蔣魯佳，辛萬青，張 鳴，王 威，陳紅波

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

多學科設計優(yōu)化是為解決復雜系統(tǒng)設計困難提出的概念,通過實現(xiàn)多個學科的自動設計和優(yōu)化能夠縮短產(chǎn)品研制周期、提高設計質(zhì)量、降低研制成本,具有重要的研究意義和應用前景[1],盡管在很多領域得到了應用,并不斷向規(guī)范化、商業(yè)化發(fā)展,然而,在多學科設計優(yōu)化過程中,大量的計算、學科之間復雜的數(shù)據(jù)交互以及學科分析中非線性響應都會消耗大量的計算時間,從而降低優(yōu)化算法的尋優(yōu)效率以及優(yōu)化結(jié)果的準確性。

代理模型技術通過構(gòu)造近似函數(shù)可以將復雜的學科分析簡化,從而避免了在優(yōu)化過程中進行的極其耗時的多學科分析,從而降低了設計空間搜索的工作量。目前該技術已應用于風力渦輪機、巡航導彈頭部外形、運輸機機翼等優(yōu)化設計中,并取得了較好的設計結(jié)果[2-4],此外,還有人提出了一些基于代理模型技術的優(yōu)化算法,并驗證該方法能夠有效提升優(yōu)化效率[5-6]。文中以飛行器多學科設計優(yōu)化為例,探尋代理模型技術在其中應用的思路和方法。

1 代理模型原理

代理模型主要有多項式響應面模型、Kriging模型、徑向基函數(shù)模型以及人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型等。

1)多項式響應面模型

多項式響應面的前幾項數(shù)學表達式為:

(1)

式中:xi為m維自變量x的第i個分量;β0,βi,βij為待定參數(shù)。

多項式響應面模型具有良好的可微性和連續(xù)性,易于實現(xiàn)優(yōu)化,且可以通過系數(shù)判斷各項對系統(tǒng)影響的大小[7],但是,在處理復雜程度較高的非線性問題時,多項式響應面模型預測和擬合的結(jié)果相對較差。此外,當建立模型的階數(shù)較高時,過擬合的情況也有可能發(fā)生[8]。

2)Kriging模型

Kriging模型一般表示為:

f(x)=g0(x)+z(x)

(2)

式中:g0(x)視作模型中確定的部分,可用多項式來表示;z(x)為漲落,是一個均值為0、方差為σ2的隨機函數(shù)。

Kriging模型處理復雜程度較高的非線性問題時,往往能夠取得較好的結(jié)果,但是構(gòu)造模型所消耗的時間較長,且由于算法復雜,較難通過軟件實現(xiàn),因此在實際使用中會受到一定限制[7,9-11]。

3)徑向基函數(shù)模型

徑向基函數(shù)的基本形式為:

(3)

徑向基函數(shù)模型的基本思路是首先確定一組樣本點,然后再以這些樣本點為中心,以徑向函數(shù)作為基函數(shù),通過把這些基函數(shù)線性疊加后計算待測點處的響應值[13],徑向基函數(shù)模型會根據(jù)選取徑向函數(shù)的變化而變化[14]。徑向基函數(shù)模型是一個結(jié)構(gòu)相對簡單且計算量較小的代理模型[15-16]。

4)神經(jīng)網(wǎng)絡模型

神經(jīng)元的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。

圖1 神經(jīng)元結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Neuron structural model

其中,wi為神經(jīng)元與輸入xi間的連接權(quán)重;θi為神經(jīng)元的閾值;xi為神經(jīng)元的輸入信號;f為傳遞函數(shù)[17]。

神經(jīng)網(wǎng)絡模型使用輸入和輸出樣本訓練網(wǎng)絡,通過調(diào)節(jié)各層神經(jīng)元之間的權(quán)系數(shù),實現(xiàn)模型的構(gòu)建。神經(jīng)網(wǎng)絡模型建立的過程較其他代理模型更為簡單,且可以通過實現(xiàn)并行計算來提高效率[18-20]。

2 飛行器多學科設計建模

文中以飛行器為背景,采用由最小起飛質(zhì)量和最大射程組成的多目標函數(shù)作為飛行器總體多學科設計優(yōu)化的目標函數(shù),并將影響該目標函數(shù)以及設計方案可行性的幾個專業(yè),包括發(fā)動機結(jié)構(gòu)及內(nèi)彈道設計、飛行器外形設計、飛行氣動設計、飛行器結(jié)構(gòu)設計、質(zhì)量參數(shù)分析、飛行軌跡設計、姿控設計以及飛行載荷設計作為實現(xiàn)飛行器總體多學科設計優(yōu)化集成的學科[21]。各學科使用方案論證階段的設計方法或能夠滿足該階段要求的工程計算方法建立各學科設計模型。通過封裝每個學科模型,使各學科成為具備獨立分析和設計能力的模塊。對建立的各學科設計模型的輸入、輸出數(shù)據(jù)進行分析,根據(jù)分析結(jié)果建立的飛行器總體多學科設計關系如圖2所示。

圖2 飛行器總體多學科設計關系Fig.2 Relationship of aircraft system design subjects

從圖2中可以看出多學科設計模型之間數(shù)據(jù)傳遞關系復雜,且存在多個反饋回路,而反饋回路會為飛行器總體多學科設計系統(tǒng)分析和優(yōu)化帶來較大的困難,為此,采用多學科設計優(yōu)化耦合關系處理方法[22]進行解耦,解耦后的飛行器總體多學科設計關系消除了原系統(tǒng)中存在的反饋回路,如圖3所示,系統(tǒng)在進行多學科分析時,只需由設計結(jié)構(gòu)矩陣左上角的學科開始,依次進行分析即可[23]。

圖3 調(diào)整后的飛行器總體設計DSMFig.3 DSM of aircraft system design after adjustment

使用iSIGHT-FD軟件平臺對飛行器總體多學科設計進行集成,集成的流程圖和數(shù)據(jù)關系分別如圖4和圖5所示[24]。

圖4 飛行器總體多學科設計集成的流程圖Fig.4 Flow chart of integrated aircraft system multidisciplinary design

圖5 飛行器總體多學科設計集成數(shù)據(jù)關系Fig.5 Relationship of integrated aircraft system multidisciplinary design

3 飛行器多學科設計優(yōu)化

采用非支配遺傳算法對建立的飛行器總體多學科設計優(yōu)化模型的設計空間進行搜索,設置的種群數(shù)量為50,迭代次數(shù)為50,交叉概率為0.9,模型運行共耗時91 h9 min51 s,平均每次迭代用時約2 min11 s,得到的優(yōu)化結(jié)果如圖6所示,其中,縱坐標代表飛行器航程,橫坐標代表飛行器起飛質(zhì)量,圖中隱去各坐標軸的度量(下同),圖中藍色的點即為Pareto解集,紅色的點為滿足各種約束條件的可行解集。

圖6 優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Result of optimization

由以上優(yōu)化結(jié)果可以看出,Pareto解集大致形成了一個Pareto面,由于Pareto解集中的點是由優(yōu)化迭代范圍內(nèi)的非劣解集組成,因此,所有可行解包括優(yōu)化的初始點都在這個Pareto面的右下方。在縱軸或橫軸的任意位置畫一條與橫坐標軸或縱坐標軸平行的直線,該直線與Pareto面的交點就是在射程一定的條件下起飛質(zhì)量最小的單目標優(yōu)化問題或在起飛質(zhì)量一定的條件下射程最大的單目標優(yōu)化問題的最優(yōu)解,Pareto解集也正是由這些“起飛質(zhì)量一定的最大射程”或“射程一定的最小起飛質(zhì)量”單目標優(yōu)化問題的最優(yōu)解組成。

通過對優(yōu)化結(jié)果分析發(fā)現(xiàn),飛行器總體多學科設計優(yōu)化Pareto解集中兩個端點設計變量的變化非常小,特別是一些外形參數(shù)變化都是在1～5 mm左右,這對于工程設計來說,只相當于在實際生產(chǎn)制造過程中產(chǎn)生的誤差,最終得到的起飛質(zhì)量和射程目標函數(shù)也非常的接近。經(jīng)進一步分析可知,雖然耗費了大量的計算時間,進行了2 500次迭代計算,也得到了Pareto解集,但這僅是在2 500次迭代結(jié)果中得到的Pareto解集,迭代次數(shù)與設計空間上的可行解集相比還是非常有限的,盡管選擇的非支配排序遺傳算法在設計空間上具有全局搜索的能力,即理論上只要有充足的時間一定可以得到最優(yōu)的Pareto解集,但是平均每次迭代需要耗費2 min11 s的模型,要進行全局搜索消耗的計算時間是非常巨大的。

對于建立的飛行器總體多學科設計優(yōu)化模型存在的分析時間長、計算量大的問題,在當前計算機發(fā)展水平下,采用直接優(yōu)化的方法獲得全局最優(yōu)解還存在一定的困難。為此,提出使用代理模型對復雜的多學科設計模型進行近似,并基于此開展優(yōu)化設計的方法。

4 基于代理模型的飛行器多學科設計優(yōu)化

將飛行器總體多學科設計優(yōu)化模型中各學科分析模型作為一個整體建立代理模型,即在不考慮其內(nèi)部各學科設計模型的輸入輸出以及各學科之間數(shù)據(jù)傳遞關系的條件下,建立飛行器總體多學科設計模型的代理模型。

首先使用了典型樣本點分別采用響應面代理模型和神經(jīng)網(wǎng)絡代理模型對飛行器總體多學科設計模型進行近似。構(gòu)造的四階響應面代理模型和神經(jīng)網(wǎng)絡代理模型誤差分析部分結(jié)果分別如圖7、圖8所示,其中,左側(cè)“Total Error”列為構(gòu)造代理模型所有對應的樣本點平均誤差歸一化后的數(shù)值,右側(cè)響應圖則清晰的表達了代理模型響應變量偏離實際值的情況。

圖7 四階響應面代理模型誤差分析Fig.7 Error analysis of quartic RSM

圖8 神經(jīng)網(wǎng)絡代理模型誤差分析Fig.8 Error analysis of RBF model

由以上誤差分析對比可以看出,由于建立的飛行器總體多學科設計模型較為復雜,采用響應面法構(gòu)造的代理模型誤差較大,已經(jīng)不能很好的反映原模型的真實情況;而采用神經(jīng)網(wǎng)絡構(gòu)造的代理模型,雖然模型文件規(guī)模較大,但能夠?qū)颖军c實現(xiàn)較好的近似,為此,選擇神經(jīng)網(wǎng)絡代理模型實現(xiàn)對原模型的近似。

為了使樣本點集具有良好的散布均勻性,并在取值范圍內(nèi)能夠以較少的組合方式獲得設計空間較全面的認識,使用最優(yōu)拉丁超方設計方法進行了DOE(design of experiment)實驗[25],并將該實驗結(jié)果作為構(gòu)造代理模型的樣本點,并通過訓練完成飛行器總體多學科設計神經(jīng)網(wǎng)絡代理模型的構(gòu)造。然后,再對構(gòu)造的代理模型進行優(yōu)化,共耗時約2 h,進行了40 000次迭代,得到的Pareto解集如圖9所示。從圖中可以明顯的看出起飛質(zhì)量與射程的變化趨勢,即隨著裝藥量的增加,獲得的射程也越大。其中,起飛質(zhì)量在變化的過程中存在一個跳變,這可能是由于在構(gòu)造代理模型樣本點不夠充分引起的。

圖9 代理模型優(yōu)化結(jié)果Fig.9 Result of surrogate model optimization

在Pareto解集中選取了某起飛質(zhì)量下的設計結(jié)果,并將該結(jié)果重新在飛行器總體多學科設計模型中進行分析計算,得到該起飛質(zhì)量下的最大射程設計結(jié)果。通過比對發(fā)現(xiàn),基于代理模型的飛行器多學科設計優(yōu)化結(jié)果較原來的設計結(jié)果將最大射程提高了約6%,較好的說明基于代理模型的飛行器多學科設計優(yōu)化在大幅提升優(yōu)化效率的同時,還能夠充分利用各學科模型相互作用產(chǎn)生出來的協(xié)同效應,進一步挖掘設計潛力[26-27]。

5 結(jié)論

文中針對飛行器總體多學科、多目標、多約束優(yōu)化設計帶來的計算困難問題,首先對復雜多學科優(yōu)化問題計算困難進行了分析;其次提出一套使用代理模型技術實現(xiàn)飛行器總體多學科設計優(yōu)化的思路和方法;然后提出使用代理模型將飛行器總體多學科設計模型作為一個整體進行近似的方法;最后提出了使用最優(yōu)拉丁超方設計方法對設計空間進行DOE實驗,并將實驗結(jié)果作為建立代理模型的樣本點的方法。優(yōu)化結(jié)果表明,該方法可以有效降低多學科設計優(yōu)化問題的復雜性,提高優(yōu)化效率。

構(gòu)造代理模型進行優(yōu)化能夠縮短計算需要的時間,雖然優(yōu)化結(jié)果與原優(yōu)化模型存在一定差距,但是隨著構(gòu)造代理模型的樣本點增加,理論上能夠在一定精度范圍內(nèi)反映設計變量與目標函數(shù)之間的大致關系,為設計人員權(quán)衡折衷、初步選擇初始設計參數(shù)提供參考。此外,將代理模型的優(yōu)化結(jié)果作為精確模型的初始設計點進行優(yōu)化,也能夠加快整個優(yōu)化過程的收斂速度。