萬衛(wèi)平

［摘? 要］ 內(nèi)隱性課程資源對數(shù)學(xué)教學(xué)有著舉足輕重的影響，挖掘并整合內(nèi)隱性課程資源，是促進(jìn)學(xué)生知識自主建構(gòu)的根本. 文章以“空間幾何體的表面積”教學(xué)為例，提出幾點實施措施：挖掘環(huán)境資源，激發(fā)學(xué)生情感；挖掘過程資源，發(fā)現(xiàn)知識來源；挖掘思想資源，實現(xiàn)知識遷移；挖掘聯(lián)系資源，完善知識體系；挖掘拓展資源，靈活應(yīng)用提升.

［關(guān)鍵詞］ 內(nèi)隱性資源；課堂教學(xué)；效率

喻平教授提出：數(shù)學(xué)課程資源有內(nèi)隱性與外顯性兩類. 外顯性資源主要是指看得見、摸得著的課程資源，如教材、講義、課件、多媒體等；內(nèi)隱性資源包含素材性與條件性兩類. 內(nèi)隱素材性資源主要指潛藏于顯性知識內(nèi)層的隱性內(nèi)容，如知識的文化、過程、邏輯與背景等元素；內(nèi)隱條件性資源主要指教師對課程資源的理解程度，它與外顯條件性資源一起構(gòu)建出適宜學(xué)習(xí)的環(huán)境，幫助學(xué)生構(gòu)建智力與非智力因素［1］.

隨著新課改的推進(jìn)，如今的數(shù)學(xué)課堂更關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 究竟如何將它落實在實踐層面呢？實踐證明，真正高品質(zhì)的課堂，不僅要利用好各種外顯性資源，還要充分挖掘內(nèi)隱性資源，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地參與教學(xué)活動，提升對知識的理解程度、思考力與創(chuàng)新意識.

本文以“空間幾何體的表面積”教學(xué)為例，具體談?wù)剝?nèi)隱性資源的挖掘與應(yīng)用，對課堂有效生成產(chǎn)生的正面影響.

挖掘環(huán)境資源，激發(fā)學(xué)生情感

孟母三遷的故事，人皆知曉. 環(huán)境對教育的影響，從古至今都受到人們的重視. 良好的環(huán)境可以讓人心情舒暢，提高辦事效率，同樣良好的教學(xué)環(huán)境也利于學(xué)生的學(xué)習(xí)與成長. 反之，嘈雜、喧鬧、不愉快的教學(xué)環(huán)境，會讓學(xué)生心煩意亂，難以集中注意力，干擾學(xué)習(xí)成效.

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)充分挖掘內(nèi)隱性環(huán)境資源，結(jié)合學(xué)生的生活實際，讓學(xué)生獲得身臨其境之感，從而產(chǎn)生積極、良好的情感體驗，為更好地接納知識奠定情感基礎(chǔ). 如本節(jié)課，筆者就從學(xué)生熟悉的校園出發(fā)，挖掘出其中隱含的課程資源，以激發(fā)學(xué)生對知識的探究熱情，為課堂的有效生成奠定基礎(chǔ).

師：咱們教室西側(cè)的那座樓，因年代久遠(yuǎn)，外墻涂料出現(xiàn)了脫落的現(xiàn)象，若想將這座樓的外墻粉刷一遍，我們該怎樣估算所需的材料？

生1：首先要明確外墻的表面積是多少.

師：大家先觀察一下它的形狀.

生2：此樓的底端為六棱柱，頂端是六棱錐，我們需要弄清楚它們的表面積.

師：非常好！這就是我們這節(jié)課將要研究的主要問題：幾何體表面積的計算.

教師從學(xué)生的生活實際出發(fā)，用肉眼可見的外顯性資源（學(xué)校建筑）作為情境創(chuàng)設(shè)的素材，讓學(xué)生探討、分析素材內(nèi)隱的教學(xué)意義. 挖掘環(huán)境資源的教學(xué)功能，成功地吸引住了學(xué)生的注意力，不僅順利地引入了本節(jié)課的教學(xué)主題，還有效地激發(fā)了學(xué)生的探究欲，為接下來的教學(xué)鋪設(shè)了臺階.

挖掘過程資源，發(fā)現(xiàn)知識來源

知識的形成與發(fā)展都需要經(jīng)歷一個過程，教師若直接將知識的結(jié)論與內(nèi)涵呈現(xiàn)給學(xué)生，只會讓學(xué)生機械記憶，難以從真正意義上理解知識. 而挖掘教學(xué)過程資源，能讓學(xué)生明晰知識的來龍去脈，從而對知識產(chǎn)生深刻理解，為解題夯實基礎(chǔ).

師：現(xiàn)在我們先從棱柱開始分析，如圖1所示，我們能否從某種屬性出發(fā)，將它們分為兩類？

生3：可將①②歸為三棱柱一類，③④歸為四棱柱一類.

生4：可將①③歸為一類，②④歸為一類，因為①③兩個棱柱的側(cè)棱都不與底面垂直，而②④兩個棱柱的側(cè)棱都與底面垂直.

師：都有道理. 我們將側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱，如果直棱柱的底面恰好是正多邊形，那么我們就稱這個直棱柱為正棱柱. 例如圖1中的棱柱②，如果它的底面為正三角形，那么該棱柱則為正三棱柱. 我們再回頭看粉刷的那幢樓，樓底端就是一個典型的正六棱柱. 現(xiàn)在我們一起來分析直棱柱的每個側(cè)面，它們是什么圖形？理由是什么？

生5：是矩形，因為直線與底面是垂直的關(guān)系，因此與底面內(nèi)的任意直線都是垂直的關(guān)系.

師：不錯！我們先一起來看看直三棱柱的表面積，它具體包括哪些面？

生6：應(yīng)該是三個側(cè)面以及兩個底面.

師：從我們原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，底面積很容易就能求到，但側(cè)面積該怎么求呢？

生8：矩形的面積公式與此式類似，矩形的長與棱柱底面的周長對應(yīng)，矩形的寬與棱柱的高對應(yīng).

師：非常好！若將棱柱體轉(zhuǎn)化為矩形，可以怎么操作？

生9：只要沿著一條側(cè)棱剖開，再展開即可.

師：很好，這個思路適合應(yīng)用到四、五、六……n棱柱嗎？

（學(xué)生沉默）

師：大家看我這里從超市買回來的巧克力（學(xué)生瞬間來了精神），現(xiàn)在我將它分發(fā)到各組，大家一起觀察一下它的形狀，并想辦法完整地打開它的“外衣”.

巧克力為正五棱柱形狀，兩底面包裹著稍硬的紙，側(cè)面包裹著金箔紙，各組學(xué)生細(xì)心地用小刀劃開它的側(cè)面，展開后得到一個矩形. 最后各組總結(jié)、歸納，匯報如下：①直棱柱完全展開后，可得一個矩形；②展開直棱柱，即將一個立體圖形轉(zhuǎn)化成一個平面圖形；

隨著過程資源的開發(fā)，學(xué)生因親歷了知識形成的過程，對直棱柱的側(cè)面積有了更加形象、具體的認(rèn)識. 若教師在此環(huán)節(jié)中，直接將這個公式傳授給學(xué)生，學(xué)生雖然能記住，但對于公式的由來缺乏直觀的認(rèn)識，當(dāng)實際應(yīng)用時，只能生搬硬套. 而經(jīng)歷了公式形成的過程，則能熟練、靈活地應(yīng)用該公式，為解決綜合性問題夯實了基礎(chǔ).

挖掘思想資源，實現(xiàn)知識遷移

學(xué)教學(xué)不僅僅是知識與技能的教學(xué)，更重要的是數(shù)學(xué)思想方法的滲透. 教師在教學(xué)活動實施中，應(yīng)深層次地剖析教材與學(xué)生，把握好教材蘊含的內(nèi)隱性資源（數(shù)學(xué)思想方法），幫助學(xué)生更好地實現(xiàn)知識的遷移，為學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系提供幫助［2］.

生10：把棱柱的一個底面收縮成一點，就形成棱錐了.

師：若收縮正棱柱的上底面，到達(dá)什么位置時，所獲得的棱錐視覺效果最好？為什么？

生11：收縮到正中心處視覺效果最好，因為此時的棱錐具有對稱美.

師：將收縮到正中心處的頂點與下底面的中心點連接起來，所得到的直線與下底面是怎樣的位置關(guān)系？

生12：應(yīng)該是線面垂直的關(guān)系，且垂線段的長就是棱錐的高（h）.

師：若一個棱錐的底面為正多邊形，頂點在底面的正投影位于中心位置，則此棱錐為正棱錐. 咱們教室旁邊的這幢樓的頂端就是一個典型的正六棱錐. 現(xiàn)在我們一起來分析正棱錐有哪些性質(zhì)，表面積應(yīng)該怎么計算.

例1 已知一個正三棱錐的底面邊長為2 m，高為1 m，則該正三棱錐的表面積是多少？

師：想要求解本題，需要經(jīng)歷哪些過程？

生13：先要求出三個側(cè)面（等腰三角形）的面積，其底邊上的高是必備條件.

師：為了區(qū)別棱錐的高，我們將側(cè)面三角形的高稱為斜高（h′），斜高該怎么求呢？一般解決空間幾何問題，會涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法？

生14：最常用的是轉(zhuǎn)化思想方法，即將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題進(jìn)行解決.

師：本題該從什么角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？

師：太棒了！分析得很到位. 通過本題，我們一起來總結(jié)一下正棱錐的性質(zhì)，以及表面積的計算方法、公式等.

經(jīng)過師生溝通與交流，梳理出以下結(jié)論：

類比正棱柱，正棱錐具備的性質(zhì)有：①正棱錐的每個側(cè)面均為一樣大的等腰三角形；②正棱錐的斜高h(yuǎn)′、高h(yuǎn)、中心點到邊的距離（底面內(nèi)切圓的半徑）r可構(gòu)成一個直角三角形；③正棱錐的高、側(cè)棱以及底面的外接圓半徑也可以構(gòu)成直角三角形；

類比正棱錐，師生又共同總結(jié)出了正棱臺的相關(guān)定義與性質(zhì)：①正棱臺的側(cè)面為全等的等腰梯形；②正棱臺的斜高h(yuǎn)′、高h(yuǎn)，上、下底面內(nèi)切圓的半徑r、r′可構(gòu)成直角梯形；③正棱臺的側(cè)棱、高、兩個底面外接圓的半徑也可構(gòu)成直角梯形；分別為兩底面的周長與側(cè)面斜高），側(cè)面展開圖即各個側(cè)面形成的n個梯形.

轉(zhuǎn)化、類比等思想的應(yīng)用，讓學(xué)生對知識產(chǎn)生了更為清晰的認(rèn)識，并通過自主探究與合作交流，主動獲得了正棱錐與正棱臺的性質(zhì). 這是數(shù)學(xué)思想方法對知識遷移產(chǎn)生的正向影響，學(xué)生所學(xué)的知識，隨著時間的推移有可能被遺忘，但所獲得的數(shù)學(xué)思想方法，卻根植于學(xué)生的思維中，會讓學(xué)生形成受益終身的能力［3］.

挖掘聯(lián)系資源，完善知識體系

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性學(xué)科，知識間有著密切的聯(lián)系. 教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入到隱性的知識聯(lián)系資源中，幫助學(xué)生厘清知識間的關(guān)系，形成良好的思維導(dǎo)圖，為建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ).

師：通過以上分析，誰來說說正棱柱、正棱錐、正棱臺三者的側(cè)面積公式間存在著怎樣的聯(lián)系？

生16：若正棱臺的上底面不斷縮小，直至成為一點時，就形成了正棱錐；若正棱臺的上底面不斷擴(kuò)大，直至與底面相同時，就形成了正棱柱. 當(dāng)然，側(cè)面積公式會隨著圖形的變化而改變.

師：不錯，從這兩種變化來看，正棱臺的側(cè)面積公式更具一般性，而數(shù)形間的變化也是相輔相成的關(guān)系. 那么，圓柱、圓臺與圓錐的側(cè)面積公式，該怎么獲得呢？

這個問題把課堂推向了一個新的高潮，有學(xué)生認(rèn)為可以將圓柱、圓臺與圓錐的側(cè)面積對應(yīng)地轉(zhuǎn)化為正棱柱、正棱臺與正棱錐的側(cè)面積去分析，也有學(xué)生不能理解這種轉(zhuǎn)化方法. 隨即，教師提出了劉徽的“割圓術(shù)”，即將正n邊形的n值無限放大，n值越大，正n邊形與圓越接近，那么正n邊形的面積也就越接近圓的面積. 同理，分別無限放大正n棱柱、正n棱臺與正n棱錐的n值，其側(cè)面積就接近圓柱、圓臺與圓錐的側(cè)面積.

這種無限接近，以直代曲的數(shù)學(xué)思想，在后期的學(xué)習(xí)中會不斷涉及，所以教師在此加以滲透，既深化了學(xué)生對本節(jié)課知識的理解，又加強了知識間的聯(lián)系，滲透了數(shù)學(xué)思想方法，為學(xué)生建立完整的認(rèn)知體系奠定了基礎(chǔ).

挖掘拓展資源，靈活應(yīng)用提升

任何知識的掌握程度，都在實際應(yīng)用中得以體現(xiàn). 本節(jié)課至此，學(xué)生對幾個公式的由來已經(jīng)有了明確的認(rèn)識，并進(jìn)行了橫向拓展，厘清了相關(guān)知識間存在的聯(lián)系. 接下來，教師與學(xué)生一起探討公式的實際應(yīng)用與拓展.

例2 若要建造一個正四棱錐形的塔頂，塔高為0.8 m，底面的邊長為1.2 m，求建造塔頂所需材料的面積.

分析 結(jié)合勾股定理，可獲得塔頂?shù)男备遠(yuǎn)′為1 m，運用公式計算，建造塔頂所需材料的面積為2.4 m2.

當(dāng)學(xué)生順利解決此題后，教師帶領(lǐng)學(xué)生回到課堂初始問題——計算教室旁邊那座樓的外墻面積.

例3 如圖2所示，在正三棱錐P－ABC中，已知側(cè)棱的長為2，∠BPA=30°，點D，E分別為側(cè)棱PB，PC上的點，求△DEA的最小周長值.

分析 利用代數(shù)法解決本題，難度較大，若用展開思想就簡單多了. 沿側(cè)棱AP剪開、展開、鋪平，獲得圖3所示的圖形，借助勾股定理，可得△DEA的最小周長值為2.

師：若已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，根據(jù)這兩個條件，請大家編擬一道和例3相似的試題，并作答.

這是一個典型的開放性問題，對學(xué)生的思維有較大的挑戰(zhàn). 大部分學(xué)生都樂于解決這樣的問題，編擬出來的試題也是五花八門、豐富多彩，讓整個課堂充滿了生命力.

隨著知識實際應(yīng)用的探索，學(xué)生對本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容有了更深層次的理解. 隨著問題的逐漸復(fù)雜，學(xué)生的思維也拾級而上，尤其是開放性問題的設(shè)置，讓不少學(xué)生對知識的拓展與應(yīng)用產(chǎn)生了濃厚的興趣，此過程有效地提升了學(xué)生的解題能力與思維能力.

總之，課程內(nèi)隱性資源有很多，除了本文涉及的實際環(huán)境、知識形成過程、邏輯關(guān)系與思想方法等因素外，還包括教師的業(yè)務(wù)水平、學(xué)生的認(rèn)知情況、實際教學(xué)方法等. 作為一線數(shù)學(xué)教師，應(yīng)不斷提升自身的業(yè)務(wù)能力，用與學(xué)生認(rèn)知水平相匹配的教學(xué)手段開展教學(xué)活動. 不斷開發(fā)內(nèi)隱性課程資源，將外顯性課程資源與內(nèi)隱性課程資源有機地結(jié)合起來，能有效促進(jìn)學(xué)生的自我建構(gòu).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 喻平.論內(nèi)隱性數(shù)學(xué)課程資源［J］. 中國教育學(xué)刊，2013（07）：59-63.

［2］ 布魯納. 教育過程［M］. 邵瑞珍，譯. 北京：文化教育出版社，1982.

［3］ 曹才翰，章建躍. 數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.