(shí)提高初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率.

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)；命題；課堂教學(xué)

二次函數(shù)的綜合題是中考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處命題，有利于深化知識(shí)、提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，同時(shí)兼顧基礎(chǔ)、循序漸進(jìn)、拾級(jí)而上. “基礎(chǔ)性、綜合性”是歷年中考的一個(gè)命題熱點(diǎn)，因此，教師要吃透學(xué)情、掌握考情，學(xué)會(huì)立足教材，拾級(jí)而上，逐步引導(dǎo)學(xué)生達(dá)到中考能力要求的制高點(diǎn)，這樣才能無(wú)往而不勝.如何幫助學(xué)生分析、解決這類(lèi)問(wèn)題，是初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)著重關(guān)心的問(wèn)題.

1試題呈現(xiàn)

縱觀全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試題，最后一道大題都是與二次函數(shù)相關(guān)的綜合題，知識(shí)容量大、思維方法靈活，對(duì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求高，具備一定的選拔和區(qū)分功能.

0例1（2020年甘肅省定西市中考數(shù)學(xué)試卷第28題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx－2交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA=2OC=8OB.點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn).

（1） 求此拋物線的表達(dá)式；

（2） 若PC∥AB求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3） 連接AC，求△PAC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).0

2導(dǎo)問(wèn)結(jié)合，分析探究

2.1回歸教材，發(fā)揮源題的基礎(chǔ)效力

立足教材是中考命題的一個(gè)原則，所以第（1）問(wèn)都能在教材中找到原型，相對(duì)穩(wěn)定.教學(xué)中教師要追根溯源，回歸教材，尋找豐富的源題，給學(xué)生一個(gè)“鮮活”事例，教學(xué)中先讓學(xué)生翻開(kāi)《義務(wù)教育教科書(shū)九年級(jí)上冊(cè)》第39頁(yè)探究題、第40頁(yè)練習(xí)第2題、第41頁(yè)習(xí)題22.1第10（1）—（4）題、第11題等等，學(xué)生看得見(jiàn)、摸得著，對(duì)學(xué)生解答本題有了著力點(diǎn)，然后對(duì)照本中考題引導(dǎo)學(xué)生再探究.

教師：如何求出二次函數(shù)的解析式？學(xué)生解答信心倍增，爭(zhēng)先恐后，報(bào)出答案.

學(xué)生1：題目給出二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax2+bx－2，現(xiàn)用待定系數(shù)法求解.

教師：是的，但注意解析式有幾個(gè)未知字母，就需要幾個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)代入，才能求解，函數(shù)解析式的確定，往往需要根據(jù)已知條件列方程（組）解決.運(yùn)算時(shí)力求準(zhǔn)確無(wú)誤，確保后繼問(wèn)題解答的正確性.

教學(xué)中夯實(shí)基礎(chǔ)，建立一個(gè)牢固的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、靈活的思維方法，面對(duì)較復(fù)雜的綜合題，能發(fā)揮克難攻堅(jiān)效力.

2.2認(rèn)清載體和“鑲嵌”三角形，抓住關(guān)鍵

在教材內(nèi)容基礎(chǔ)上與平面幾何知識(shí)交匯融合，選材上以拋物線為載體，鑲嵌具有一定幾何條件“內(nèi)接三角形”，然后求點(diǎn)的坐標(biāo)，考查坐標(biāo)法，滲透一些解析幾何思想.

教師：若PC∥AB，如何確定點(diǎn)P的坐標(biāo)？

學(xué)生2：因?yàn)閽佄锞€恒過(guò)點(diǎn)C（0，－2），又因?yàn)镻C∥AB，所以直線PC的表達(dá)式為y=－2.

學(xué)生3：點(diǎn)P的坐標(biāo)就是直線PC與拋物線y=x2+72x－2的交點(diǎn).

學(xué)生4：只需將y=－2代入拋物線的表達(dá)式，即－2=x2+72x－2，求解即可.

教師：三位同學(xué)回答得很好！解題思路自然，運(yùn)算也正確，銜接無(wú)縫.請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考：如何求這種情況下△PAC的面積？

學(xué)生5：因?yàn)椤鱌AC一邊的長(zhǎng)為PC=0－－72=72，其高OC=2，所以S△=12PC·OC=72.

教師：這位同學(xué)對(duì)幾何圖形觀察得很對(duì)，能夠感知三角形組成元素，找到了三角形的底邊和高.

縱觀近幾年全國(guó)各地的中考?jí)狠S題，不出例外的話，一方面可將幾何圖形的性質(zhì)運(yùn)用代數(shù)方法來(lái)研究，另一方面解答某些代數(shù)問(wèn)題又可借助幾何直觀.因此，教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣，從題干中抓住要素，從直觀圖形找到解決問(wèn)題的“切入點(diǎn)”，化難為易不在是遙不可及的事.

2.3拾級(jí)而上，實(shí)現(xiàn)由特殊到一般的推理方法

教師：如果P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，那么△PAC是一般的三角形，現(xiàn)在如何求△PAC的面積？

學(xué)生6：沒(méi)有直接可以利用三角形面積公式的條件時(shí)，可以采用分割法.

教師：太好了，曲徑通幽，實(shí)現(xiàn)了解題目標(biāo).請(qǐng)問(wèn)：如何分割？

學(xué)生7：過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，交線段AC于點(diǎn)E；過(guò)C作CM⊥PE，M為垂足.

教師：是這樣，這個(gè)過(guò)程結(jié)合求解目標(biāo)，你會(huì)想到什么？

學(xué)生8：把一個(gè)三角分割為兩個(gè)三角形△APE和△CPE，它們有同底PE和不同的高.

學(xué)生9：S△PAC=S△APE+S△PEC=12PE·AD+12PE·MC=12PE·AO.

教師：棒極了！求解三角形的面積設(shè)法把它分割為兩個(gè)三角形，發(fā)現(xiàn)同底不同高的三角形的高竟然可以轉(zhuǎn)化AD+CM=AD+DO=AO.想一想：如何求線段PE的長(zhǎng)？

學(xué)生10：由于P、E分別是直線PA與拋物線、直線AC和直線PE的交點(diǎn)，又PD⊥x軸，所以將x=m分別代入y=x2+72x－2和AC的表達(dá)式中就得到P，E兩點(diǎn)的直角坐標(biāo).

教師：直線AC的表達(dá)式如何求？

學(xué)生11：設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx－2（k≠0）.把A（－4，0）代入可得k=－12，所以直線AC的表達(dá)式為y=－12x－2.

學(xué)生12：設(shè)點(diǎn)P（m，m2+72m－2）（－4

學(xué)生13：點(diǎn)Em，－12m－2.

教師：緊緊抓住學(xué)生9給出的面積公式中，布列面積S關(guān)于變量m的二次函數(shù).

學(xué)生15：S△PAC=12×（－m2－4m）×4=－2m2－8m=－2（m+2）2+8.

教師：很好！數(shù)形結(jié)合，求解三角形面積，化歸轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.思維受阻是因?yàn)榛瘹w轉(zhuǎn)化方向不對(duì)或方法不當(dāng)，考查目標(biāo)最終落在對(duì)二次函數(shù)的最值上.

3真題解析

0解析：（1） 由y=ax2+bx－2可得點(diǎn)C（0，－2）.

因?yàn)镺A=2OC=8OB，所以A（－4，0），B12，0，把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx－2得a=1，b=7/2，所以拋物線的表達(dá)式為y=x2+7/2x－2.

（2） 因?yàn)镻C∥AB，C（0，－2），所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為－2，則－2=x2+72x－2，解得x1=－7/2，x2=0（舍），故P－72，－2.

（3） 設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx－2（k≠0），把A（－4，0）代入可得k=－12，所以直線AC的表達(dá)式為y=－12x－2.

如圖2，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，交線段AC于點(diǎn)E；過(guò)C作CM⊥PE，M為垂足. 設(shè)點(diǎn)P（m，m2+7/2m－2）（－4

于是，PE=PD－ED=－m2－4m，

所以，S△PAC=S△APE+S△PEC=12PE·AD+12PE·MC=12PE·AO=12×（－m2－4m）×4=－2m2－8m=－2（m+2）2+8，

所以當(dāng)m=－2時(shí)，（S△PAC）max=8. 此時(shí)m2+7/2m－2=（－2）2+7/2×（－2）－2=－5，故點(diǎn)P（－2，－5）.

0評(píng)注：本題第（1）利用待定系數(shù)法可求，其實(shí)質(zhì)是利用已知點(diǎn)A，B布列關(guān)于系數(shù)a，b的方程組，求解方程組即可.第（2）問(wèn)當(dāng)PC∥AB，暗含點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是－2，列方程－2=x2+7/2x－2求解即可；第（3）問(wèn)是二次函數(shù)與幾何最值、動(dòng)態(tài)問(wèn)題.用分割方法列出面積是點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m函數(shù)是關(guān)鍵，其次才是熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，注意利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題.

另外還可以C作CD∥AB，交AP于G，再過(guò)P，G作y軸的平行線，交CD于H，GN⊥x軸，垂足為N.這樣同樣將一個(gè)三角形的面積分割為兩個(gè)三角形面積之和，思路通暢，但運(yùn)算繁瑣，不作介紹.

4反思體悟

在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處精心設(shè)計(jì)考題，將知識(shí)、能力與素質(zhì)融為一體.中考命題必須以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》為命題理念及依據(jù)，充分落實(shí)課程目標(biāo)，確保復(fù)習(xí)方向.命題要有利于“教與學(xué)”的規(guī)律，所以回歸教材，在教材原題上精心設(shè)計(jì)；同時(shí)突出了升學(xué)考試的選拔甄別功能，命題要體現(xiàn)出探究性、創(chuàng)新性和綜合性.因此，教學(xué)中找出學(xué)生存在的問(wèn)題，吃透學(xué)情、考情，設(shè)計(jì)合理問(wèn)題梯度，深入剖析，澄清概念，保證絕大多數(shù)學(xué)生受益；要學(xué)會(huì)運(yùn)用知識(shí)之間的交叉、滲透和組合.如上述考題，講完后不再就題論題，進(jìn)行一題多變，我們可以再創(chuàng)設(shè)一些問(wèn)題情境，引領(lǐng)學(xué)生在解決復(fù)雜的問(wèn)題情境中，形成可遷移的正確方法、必備品格和關(guān)鍵能力，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再攀升.

解答這樣綜合題時(shí)，要善于將較復(fù)雜的問(wèn)題分解成若干個(gè)子問(wèn)題，各個(gè)擊破，注重通性通法；激發(fā)興趣，在打開(kāi)學(xué)生“邏輯通道”上換位思考，緩慢經(jīng)歷思維的縝密性，有足夠的時(shí)間消化，才能消除學(xué)生對(duì)壓軸題的畏懼感，攻難克艱，最終取得好的教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.