王小林

摘 要：微專題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段一種新的復(fù)習(xí)課型，得到了很多教師的研究和實(shí)踐.微專題教學(xué)主題聚焦于一類問題或一個(gè)基本圖形，一題多變、多題歸一，有助于學(xué)生對(duì)一類問題的歸類與識(shí)別，提升學(xué)生思維品質(zhì)，也有利于“就題論道”.

關(guān)鍵詞：微專題教學(xué)；三角形內(nèi)接矩形；問題的歸類與識(shí)別

數(shù)學(xué)概括是一種能力，能力只存在于人的特定活動(dòng)之中，并在活動(dòng)中形成和發(fā)展^［1］.因此，概括不是靜態(tài)的，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中形成、運(yùn)用并不斷得到發(fā)展的思維動(dòng)作.本文從一道教材經(jīng)典問題出發(fā)，研發(fā)一節(jié)微專題復(fù)習(xí)課，在解題教學(xué)中積極踐行涂榮豹教授關(guān)于“要重視培養(yǎng)學(xué)生概括能力”的論點(diǎn).

1 “三角形內(nèi)接矩形問題”微專題教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 從教材習(xí)題出發(fā)

例1 （教材習(xí)題）如圖1，面積為48的△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝12，要把它加工成正方形零件，使正方形DEFG的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，求該正方形零件的邊長.

教學(xué)預(yù)設(shè)：這道題可安排基礎(chǔ)較弱的學(xué)生講解思路，然后請(qǐng)優(yōu)秀學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評(píng).接著給出“變式1”.

【變式1】如圖2，△ABC的面積為48，BC＝12，矩形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)分別在△ABC的各邊上，且DE∶EF＝1∶2，求矩形DEFG的面積.

教學(xué)預(yù)設(shè)：從“內(nèi)接正方形”到“內(nèi)接矩形”，且給出了矩形相鄰兩邊之比為1∶2.學(xué)生可以繼續(xù)運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比，列出方程求出矩形的相鄰兩邊，從而求出面積.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 探究三角形內(nèi)接矩形的面積的最大值

【變式2】如圖2，△ABC的面積為48，BC＝12，矩形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)分別在△ABC的各邊上，分析矩形PQMN的面積的最大值.

教學(xué)預(yù)設(shè)：繼續(xù)運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)高之比等于相似比來分析，可以將矩形相鄰兩邊用同一個(gè)未知數(shù)x表示出來，進(jìn)一步得到矩形的面積與x之間存在二次函數(shù)關(guān)系，于是可借用二次函數(shù)的最大值分析方法求解.求解之后，將問題“一般化”，刪減“△ABC的面積為48，BC＝12”，給出“變式3”.

【變式3】如圖3，△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上，且DE∥BC，EF∥AB.分析平行四邊形BDEF的面積取得最大時(shí)與△ABC的面積的關(guān)系.

小結(jié)問題1：本課練習(xí)中哪幾道習(xí)題是以前就遇到過的？哪些習(xí)題是沒有見過的？舉例說說.沒有見過的習(xí)題，你覺得怎樣轉(zhuǎn)化為“以前遇到過的習(xí)題”？

小結(jié)問題2：本課解題與學(xué)習(xí)中，你對(duì)哪道（或哪類）習(xí)題留下較為深刻的印象，舉例說說.

小結(jié)問題3：你能否根據(jù)本課學(xué)習(xí)的某一道習(xí)題為原型，改編一道習(xí)題與小組同學(xué)先交流一下改編意圖和解題思路.

布置作業(yè)：可安排3道與本課時(shí)高度相關(guān)的習(xí)題，作為鞏固訓(xùn)練.限于篇幅，不再給出.

2 教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

2.1 專題復(fù)習(xí)有助學(xué)生對(duì)同類問題的歸類與辨識(shí)

聚焦于某一類問題或某一個(gè)基本圖形的專題復(fù)習(xí)有助于學(xué)生對(duì)這類問題的深刻理解，以便幫助學(xué)生學(xué)深、悟透.專題復(fù)習(xí)課與傳統(tǒng)的以知識(shí)點(diǎn)為復(fù)習(xí)主題的復(fù)習(xí)課相比，后者雖然以某個(gè)知識(shí)點(diǎn)為復(fù)習(xí)主題，但是所選的習(xí)題類型、解題方法、轉(zhuǎn)化策略可能各不相同，學(xué)生需要在這些“風(fēng)格不同”的習(xí)題之間反復(fù)切換，容易形成解題疲倦，是題海戰(zhàn)術(shù)的一種

表現(xiàn)，復(fù)習(xí)效率往往事倍功半.而專題復(fù)習(xí)課，著眼于一類問題或一個(gè)基本圖形的多種變式與拓展，學(xué)生只需圍繞一個(gè)問題情境或問題主干深入思考和深度探究，有助于學(xué)生今后再遇到類似問題時(shí)，能快速識(shí)別同類問題、高效解答.

2.2 專題復(fù)習(xí)有利于學(xué)生解題和思維品質(zhì)的提升

由于專題復(fù)習(xí)聚焦于某一類問題的深入挖掘，所以對(duì)學(xué)生解題的思維品質(zhì)有顯著的提升.比如，上面課例中關(guān)注的三角形內(nèi)接矩形問題的深入探究，學(xué)生在這樣的專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練之后，遇到其它的經(jīng)典問題、基本圖形，就可能學(xué)會(huì)深入思考、習(xí)得方法，促使他們有“做一題、會(huì)一類、通一片”的解題追求；從思維品質(zhì)上來看，主要訓(xùn)練了學(xué)生思維的深刻性與靈活性.特別地，讓學(xué)生在“一題多變”中感悟“多題歸一”，不但訓(xùn)練了學(xué)生的解題能力，而且向?qū)W生傳遞了“解題學(xué)習(xí)中的某些規(guī)律可以通過歸納式概括獲得”^［1］.

2.3 專題復(fù)習(xí)的課堂小結(jié)要引導(dǎo)學(xué)生“就題論道”

專題復(fù)習(xí)的主要任務(wù)是解題研究和變式拓展，但也要十分重視課堂小結(jié)的預(yù)設(shè)，這也是上文課例中特別安排了3個(gè)“小結(jié)問題”的教學(xué)立意.具體來說，專題復(fù)習(xí)的課堂小結(jié)要緊緊圍繞本課訓(xùn)練內(nèi)容展開，避免泛泛而問“這節(jié)課學(xué)到了什么？這節(jié)課感悟了哪些思想方法？”之類.離開學(xué)習(xí)內(nèi)容的思想方法的小結(jié)是空洞無力的，教師在預(yù)設(shè)課堂小結(jié)時(shí)，一定要注意讓學(xué)生結(jié)合前面所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行梳理和回顧.這也是積極踐行鄭毓信教授所指出的解題教學(xué)的“第三個(gè)關(guān)鍵”—努力促進(jìn)學(xué)生“就題論道”.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 涂榮豹，陳嫣.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的概括［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004（1）：17-22.

［2］ 馬進(jìn).高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育視域下的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)研究［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（2）：73-75.