蔡育偉

摘 要：隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的深入學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難度也在逐漸上升.初中階段是學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)出現(xiàn)分化的重要時(shí)期.很多學(xué)生無(wú)法做到將課堂上所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效的消化，所以就需要教師在課后服務(wù)階段對(duì)學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)，從而將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固.“1+X”課后輔導(dǎo)模式即是立足于課堂教學(xué)來(lái)進(jìn)行課外拓展，本文將結(jié)合初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的解題輔導(dǎo)來(lái)對(duì)“1+X”課后輔導(dǎo)模式進(jìn)行分析，從而提升數(shù)學(xué)課后輔導(dǎo)的有效性.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；課后輔導(dǎo)；學(xué)習(xí)拓展；“1+X”課后輔導(dǎo)模式

“1+X”課后輔導(dǎo)模式是立足于課堂教學(xué)的基礎(chǔ)上，在課后輔導(dǎo)的過(guò)程中拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).在“1+X”課后輔導(dǎo)模式中，“1”代表的是課堂教學(xué)內(nèi)容，“X”則表示的是課后輔導(dǎo)的各種形式和內(nèi)容.一般包括閱讀、實(shí)踐以及解題講解等數(shù)學(xué)活動(dòng)方式.下文將結(jié)合二次函數(shù)的解題輔導(dǎo)來(lái)對(duì)“1+X”課后輔導(dǎo)模式進(jìn)行說(shuō)明.

1 試題呈現(xiàn)

例1 （2022年四川綿陽(yáng)中考試題24題）如圖1所示，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（-1，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1.

（1） 求拋物線的解析式；

（2） 在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P使∠APB+∠ACB=180°，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，則說(shuō)明理由；

（3） 過(guò)點(diǎn)C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似？若存在，求M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2 “1+X”課后輔導(dǎo)模式下的數(shù)學(xué)試題閱讀

在數(shù)學(xué)課后輔導(dǎo)的解題輔導(dǎo)中，需要根據(jù)“1+X”課后輔導(dǎo)模式來(lái)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行閱讀以對(duì)試題進(jìn)行分析.

例如在這道試題中，根據(jù)已知條件拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（-1，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1.通過(guò)對(duì)已知條件的閱讀就可以對(duì)拋物線的情況進(jìn)行分析，根據(jù)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，就可以知道拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1.然后結(jié)合拋物線交x軸于A（-1，0），B兩點(diǎn)，就可以對(duì)B點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，然后就可以根據(jù)A，B，C三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)計(jì)算得到關(guān)于拋物線的方程式.

根據(jù)第二小問(wèn)的題意，在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P使∠APB+∠ACB=180°，所以這時(shí)就可以假設(shè)存在這樣的P點(diǎn)，這樣就可以構(gòu)成一個(gè)四邊形，根據(jù)題意∠APB+∠ACB=180°，所以就存在∠CAP+∠CBP=180°，所以就可以得到A，B，C，P是四點(diǎn)共圓的關(guān)系，如圖2所示.然后根據(jù)（1）中關(guān)于B點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果，就可以得到△OBC為等腰直角三角形，從而就可以知道∠OBC=∠OCB=45°，然后根據(jù)四點(diǎn)共圓四個(gè)點(diǎn)連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形頂角相等就可以得到∠ABC=∠APC=45°，所以△OAP為等腰直角三角形，所以O(shè)A=OP=1，這樣就可以得到P點(diǎn)的坐標(biāo).然后是對(duì)第三個(gè)問(wèn)題的閱讀，通過(guò)閱讀可以得到如圖3所示的圖象.根據(jù)（1）計(jì)算所得到的拋物線解析式以及拋物線的對(duì)稱(chēng)軸就可以對(duì)D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式來(lái)得到AD，DE，AE的長(zhǎng)度，進(jìn)一步分析就可以得到△ADE是直角三角形，得到這個(gè)直角三角形的兩條直角邊的比值關(guān)系，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)來(lái)對(duì)三角形EFM的兩條直角邊的比值關(guān)系進(jìn)行分析，從而得到M點(diǎn)的坐標(biāo).

3 “1+X”課后輔導(dǎo)模式下的解題實(shí)踐

通過(guò)對(duì)題目的閱讀分析，后續(xù)進(jìn)行的就是根據(jù)閱讀分析的結(jié)果來(lái)對(duì)題目進(jìn)行解題實(shí)踐.通過(guò)實(shí)踐的方式來(lái)判斷自己在閱讀過(guò)程中的分析是否正確.

解：（1） 因?yàn)閽佄锞€頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，

所以拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，

又因A（-1，0），

所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）；

將A（-1，0），B（3，0），C（0，3）分別帶入到y(tǒng)=ax²+bx+c可得：

所以拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2） 存在這樣的P點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，-1），理由如下：

假設(shè)存在這樣的P點(diǎn)，因?yàn)椤螦PB+∠ACB=180°，

所以∠CAP+∠CBP=180°.

所以A，B，C，P四個(gè)點(diǎn)為四點(diǎn)共圓的關(guān)系，如圖2所示，

由（1）可知OB=OC=3，

所以△OBC為等腰直角三角形，即∠OBC=∠OCB=45°，

根據(jù)四點(diǎn)共圓的性質(zhì)可得∠ABC=∠APC=45°，

所以△OPA為等腰直角三角形，

OA=OP=1，

所以P（0，-1）；

（3） 存在這樣的M點(diǎn)，理由如下：

根據(jù)題意可得到圖形如圖3所示，

根據(jù)（1）所得的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3以及拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1可得：

D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為D（1，4），E（2，3），

因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-1，0），

因?yàn)锳D²=DE²+AE²，

所以△ADE為直角三角形，且∠AED=90°且DE∶AE=1∶3，

根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（t，-t²+2t+3），又因點(diǎn)M在直線l的下方，

所以t的范圍是t＜0或者t＞2，

所以EF=|t-2|，MF=t²-2t，

要讓△MEF與△ADE相似，則需要EF∶MF=1∶3，或者M(jìn)F∶EF=1∶3，

4 “1+X”課后服務(wù)模式下的講題教學(xué)

學(xué)生通過(guò)自己對(duì)例題的閱讀和解答之后，就需要教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生利用自己的語(yǔ)言講解對(duì)這個(gè)例題的理解、解題思路以及思維過(guò)程.在這過(guò)程中需要讓學(xué)生能夠?qū)⒆约簩?duì)這個(gè)例題的理解清晰地表達(dá)出來(lái)，然后能夠?qū)@個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題所采用的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行說(shuō)明.通過(guò)這樣讓學(xué)生對(duì)試題進(jìn)行講解的方式來(lái)讓學(xué)生在班級(jí)或者小組內(nèi)進(jìn)行講題訓(xùn)練，從而讓學(xué)生加深對(duì)這類(lèi)知識(shí)的理解.

例如在這個(gè)例題中，求解一個(gè)二次函數(shù)的解析式需要將拋物線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)帶入到二次函數(shù)的一般式中來(lái)進(jìn)行求解，所以需要根據(jù)題意來(lái)得到拋物線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，所以在求解析式的過(guò)程中最關(guān)鍵的一步就是通過(guò)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1來(lái)對(duì)拋物線與x軸的交點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，實(shí)現(xiàn)對(duì)拋物線解析式的求解.而第二個(gè)問(wèn)題則是側(cè)重考查了四點(diǎn)共圓的相關(guān)關(guān)系，通過(guò)對(duì)角之和為180°的關(guān)系來(lái)判斷出A，B，C，P四個(gè)點(diǎn)屬于四點(diǎn)共圓的關(guān)系，然后結(jié)合四點(diǎn)共圓中以相同邊AC所作的△ABC與△APC的頂角∠ABC=∠APC，從而通過(guò)角的關(guān)系來(lái)判斷出邊的關(guān)系，得到P點(diǎn)的坐標(biāo).然后是第三個(gè)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析可以發(fā)現(xiàn)需要構(gòu)造出一個(gè)△EFM與△AED相似.而觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形沒(méi)有直接的幾何關(guān)系上的聯(lián)系，所以就需要通過(guò)直角三角形兩條直角邊的比值相等這個(gè)判定方式來(lái)對(duì)三角形相似進(jìn)行判定，所以就需要利用△AED的邊長(zhǎng)關(guān)系來(lái)判定三角形是否為直角三角形，從而確定三角形的直角邊.

通過(guò)學(xué)生對(duì)這個(gè)例題的解題思路的講解，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)講解過(guò)程中存在的一些問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步的分析和說(shuō)明，從而使學(xué)生加深對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的理解.同時(shí)講解完成之后可以根據(jù)這個(gè)例題來(lái)進(jìn)行進(jìn)一步的延伸，對(duì)二次函數(shù)中常見(jiàn)的問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步的講解，使學(xué)生對(duì)二次函數(shù)問(wèn)題有更加深入的了解.

5 “1+X”課后輔導(dǎo)模式的有效性分析

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，然后通過(guò)試題來(lái)對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用，而“1+X”課后輔導(dǎo)模式注重的就是學(xué)生在課后輔導(dǎo)解題練習(xí)過(guò)程中對(duì)試題的閱讀、解題實(shí)踐以及對(duì)試題的講解.在課后練習(xí)的過(guò)程中通過(guò)這樣的輔導(dǎo)模式可以讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有效的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)試題的仔細(xì)閱讀分析，來(lái)實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)試題的全面剖析，從而找到解決試題的思路和方法，然后通過(guò)解題實(shí)踐來(lái)對(duì)自己所尋找到的解題思路和方式進(jìn)行驗(yàn)證，來(lái)判斷自己的思路和方式是否存在問(wèn)題.最后通過(guò)試題講解的方式來(lái)說(shuō)明和總結(jié)自己對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的理解，從而進(jìn)一步地提升了對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的掌握程度.這種課后輔導(dǎo)模式有效強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)課堂所學(xué)知識(shí)的掌握度，使課后輔導(dǎo)的效果得到有效的提升.

6 結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，本文通過(guò)一道中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)試題來(lái)對(duì)“1+X”課后輔導(dǎo)模式應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)課后輔導(dǎo)中的有效性策略進(jìn)行了說(shuō)明.通過(guò)“1+X”模式對(duì)試題進(jìn)行閱讀分析、解題實(shí)踐、講解思路的方式能夠有效地提升課后輔導(dǎo)過(guò)程中的輔導(dǎo)效率，使學(xué)生能夠更好地將課堂所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行有效的應(yīng)用，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)得到穩(wěn)步的提升.

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