江蘇省新海高級(jí)中學(xué) (222006) 宋秀云

根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,高中數(shù)學(xué)新教材對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)課程將《立體幾何》內(nèi)容分成兩部分:必修第二冊(cè)第八章《立體幾何初步》和選擇性必修第一冊(cè)第一章《空間向量與立體幾何》．第一部分內(nèi)容,要求學(xué)生在掌握立體幾何的基本概念和基本知識(shí)的基礎(chǔ)上,重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、幾何直觀能力和空間想象能力等;第二部分內(nèi)容則引入空間向量的概念,提供了解決幾何問題的新思路和新方法,拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)視野,也有助于學(xué)生更深入的理解幾何知識(shí)．

1．實(shí)例分析

基于“三新”(新教材、新課程、新高考)背景,結(jié)合幾何學(xué)的數(shù)學(xué)史發(fā)展過(guò)程,以及立體幾何的教學(xué)要求,在解決立體幾何問題時(shí)主要借助兩種常規(guī)方法來(lái)解決問題:綜合法和向量法．下面結(jié)合最新模擬卷中的數(shù)學(xué)試題加以分析與應(yīng)用,進(jìn)一步對(duì)比綜合法和向量法這兩種方法在解決空間立體幾何問題中的聯(lián)系與差異．

圖1

圖2

(1)當(dāng)λ為何值時(shí),BF⊥PD;

此題以圖形折疊問題來(lái)創(chuàng)設(shè)問題情境,第(1)小題以參數(shù)λ的求值來(lái)設(shè)置,探究線線垂直關(guān)系問題．這里既含有參數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算,也含有空間元素位置關(guān)系的邏輯推理,兩者合理交匯與融合,借助平面圖形的折疊,形成疊加效應(yīng),從平面幾何到立體幾何,又從立體幾何到平面幾何,合理升降維度,巧妙數(shù)學(xué)思維;

第(2)小題以線面角的確定來(lái)設(shè)置,求解面面角的大小問題．這里以空間角中兩個(gè)最典型的線面角與面面角為條件與結(jié)論,合理創(chuàng)設(shè)條件來(lái)求解對(duì)應(yīng)的結(jié)論,形成不同空間元素之間的關(guān)聯(lián),構(gòu)建一個(gè)更加完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系．

在實(shí)際處理以上兩個(gè)問題時(shí),都可以借助綜合法來(lái)邏輯推理,也可以借助向量法來(lái)數(shù)學(xué)運(yùn)算,都可以從不同視角與層面加以分析與解決,達(dá)到解決問題的目的,真正有效考查考生的知識(shí)與能力．

2．試題解析

解析：(1)方法一：(綜合法)

圖3

圖4

4．方法總結(jié)

在立體幾何中,判斷或處理空間元素的位置關(guān)系以及求解空間角或空間距離等問題時(shí),綜合法和向量法是兩種最常用的分析方法．對(duì)比以上兩種解決方法以及對(duì)應(yīng)的解題思路,各有千秋,各有特點(diǎn)．

4．1 綜合法

綜合法解決問題的依據(jù)是相關(guān)概念和定理,正確的認(rèn)識(shí)概念和定理的本質(zhì)是解決問題的基礎(chǔ)．在具體幾何圖形中,位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化,都需要學(xué)生經(jīng)歷不同層次的探索與認(rèn)識(shí),經(jīng)歷觀察、想象、操作、推理等過(guò)程,對(duì)學(xué)生理解圖形本質(zhì)的特征是有實(shí)質(zhì)性幫助．在使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)方面,要精準(zhǔn),簡(jiǎn)明,有層次,有條理的表達(dá)出來(lái);熟練的掌握自然語(yǔ)言、圖象語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γ@也是重視幾何教學(xué)的一個(gè)重要原因．

同時(shí),綜合法證明幾何元素間的位置關(guān)系主要是通過(guò)判定定理和性質(zhì)定理來(lái)處理;計(jì)算角度和距離是依據(jù)作、證、求的三個(gè)過(guò)程,即,作出所要求的距離和角的輔助線,接著說(shuō)明所得到的確實(shí)是按照定義或概念的距離和角,最后使用正弦定理、余弦定理等平面幾何知識(shí)來(lái)計(jì)算得到所要求問題的解．解決這類問題的技巧性較大,綜合性較強(qiáng)．不僅要求學(xué)生要有合情合理的邏輯推理能力,而且還需要一定的空間想象能力．

4．2 向量法

向量法在立體幾何中的運(yùn)用是通過(guò)給出直線的方向向量和平面的法向量來(lái)表示空間中對(duì)應(yīng)直線和平面的位置關(guān)系,一般的解題思路是按照下面三個(gè)步驟來(lái)完成:第1步建立圖形和向量的聯(lián)系,用空間向量表示問題所涉及的點(diǎn)、直線和平面,進(jìn)而把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;第2步向量運(yùn)算,通過(guò)向量的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)研究幾何問題所涉及到的位置關(guān)系和計(jì)算問題;第3步翻譯,把向量運(yùn)算的結(jié)果轉(zhuǎn)譯為相應(yīng)的幾何意義．

運(yùn)用向量法解決這類問題是把空間幾何元素之間的各種關(guān)系“隱藏”到向量的運(yùn)算當(dāng)中去了．這種解題方式關(guān)鍵是要求學(xué)生掌握向量這一概念體系,包括平面和空間向量概念定義,運(yùn)算性質(zhì),基本定理,向量的平行、垂直、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算等,以“數(shù)”研“形”,讓學(xué)生體會(huì)到空間向量解決立體幾何問題的工具性作用,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法．

在“三新”(新教材、新課程、新高考)背景下,進(jìn)一步落實(shí)“雙減”政策與新改革理念,積極貫徹《總體方案》要求,高考立體幾何知識(shí)模塊的命題特色更加創(chuàng)新,更加開放,更加重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握,更加重視數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與應(yīng)用．以立體幾何為場(chǎng)景,新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提出更多、更高的要求,教學(xué)中我們需要結(jié)合必修與選擇性必修兩部分內(nèi)容,注重單元教學(xué)設(shè)計(jì)的課時(shí)表達(dá),通過(guò)綜合法與向量法單獨(dú)教學(xué)與對(duì)比教學(xué),更好體現(xiàn)立體幾何教學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思維的系統(tǒng)性、思想的一致性、方法的普適性,不斷全方位、多層次地發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),為所有學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展與終身學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．