陳倉佚 吳 波 宋 峰

(1.成都天府第七中學(xué) 610218；2.南開大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院 300071)

2021 年亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽理論第一題以水錘效應(yīng)(或水擊現(xiàn)象)為背景求解不同情境下壓力管道中液體壓強(qiáng)和流速的變化，本文在參考答案的基礎(chǔ)上對(duì)該題進(jìn)行詳細(xì)分析與解答。

第一部分：壓強(qiáng)變化和壓強(qiáng)波傳播

問題1.1

如圖1所示，壓強(qiáng)為P0的流體，在閥門出口突然受阻時(shí)，壓強(qiáng)突變?yōu)镻1=P0+ΔPs，并產(chǎn)生向上游(向左)傳播的壓強(qiáng)波，其傳播速度為c，振幅為ΔPs。靠近閥門的流體單元速度從v0變?yōu)関1(v1≤0)，即速度的變化為Δv=v1-v0。取向右為x正方向。

在以速度c向左移動(dòng)(沿x負(fù)方向)的參考系中，壓強(qiáng)波中流體的速度為c+v1。而壓強(qiáng)波前方迎面流入的流體速度為c+v0。壓強(qiáng)波中流體的密度為ρ1。根據(jù)質(zhì)量守恒，由流體連續(xù)性方程可得

令密度變化Δρ≡ρ1-ρ0，則有

圖1 速度為c的壓強(qiáng)波(陰影部分)

在閥門關(guān)閉后極短的時(shí)間間隔τ內(nèi)，對(duì)于在時(shí)間τ內(nèi)流過的單位面積內(nèi)流體質(zhì)量微元Δm=ρ0(c+v0)τ，施加給它的沖量必須等于其動(dòng)量變化。因此運(yùn)用動(dòng)量定理有

題目中給出壓強(qiáng)變化ΔPs與速度的改變量Δv的關(guān)系可表示為ΔPs=αρ0cΔv，因此可以得到系數(shù)

式(4)和(5)中的負(fù)號(hào)是因?yàn)閴簭?qiáng)波的傳播方向與x軸正方向相反。此外還需注意，對(duì)于壓縮波(ΔPs＞0)，傳遞給流體單元的速度與波的傳播方向一致，而對(duì)于膨脹波(ΔPs＜0)則與波傳播方向相反。

聯(lián)立式(2)和(4)可得

根據(jù)題目中體積模量B的定義ΔP=，其中V0為流體微元在壓強(qiáng)下P0的體積，假設(shè)B為常數(shù)，可得

聯(lián)立式(6)和(7)可得

因此壓強(qiáng)波速度表示為

第一部分評(píng)述

第一部分為整個(gè)題目的基礎(chǔ)物理模型，要求定量分析均勻圓柱形管道中的水流在閥門突然全部關(guān)閉時(shí)流體壓強(qiáng)變化和壓強(qiáng)波的傳播速度。流速改變量已知時(shí)，對(duì)流體微元進(jìn)行分析，運(yùn)用動(dòng)量定理可導(dǎo)出壓強(qiáng)變化量與波速、流速變化量的關(guān)系。根據(jù)連續(xù)性方程可求得流體密度變化量與波速、流速變化量的關(guān)系。最后根據(jù)壓強(qiáng)變化與體積變化的關(guān)系可以得出壓強(qiáng)波波速與流體體積模量、密度和穩(wěn)定流速之間的關(guān)系，從而求出題目中三個(gè)系數(shù)的表達(dá)式。代入水流的相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算得閥門突然關(guān)閉時(shí)產(chǎn)生的水擊壓強(qiáng)可以達(dá)到大氣壓強(qiáng)的幾十倍。

第二部分：流量控制閥模型

問題2.1

假設(shè)流體不可壓縮，忽略重力影響，由理想流體的伯努利方程可得

其中Pin、Pa表示管道內(nèi)流體壓強(qiáng)和大氣壓強(qiáng)，vin、vc表示管道內(nèi)流體流速和閥門出口處流體流速。由流體體積不可壓縮有，根據(jù)收縮系數(shù)的定義代入可得

式(17)表明壓強(qiáng)改變量ΔPin是關(guān)于vin的二次函數(shù)。

第二部分評(píng)述

圖2 閥門尺寸和噴射口的收縮示意圖

本部分是對(duì)水擊壓強(qiáng)傳遞基礎(chǔ)模型的進(jìn)一步研究，根據(jù)理想流體伯努利方程和連續(xù)性方程計(jì)算閥門噴射口外徑收縮至最小值時(shí)流體壓強(qiáng)的變化量[1]。該變化量與流體截面收縮系數(shù)、管道內(nèi)流速有關(guān)；收縮系數(shù)則由閥門幾何尺寸(傾角和內(nèi)外徑比值)決定。本部分結(jié)論將直接用于研究壓力管道內(nèi)的水擊壓強(qiáng)傳播時(shí)在閥門附近的變化規(guī)律。

第三部分：流量控制閥快速關(guān)閉引起的水錘效應(yīng)

問題3.1

儲(chǔ)液器底端靠近管道的液體壓強(qiáng)Ph=Pa+ρ0gh，根據(jù)流體伯努利方程可得：

上式中，h為儲(chǔ)液器液面相對(duì)于管道的高度。閥門外流體速度vc可根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)表示為。再根據(jù)不可壓縮流體體積不變的特點(diǎn)可得出

完全打開閥門時(shí)Cc(r=R)=1.0，代入得流體流速為v0=vc=

因此有流體壓強(qiáng)

問題3.2

當(dāng)閥門打開時(shí)，管道中的流體以速度v0和壓強(qiáng)P0穩(wěn)定流動(dòng)。閥門突然關(guān)閉時(shí)，閥門附近的流體單元停止運(yùn)動(dòng)(v1=0)，壓強(qiáng)的變化量為ΔPs，速度的變化量則為Δv=v1-v0=-v0。由式(5)可得流體的壓強(qiáng)變化量

儲(chǔ)液器與管道連接位置的恒定液體靜壓強(qiáng)為Ph=P0+ρ0gh。當(dāng)向左傳播的壓縮波(ΔPs＞0)到達(dá)儲(chǔ)液器端時(shí)，流體壓強(qiáng)下降，壓縮波將反射為膨脹波向右傳播。與靜壓強(qiáng)Ph相比，向左的壓縮波振幅為ΔP1r=P1-Ph，因此向右反射的膨脹波(ΔPs＜0)振幅為ΔP'1=-ΔP1r，

于是有

此處壓強(qiáng)波振幅可正可負(fù)，其中負(fù)振幅表示膨脹波。根據(jù)式(5)可知管道儲(chǔ)液器端流體的速度變化為(壓強(qiáng)波的傳播方向?yàn)閤軸正方向)：

因此管道儲(chǔ)液器端的流體速度變?yōu)?/p>

在管道內(nèi)反射膨脹波未傳播到的位置，流體速度和壓強(qiáng)未發(fā)生改變，速度仍然為v1=0，流體壓強(qiáng)仍為P1=P0+ΔPs，但反射膨脹波到達(dá)處的流體微元速度變?yōu)?/p>

也就是說管道中的流體正在向儲(chǔ)液器方向倒流。

第三部分評(píng)述

本部分內(nèi)容與壓力管道中水錘效應(yīng)導(dǎo)致的液體壓強(qiáng)和流速變化直接相關(guān)，分別討論了閥門完全打開和閥門立即完全關(guān)閉兩種情況下管道流體的壓強(qiáng)和速度。實(shí)際問題中，水錘效應(yīng)發(fā)生最常見的原因就是流體管道閥門突然關(guān)閉。利用第一部分的結(jié)論可求解出壓強(qiáng)波到達(dá)儲(chǔ)液器端時(shí)管道內(nèi)的流體壓強(qiáng)和速度。壓強(qiáng)波在向上游儲(chǔ)液器端傳播時(shí)壓強(qiáng)增大，又與管道中原定的流體流動(dòng)方向相反，稱為增壓逆波。儲(chǔ)液器與管道連接位置的恒定液體靜壓強(qiáng)較低，因此壓強(qiáng)波在儲(chǔ)液器端發(fā)生反射后從壓縮波變?yōu)榕蛎洸?。根?jù)反射膨脹波的特點(diǎn)可解出管道在儲(chǔ)液器端的流體壓強(qiáng)和速度變化，再根據(jù)入射波與反射波的疊加(包括壓強(qiáng)和流體速度)可得反射波到達(dá)閥門時(shí)管道中的流體壓強(qiáng)和速度。本部分題目?jī)?nèi)容難度不高，需要提前掌握流體受擾動(dòng)形成的壓強(qiáng)壓縮波和膨脹波的基本特點(diǎn)。

第四部分：流量控制閥緩慢關(guān)閉引起的水錘效應(yīng)

問題4.1

本題目中，取儲(chǔ)液器底端流體靜壓強(qiáng)Ph與P0近似相等(Ph=P0+ρ0gh≈P0)，相當(dāng)于把所有結(jié)果中h的值取為0。

(1)關(guān)閉步驟n=1

在閥門處，啟動(dòng)關(guān)閉步驟n=1 后，流體壓強(qiáng)立刻從P0突變?yōu)镻1，使流速從v0變?yōu)関1。壓強(qiáng)和速度的變化關(guān)系由式(5)ΔPs=-ρ0cΔv給出：

在壓強(qiáng)波剛好被儲(chǔ)液器反射之前，整個(gè)管道中的流體壓強(qiáng)為P1，速度為v1。從被儲(chǔ)液器反射后(即成為壓強(qiáng)波的自由端)到關(guān)閉步驟n=2 前，將式(28)中h取為0，則整個(gè)管道中的流體壓強(qiáng)為

(2)關(guān)閉步驟n=2

啟動(dòng)關(guān)閉步驟n=2 后，閥門壓強(qiáng)立刻從P0突變?yōu)镻2，流速從＇變?yōu)関2。壓強(qiáng)和速度的變化關(guān)系由式(5)和(33)可得：

代入式(31)可將上式改寫為

在壓強(qiáng)波剛好被儲(chǔ)液器反射之前，整個(gè)管道中的流體壓強(qiáng)為P2，速度為v2。從被儲(chǔ)液器反射后到關(guān)閉步驟n=3前，整個(gè)管道中的流體壓強(qiáng)為

(3)關(guān)閉步驟n=3

啟動(dòng)關(guān)閉步驟n=3 后，閥門壓強(qiáng)立刻從P0突變?yōu)镻3，使流速從＇變?yōu)関3。壓強(qiáng)和速度的變化關(guān)系由式(5)和(37)可得：

利用式(34)，可以將上式改寫為

在壓強(qiáng)波剛好被儲(chǔ)液器反射之前，整個(gè)管道中的流體壓強(qiáng)為P3，速度為v3。從被儲(chǔ)液器反射后到關(guān)閉步驟n=4前，整個(gè)管道中的流體壓強(qiáng)為

(4)關(guān)閉步驟n=4

關(guān)閉步驟n=4啟動(dòng)時(shí)，閥門被完全關(guān)閉，此時(shí)閥門變成一個(gè)固定端，因此流體速度從v3＇ 變?yōu)関4=0。壓強(qiáng)和速度的變化關(guān)系由式(5)和(41)可得：

代入式(38)可將上式改寫為

根據(jù)以上四個(gè)關(guān)閉步驟的結(jié)果可得所有閥門關(guān)閉步驟中壓強(qiáng)增量和速度變化量的關(guān)系式都有著相同的形式：

上式中ΔP0和v4的大小分別為ΔP0=0和v4=0。

根據(jù)第二部分中式(16)和(18)，可以得到ΔPn和vn的另一個(gè)關(guān)系式：

用Cn表示r=rn時(shí)的收縮系數(shù)Cc，則式(18)中的系數(shù)kn表示為

將式(45)代入式(44)，可以得到關(guān)于vn的二次方程：

利用一元二次方程求根公式求解方程(47)得：

由式(45)可知ΔPn-1是關(guān)于vn-1的二次函數(shù)。當(dāng)vn-1已知時(shí)，可求出ΔPn-1。ΔPn-1和vn-1都已知的情況下，則可通過式(48)計(jì)算vn，最后ΔPn通過式(45)得出。因此，式(44)可以從n=1 迭代到n=3 進(jìn)行求解。對(duì)于關(guān)閉步驟n=4 的情況，將vn=0 代入式(44)可直接得出ΔPn。

問題4.2

本題將根據(jù)問題4.1 的結(jié)果，選取流速為v0=4.0 m/s的水作為管道中的流體，通過繪制ΔP-ρ0cv圖像求解問題。為便于用圖像法求解式(44)和(45)，我們將這兩式改寫為：

在ΔP-ρ0cv曲線中，式(49)和(50)分別表示為一條過點(diǎn)(ρ0cvn-1，-ΔPn-1)且斜率為-1 的直線和一條過原點(diǎn)的拋物線。根據(jù)圖像我們可以通過確定兩條曲線的交點(diǎn)來獲得閥門每一個(gè)關(guān)閉步驟過程中對(duì)應(yīng)的壓強(qiáng)變化和流速。所得結(jié)果如下圖3和表1所示。

第四部分評(píng)述

表1 閥門緩慢關(guān)閉過程中閥門處流體壓強(qiáng)增量和流速( ρ0c=1.50×106 kg·m-2·s-1 v0=4.0m s)

本部分描述的物理情境與實(shí)際生產(chǎn)生活中壓力管道內(nèi)由水擊引發(fā)的壓強(qiáng)波傳播過程比較接近。將壓力管道閥門的關(guān)閉分為4 個(gè)過程，每個(gè)過程的持續(xù)時(shí)間與壓強(qiáng)波在管道中往返一次所需的時(shí)間相等。問題4.1 的解答過程看似繁瑣，實(shí)際上在將管道靠近儲(chǔ)液器一端的靜壓強(qiáng)近似為大氣壓強(qiáng)后，利用第三部分中壓強(qiáng)波到達(dá)儲(chǔ)液器端和反射回閥門端時(shí)流體壓強(qiáng)和速度的公式，即可導(dǎo)出閥門不同關(guān)閉過程中壓強(qiáng)增量和速度變化量的關(guān)系式；再利用第二部分中的管道內(nèi)流體壓強(qiáng)增量與流速的關(guān)系式，可以得出連續(xù)兩次關(guān)閉過程中管道內(nèi)流體流速、壓強(qiáng)增量的關(guān)系；代入初始流體壓強(qiáng)和流速即可迭代求解出任意閥門關(guān)閉過程中的流速和壓強(qiáng)增量。從結(jié)果可得，緩慢關(guān)閉閥門時(shí)水擊壓強(qiáng)增量比瞬間關(guān)閉閥門造成的水擊壓強(qiáng)增量小得多。問題4.2則可看作借助函數(shù)圖像進(jìn)行求解方程的一個(gè)范例。

水擊壓強(qiáng)波的傳播速度很大，因此水擊循環(huán)一次所需的時(shí)間很短，所以管道受到迅速變化的一脹一縮的交變力的作用。但由于實(shí)際流體具有黏性，摩擦及管道變形均需要消耗能量，所以水擊波不可能無休止地傳播下去，而是逐漸衰減直至消失。實(shí)際上與水擊相關(guān)的理論研究較多，過程中涉及流體動(dòng)力學(xué)理論模型建立以及計(jì)算方法，需要具備較好的數(shù)理能力[2]。

水錘效應(yīng)的危害與防治

實(shí)際中壓力管道內(nèi)的水擊遠(yuǎn)比本題目中考慮的情況復(fù)雜。閥門的突然關(guān)閉或開啟，水泵的突然啟動(dòng)或停止，水輪機(jī)或液壓油缸突然變化負(fù)載等都有可能引起管道中液體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)突然改變，從而導(dǎo)致壓強(qiáng)的突變，并在管長(zhǎng)范圍內(nèi)傳播，形成水錘效應(yīng)。當(dāng)閥門迅速關(guān)閉時(shí)，管內(nèi)流速急劇下降，壓強(qiáng)迅速上升，稱為正水擊，可能使管道爆裂。而當(dāng)閥門迅速開啟時(shí)，管內(nèi)流速急劇上升，壓強(qiáng)迅速下降，稱為負(fù)水擊，可使管道產(chǎn)生真空和汽蝕，導(dǎo)致管道變形[3,4]。

由于對(duì)管路系統(tǒng)十分有害，因此工業(yè)應(yīng)用中必須設(shè)法削弱它的作用，具體可采用以下幾方面的措施：

(1)延長(zhǎng)閥門的關(guān)閥或開啟時(shí)間，或縮短管長(zhǎng)，盡量將直接水擊變?yōu)殚g接水擊。

(2) 限制管路流速，一般液壓系統(tǒng)中最大流速限制在5～7 m/s左右。

(3)閥門前設(shè)置空氣室或溢流閥，水擊發(fā)生時(shí)，空氣室里的空氣受到壓縮，或在水擊發(fā)生時(shí)，將部分液體從管中放出，從而使水擊壓強(qiáng)降低。

(4)增加管道彈性，例如液壓系統(tǒng)中，銅管鋁管就比鋼管有更好的防水擊性能；或采用彈性較大的軟管，如橡膠或尼龍管吸收沖擊能量，則可更明顯地減輕水擊。