饒順

摘 要：選取我國人教A版高中數(shù)學(xué)必修1與日本數(shù)學(xué)家小平邦彥編寫的高中數(shù)學(xué)Ⅰ中的“指數(shù)函數(shù)”為研究對象，從知識欄目的設(shè)計、內(nèi)容設(shè)置等方面進(jìn)行比較和分析，得出應(yīng)重視知識的前后連貫性，合理設(shè)置探索性問題和優(yōu)化教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)等結(jié)論和啟示.

關(guān)鍵詞：中國；日本；高中數(shù)學(xué)教材；指數(shù)函數(shù)

隨著教育國際化的不斷推進(jìn)，各國之間對于教育的交流也越來越頻繁，不同國家之間數(shù)學(xué)教育呈現(xiàn)出多樣化的特點.中國和日本同屬于東亞地區(qū)，都受到儒家文化的影響，有著相似的文化傳統(tǒng)，以兩國為代表的東亞數(shù)學(xué)教育顯示了一定的特征，值得仔細(xì)探討.二戰(zhàn)后的日本通過較短的時間實現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展，位居世界前列，其學(xué)生在近年的國際評價項目TIMSS和PISA的數(shù)學(xué)測評中取得優(yōu)異的成績，這不得不引起我們對日本教育發(fā)展的關(guān)注.40多年前，首位獲得菲爾茲獎的亞洲數(shù)學(xué)家小平邦彥，投入到數(shù)學(xué)教育改革中并為日本編寫了高中數(shù)學(xué)教材.整部教材自成體系、深入淺出且十分重視知識的內(nèi)部聯(lián)系，如今看來并不過時，內(nèi)容方面較于其它教材可能更先進(jìn)，這對于我國的教材研究有一定的借鑒性.

指數(shù)函數(shù)是函數(shù)中的基礎(chǔ)概念之一，這不僅是對前面所學(xué)的冪函數(shù)知識的鞏固和深化，還可以為后面的對數(shù)打下一定的基礎(chǔ).同時，指數(shù)函數(shù)具有廣泛的現(xiàn)實意義，如放射性物質(zhì)的衰減等.因此，本文選取指數(shù)函數(shù)作為比較內(nèi)容，研究中日兩國對應(yīng)教材編排的異同點，以期為我國數(shù)學(xué)教材的發(fā)展助力.

1 兩種教材的比較

本文選取我國人民教育出版社2019年出版的高中數(shù)學(xué)（A版）必修1（以下簡稱人教版），其中指數(shù)函數(shù)位于第四章.同時選取日本東京書籍株式會社1977年出版的高中數(shù)學(xué)Ⅰ，本文使用的是高緒玨等翻譯的中文版本，其中指數(shù)函數(shù)位于第Ⅴ章.為汲取優(yōu)秀教科書的經(jīng)驗，對兩種教材中指數(shù)函數(shù)的知識欄目設(shè)計、內(nèi)容設(shè)置等方面進(jìn)行比較和分析.

1.1 知識欄目的設(shè)計

人教版和日本教材在知識欄目的設(shè)計上各有特色，通過合理的欄目設(shè)計可以引導(dǎo)學(xué)生自然地理解和掌握知識，實現(xiàn)知識的鞏固和應(yīng)用.

由上表可以看出，兩國教材在章前欄目都設(shè)置了章前圖和章前言.人教版強(qiáng)調(diào)函數(shù)知識在生活中的實際應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，同時呼應(yīng)前面所學(xué)習(xí)的冪函數(shù)，在此基礎(chǔ)之上來探究指數(shù)函數(shù).日本教材在章前欄目中重視數(shù)學(xué)的歷史，強(qiáng)調(diào)知識的發(fā)生和發(fā)展，這也和小平邦彥的觀點相符合，并在章前言中鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探索，滲透了一定的情感價值.另外，日本教材展示了本章知識的小節(jié)目錄，讓學(xué)生清楚本章所學(xué)內(nèi)容的概況.

在章內(nèi)欄目中，人教版在知識的引入和闡述方面形式更加豐富，通過“提示欄”“探究”“思考”等欄目引導(dǎo)學(xué)生深入了解知識，信息技術(shù)的應(yīng)用使學(xué)生感悟圖象的動態(tài)變化，而日本教材是通過一系列連續(xù)設(shè)問的方式，注重知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，教材更為精煉.在題目訓(xùn)練上，人教版習(xí)題量較大，在例題之后有練習(xí)的欄目，并在每節(jié)結(jié)束時有相應(yīng)的習(xí)題，其中小節(jié)習(xí)題板塊多樣，有復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索等，而日本教材將問題設(shè)置在例題之后，可將例題的知識點進(jìn)一步鞏固和深化，并未專門設(shè)置小節(jié)習(xí)題，習(xí)題的精簡給學(xué)生創(chuàng)造了深入思考的機(jī)會.人教版在小節(jié)末還設(shè)立了“閱讀與思考”“信息技術(shù)應(yīng)用”等拓展欄目，對于開拓學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的興趣具有重要意義，因此人教版對章內(nèi)欄目的設(shè)計更加豐富.

在章末習(xí)題方面，兩版教材習(xí)題的設(shè)置層層遞進(jìn)，順應(yīng)了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展.人教版是復(fù)習(xí)參考題，并將其分為了復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索三個部分，利于鞏固知識和建立知識間的聯(lián)系；日本教材將習(xí)題分為A、B兩個板塊，其中A是以基礎(chǔ)問題為主，而B是程度稍高的一些題，題量雖少但題型較完整，不僅包含了應(yīng)用題還有發(fā)散學(xué)生思維的開放題，開放題的設(shè)置有利于激發(fā)學(xué)生的探索熱情，使學(xué)生養(yǎng)成深入思考問題的好習(xí)慣.

在其他欄目中，人教版相對于日本教材而言，設(shè)計得更為豐富，例如“小節(jié)”欄目對于本章知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行了梳理和回顧，“文獻(xiàn)閱讀和數(shù)學(xué)寫作”及“數(shù)學(xué)建模”對于數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重要意義.

1.2 內(nèi)容設(shè)置

指數(shù)函數(shù)在這兩種教科書中都是由指數(shù)法則、指數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)構(gòu)成，在相關(guān)內(nèi)容的設(shè)置上有所差異.

在指數(shù)函數(shù)定義的引入方面，人教版重視在初中已有知識的基礎(chǔ)之上拓展指數(shù)的范圍，通過現(xiàn)實生活中的問題（景區(qū)游客量和碳14衰減）并結(jié)合指數(shù)冪的相關(guān)知識，由指數(shù)過渡到指數(shù)函數(shù)，逐漸引出指數(shù)函數(shù)的概念，而日本教材未設(shè)置相應(yīng)的問題情境，通過指數(shù)的擴(kuò)張等一系列問題引出指數(shù)函數(shù)并沒有明確給出自變量的取值范圍.在兩者的對比之下，我們可以發(fā)現(xiàn)人教版的引入更加新穎、更易引起學(xué)生的興趣，日本教材基于學(xué)生在熟練掌握指數(shù)運(yùn)算法則的基礎(chǔ)之上，可較易地學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的內(nèi)容，直接給出指數(shù)函數(shù)的定義，更加注重知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而通過一系列連續(xù)設(shè)問的方式，自然地導(dǎo)出學(xué)習(xí)內(nèi)容，教材更為精煉.同時我們也可以看出人教版對指數(shù)冪及其運(yùn)算做了大量的工作，隨后才引出指數(shù)函數(shù)，并將兩者分為兩個小節(jié)，這對于數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的連貫性和整體性可能有一定的影響.此外，人教版的引入重視實際應(yīng)用，但兩個現(xiàn)實問題的閱讀負(fù)擔(dān)可能過重，若僅對一個問題進(jìn)行深入的探討或許有更好的效果，日本教材的引入不利于激發(fā)學(xué)生對于指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)興趣.

在函數(shù)的圖象及其性質(zhì)方面，人教版利用研究冪函數(shù)的方法來進(jìn)一步研究指數(shù)函數(shù)，對函數(shù)y=2^x進(jìn)行列表、描點和連線來畫出函數(shù)的圖象，促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的直觀感知，并引導(dǎo)學(xué)生在同一個坐標(biāo)系中畫出y=（?）^x的圖象，將兩個圖象進(jìn)行對比來探究圖象間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圖象關(guān)于y軸對稱，這與此前第三章偶函數(shù)的學(xué)習(xí)有些許契合.同時，教師可通過信息技術(shù)進(jìn)行函數(shù)圖象的動態(tài)演示，向?qū)W生直觀展示底數(shù)a的任意取值造成的函數(shù)圖象的變化，并自然地發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)應(yīng)分為0＜a＜1和a>1兩種類型，在這兩種類型之下，進(jìn)一步研究函數(shù)對應(yīng)的定義域、值域和單調(diào)性等性質(zhì).在日本教材中，讓學(xué)生根據(jù)y=2^x進(jìn)行填表，給定的表中自變量也包含了整數(shù)和小數(shù)，進(jìn)一步體現(xiàn)了自變量的取值范圍，并讓學(xué)生仿照該過程對y=3^x、y=（?）^x和y=（1/3）^x等多個例子進(jìn)行造表并動手畫出圖象，直觀感知指數(shù)函數(shù)圖象隨底數(shù)不同而產(chǎn)生的變化和指數(shù)函數(shù)關(guān)于y軸對稱的特征，隨后對a＞1的情況進(jìn)行展開分析，推導(dǎo)出單調(diào)性，再借助關(guān)于y軸對稱的性質(zhì)得到0＜a＜1時函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).由上述分析可知，人教版教材對于a的分類呈現(xiàn)得較為自然，能夠激發(fā)學(xué)生探索的興趣，但在表述單調(diào)性時的語言描述不如日本教材利用不等式那樣直觀.日本教材雖然在指數(shù)函數(shù)這一節(jié)的內(nèi)容較簡略，但涵蓋了所需掌握的全部內(nèi)容，通過一個個簡短的問題引導(dǎo)方向，這樣深入淺出的呈現(xiàn)知識有利于避免因知識繁雜而給學(xué)生帶來對函數(shù)的畏懼，讓學(xué)生能夠體驗探索的樂趣，同時在本章后續(xù)講解對數(shù)函數(shù)時，也一直通過反函數(shù)的知識聯(lián)結(jié)指數(shù)函數(shù)，進(jìn)一步加深對指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識，這樣循序漸進(jìn)的呈現(xiàn)充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思維和知識間的緊密聯(lián)系.

2 小結(jié)和啟示

由上述比較，我們可以發(fā)現(xiàn)這兩種教材在指數(shù)函數(shù)這一塊呈現(xiàn)的內(nèi)容沒有太大差別，各具特色.由數(shù)學(xué)家小平邦彥編寫的日本教材強(qiáng)調(diào)通過一系列連續(xù)設(shè)問的方式，深入淺出地呈現(xiàn)知識，建立起知識之間的內(nèi)部聯(lián)系并展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思維方式.人教版重視知識從現(xiàn)實生活中來并運(yùn)用到現(xiàn)實生活中去，知識的呈現(xiàn)方式新穎，加上一系列“探索”和“思考”等欄目的設(shè)計引導(dǎo)學(xué)習(xí)的方向.在肯定我國教材優(yōu)點的同時，我們也應(yīng)吸取日本教材的經(jīng)驗，對我們的不足之處進(jìn)行改進(jìn).因此，給出兩種教材在指數(shù)函數(shù)的比較下得到的結(jié)論和相關(guān)啟示，希望助力于我國數(shù)學(xué)教材的發(fā)展.

2.1 重視知識的前后連貫性，合理設(shè)置探索性問題

人教版對指數(shù)冪及其運(yùn)算法則等方面做了大量的工作，隨后引出指數(shù)函數(shù)，并將兩者分為獨(dú)立的小節(jié)，雖然兩小節(jié)內(nèi)容十分詳細(xì)、豐富，但一定程度上不利于建立知識間的聯(lián)系.日本教材通過一系列問題的設(shè)計，將“指數(shù)法則與指數(shù)函數(shù)”作為一個小節(jié)來設(shè)立，對于實現(xiàn)知識的前后連貫性、系統(tǒng)性具有重要意義.此外，人教版在小節(jié)末附有探究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的問題，通過信息技術(shù)的運(yùn)用來得到函數(shù)的單調(diào)性等，但在指數(shù)函數(shù)的小節(jié)內(nèi)已經(jīng)直接給出了圖象和性質(zhì)的表，卻并未對圖象性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的說明，因此該探索問題或許應(yīng)放在小節(jié)中而不是小節(jié)末.同時，我們也應(yīng)注意到節(jié)末探索性問題的設(shè)計不應(yīng)當(dāng)是已學(xué)內(nèi)容的再現(xiàn)，而應(yīng)該具有一定的挑戰(zhàn)性以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，可以是當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的補(bǔ)充或下一章知識的鋪墊.

2.2 優(yōu)化內(nèi)容結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng)

兩國教材的指數(shù)函數(shù)內(nèi)容無明顯差異，但知識的引入方式、內(nèi)容的呈現(xiàn)和題目的設(shè)置差別較大.人教版通過兩個生活實際問題來引出，重視知識的產(chǎn)生和發(fā)展，但我們在肯定它將數(shù)學(xué)知識和生活建立聯(lián)系的同時，應(yīng)認(rèn)識到這兩個問題的篇幅過大可能會給學(xué)生帶來一定的閱讀負(fù)擔(dān)，若通過一個問題貫穿本節(jié)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，可能效果更好.日本教材通過指數(shù)的擴(kuò)張加上連續(xù)設(shè)問的方式，逐步引出指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，整個過程是通過嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)，從簡單問題到復(fù)雜問題的過渡，論證清晰且環(huán)環(huán)相扣，知識的呈現(xiàn)簡潔且流暢.同時，人教版在知識小節(jié)中的欄目設(shè)計豐富，有“思考”和“探究”等，但在這些欄目的后面立馬呈現(xiàn)了教材正文，在考慮到小節(jié)整體篇幅過大的情況之下，在教學(xué)中是否能真正做到探究呢？另外在教學(xué)中也應(yīng)該關(guān)注到對指數(shù)的底數(shù)a＜0進(jìn)行探究，更加自然地得到底數(shù)的范圍.日本教材顧及了大部分關(guān)鍵內(nèi)容并在主要問題上講透，來推導(dǎo)其他知識，篇幅簡潔的同時又啟發(fā)學(xué)生思維，對知識進(jìn)行融會貫通，例如在研究對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，人教版還是按照指數(shù)函數(shù)的方法來列表、描點和連線，做了重復(fù)的工作，隨后才講反函數(shù)將兩個函數(shù)建立聯(lián)系.而日本教材先講了反函數(shù)的知識，則直接借助已得到的指數(shù)函數(shù)性質(zhì)來推導(dǎo)對數(shù)函數(shù)，這既給學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)創(chuàng)造了條件，也利于知識內(nèi)部聯(lián)系的建立.另外在習(xí)題方面，人教版設(shè)置了例題、練習(xí)、節(jié)末習(xí)題和章末參考題等多種方式，其中例題和練習(xí)是分開的，注重知識的應(yīng)用，但訓(xùn)練題的量大可能會導(dǎo)致知識的反復(fù)機(jī)械操作.而日本教材“練習(xí)”的設(shè)置是放在正文例題之后，這樣邊學(xué)邊練可促進(jìn)學(xué)生對知識及時鞏固，同時它的節(jié)末問題和章末習(xí)題量也較少，為學(xué)生的深度思考創(chuàng)造了條件.大量的習(xí)題會給學(xué)生帶來一定的壓力，適當(dāng)精簡題目的數(shù)量并使得題目具有代表性，是我國教科書進(jìn)一步改進(jìn)的方向.

因此，我們在某些內(nèi)容上的闡述過于繁瑣，可能導(dǎo)致因篇幅的龐大而帶來學(xué)生對知識的畏懼，可適當(dāng)精簡，并建立內(nèi)容間嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)的發(fā)展.

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