湯毓寧, 余本嵩

南京航空航天大學(xué)航空航天結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210016

0 引 言

近年來,隨著理論水平和實(shí)驗(yàn)技術(shù)不斷發(fā)展,人類對(duì)太空實(shí)踐的需求愈加迫切.繩系衛(wèi)星系統(tǒng)以其在深空探測(cè)、衛(wèi)星通信、立體成像、碎片捕獲等領(lǐng)域的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)進(jìn)入了人們的視野,而繩系衛(wèi)星編隊(duì)作為其重要衍生同樣引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-10].

繩系衛(wèi)星編隊(duì)是指多個(gè)衛(wèi)星或航天器通過系繩連接,衛(wèi)星之間保持相對(duì)靜止并以特定的編隊(duì)構(gòu)型在軌飛行.學(xué)界已提出越來越多的新型編隊(duì)構(gòu)型.SU等[11]研究衛(wèi)星速度未知情況下的三角形繩系編隊(duì)系統(tǒng)的控制問題,討論開環(huán)系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定性,并設(shè)計(jì)一類非線性狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行相應(yīng)的控制.QI等[12]提出一類雙金字塔形編隊(duì)構(gòu)型,將衛(wèi)星通電使其因庫(kù)侖力相互排斥以得到編隊(duì)穩(wěn)定的效果.HUANG等[13]研究輪輻繩系編隊(duì)系統(tǒng)并基于合理假設(shè)提出對(duì)應(yīng)解析模型對(duì)自旋過程中的輪輻繩系編隊(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)加以描述,提出兩種編隊(duì)控制策略并通過數(shù)值模擬加以驗(yàn)證.LUO等[14]通過柔性多體動(dòng)力學(xué)方法研究三體繩系編隊(duì)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué),提出一類兩顆子衛(wèi)星通過柔性系繩并沿阿基米德螺線軌跡移動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型,最后通過數(shù)值模擬探究其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)及系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)釋放及回收過程的影響.JUNG等[15]研究三體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)在釋放和回收過程中的非線性動(dòng)力學(xué)行為,建立具有6個(gè)自由度的啞鈴模型,在不同初始狀態(tài)和不同參數(shù)下,對(duì)其姿態(tài)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析和比較.

近年來,關(guān)于繩系編隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究取得了一定進(jìn)展.KUMAR等[16]研究三角形繩系衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型并通過數(shù)值仿真得出了系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)計(jì)閾值,得出該構(gòu)型編隊(duì)自旋速度必須達(dá)到臨界值才可保證系統(tǒng)在軌道平面內(nèi)保持自旋穩(wěn)定狀態(tài),還分析系繩釋放回收對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響.AVANZINI等[17]研究參考軌道偏心率與多體繩系衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的相關(guān)性,通過數(shù)值模擬研究了系統(tǒng)穩(wěn)定性,并評(píng)估偏心率對(duì)系繩伸長(zhǎng)量、編隊(duì)構(gòu)型等方面的影響.基于Hill近似,CAI等[18]提出一種新的關(guān)于系統(tǒng)姿態(tài)及軌道運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程,研究釋放和回收階段平動(dòng)點(diǎn)附近繩系衛(wèi)星系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)三角形構(gòu)型的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性,為解決任意平面下旋轉(zhuǎn)三角形繩系衛(wèi)星編隊(duì)問題打下基礎(chǔ).ALARY等[19]研究一類金字塔編隊(duì)構(gòu)型的繩系編隊(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué),假定通過低推力火箭助推器維持各衛(wèi)星位置保持構(gòu)型,提出一種控制策略穩(wěn)定其自旋狀態(tài),并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證系統(tǒng)的可行性.YU等[20]研究在近地軌道上運(yùn)動(dòng)的三體繩系衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性,通過Floquet理論分析了系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,并構(gòu)建了等效的地面試驗(yàn)驗(yàn)證穩(wěn)定性分析的有效性,結(jié)果表明,當(dāng)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)角速率超過臨界值可以保持穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng).TRUSHLYAKOV等[21]研究用于清除太空碎片的自旋繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的縱向振蕩,提出一種新型算法,以將系繩的最大變形量最小化.

值得注意的是,大多數(shù)已發(fā)表的著作只涉及常規(guī)軌道平面繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)和控制問題,而很少關(guān)注非軌道平面上的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題.同時(shí),學(xué)者們僅從數(shù)值角度對(duì)自旋角速度閾值和自旋穩(wěn)定條件進(jìn)行研究,鮮有通過解析關(guān)系進(jìn)行求解.本文研究任何軌道平面直線形繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征,推導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)解析關(guān)系式并分析初始狀態(tài)對(duì)動(dòng)力學(xué)行為的具體影響,最后提出一個(gè)三維動(dòng)力學(xué)參數(shù)域加以展示,并通過數(shù)值仿真對(duì)解析關(guān)系式和結(jié)論加以驗(yàn)證.

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

本節(jié)建立了一類在正交控制力約束下,軌道平面外三星直線排列的繩系編隊(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型.

如圖1(a)所示,研究運(yùn)行于近地圓周軌道的直線型繩系衛(wèi)星編隊(duì).該系統(tǒng)由一顆質(zhì)量為mM的母衛(wèi)星M、兩顆質(zhì)量為mS的子衛(wèi)星S1和S2及兩根具有彈性的系繩組成.由于衛(wèi)星尺寸遠(yuǎn)小于系繩長(zhǎng)度,因此將3顆衛(wèi)星簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn).此外,由于系繩質(zhì)量遠(yuǎn)小于衛(wèi)星質(zhì)量,故不妨將空間系繩簡(jiǎn)化為無質(zhì)量彈性系繩.系繩的剛度和無應(yīng)變長(zhǎng)度分別為EA和L0.假設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心以恒定軌道角速度Ω繞地運(yùn)行,軌道半徑為rO,P和ν分別為近地點(diǎn)和真近點(diǎn)角,同時(shí)在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)平面上定義面內(nèi)俯仰角θ.

圖1 軌道平面外直形型繩系編隊(duì)系統(tǒng)Fig.1 A linear tethered system in nontypical planes

為更好地描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模過程,在此引入3組非慣性坐標(biāo)系,第一組軌道坐標(biāo)系o-xoyozo,如圖1(a)所示,其中系統(tǒng)質(zhì)心為原點(diǎn)o且位于圓軌道上,xo軸與軌道相切,yo軸正交于軌道平面,zo軸滿足右手法則.系統(tǒng)自旋軸垂直于軌道平面,即ωo平行于Ω.

將第一組坐標(biāo)系o-xoyozo繞xo軸正方向旋轉(zhuǎn)α后得到第二組軌道坐標(biāo)系o-x′y′z′,如圖1(b),顯然yo軸與y′軸(zo軸和z′軸)的夾角亦為α.

再將第二組坐標(biāo)系o-x′y′z′繞z′軸正方向旋轉(zhuǎn)β后得到第三組軌道坐標(biāo)系o-xyz,如圖1(c)所示,顯然x′軸與x軸(y′軸和y軸)的夾角同樣為β,以平面o-xz建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)平面,自此實(shí)現(xiàn)了軌道平面外繩系衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)的構(gòu)建.需注意,系統(tǒng)必須施加面外控制力才能保持面內(nèi)運(yùn)動(dòng).

(1)

通過牛頓第二定律,得到在非慣性系o-xyz下母衛(wèi)星M和子衛(wèi)星S1(S2)的動(dòng)力學(xué)方程分別為

(2)

和

(3)

式中,rM=[xMyMzM]和rS1(S2)=[xS1(S2)yS1(S2)zS1(S2)]分別為母衛(wèi)星M和子衛(wèi)星S1(S2)的位置矢量,t為軌道運(yùn)行時(shí)間.

重力加速度的表達(dá)式為

(4)

式中,μE=3.988 5×1014為地心引力參數(shù).

母衛(wèi)星M和子衛(wèi)星S1(S2)之間由于系繩牽引受到的系繩張力為

(5)

式中,符號(hào)函數(shù)δ定義如下:

(6)

母衛(wèi)星M和子衛(wèi)星S1(S2)的牽連慣性力和科氏慣性力寫成如下形式:

FM[(S1(S2)],Ie=-mΩ×[Ω×(rM[(S1(S2)]-rO)]

(7)

和

FM[(S1(S2)],IC=-2mΩ×vM[(S1(S2)]

(8)

式中,Ω=[0 -Ω0]為軌道角速度,vM[(S1(S2)]=drM[(S1(S2)]/dt為衛(wèi)星的相對(duì)速度.

面外控制力表示如下:

FM[(S1(S2)],c=[FM[(S1(S2)],cxFM[(S1(S2)],cyFM[(S1(S2)],cz]

(9)

式中,FM[(S1(S2)],cx、FM[(S1(S2)],cy和FM[(S1(S2)],cz分別為FM[(S1(S2)],c沿x、y和z軸的分力.

所建立的動(dòng)力學(xué)模型可以描述任意軌道平面內(nèi)的直線形繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,符合執(zhí)行指定方位光學(xué)成像等復(fù)雜太空任務(wù)的實(shí)際情況.

2 運(yùn)動(dòng)形式與系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)系

本節(jié)基于所建模型的動(dòng)力學(xué)方程,推導(dǎo)出子衛(wèi)星角速度和系繩張力大小兩者與子衛(wèi)星面內(nèi)俯仰角之間的解析關(guān)系,以進(jìn)一步揭示運(yùn)動(dòng)形式與系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)系.

由式(8)可知,科氏慣性力的方向與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方向有關(guān),而運(yùn)動(dòng)方向不同將導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)表現(xiàn)產(chǎn)生巨大差異.因此,本節(jié)將分別討論子衛(wèi)星初始時(shí)刻逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(ω0<0)和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(ω0>0)兩種情況,通過推導(dǎo)得出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)解析式以探究初始面內(nèi)俯仰角θ0和初始角速度ω0與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的關(guān)系.

在此規(guī)定俯仰角θ=0對(duì)應(yīng)的方向始終為z軸正半軸所指方向,假設(shè)母衛(wèi)星始終位于非慣性坐標(biāo)系o-xyz的原點(diǎn)o,系繩長(zhǎng)度變化忽略不計(jì).取子星S1為研究對(duì)象,對(duì)其受力情況進(jìn)行分析,子星S1從初始面內(nèi)俯仰角位置θ0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(ω0>0),運(yùn)行至當(dāng)前面內(nèi)俯仰角位置θ時(shí)受力圖如圖2所示,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(ω0<0)時(shí)FS1,ΙC方向與圖2所示FS1,ΙC方向相反.

圖2 子星S1受力分析圖Fig.2 Force of sub-satellite S1

將式(3)向oS1方向l=[sinθ0 cosθ]T投影得

(10)

式中,θ為子星當(dāng)前俯仰角,ω為子星當(dāng)前角速度,L為系繩長(zhǎng)度,T為系繩張力大小.

根據(jù)能量守恒定理,子星運(yùn)動(dòng)階段滿足如下關(guān)系:

(11)

式中,WIe為牽連慣性力所做的功,Ep和Ep,0分別為子星當(dāng)前位置和初始位置的勢(shì)能.

當(dāng)子星運(yùn)動(dòng)至俯仰角θ=φ對(duì)應(yīng)的位置時(shí),對(duì)應(yīng)位置沿軌道面的切線方向?yàn)閚=[cosφ0 -sinφ]T,將力FS1,Ie向切向方向n進(jìn)行投影,得到子星沿軌道面的切向分力

(12)

(13)

(14)

和

(15)

將式(13)～(15)代入式(11)得

(16)

通過變形即可得到子星在系繩不松馳狀態(tài)下的角速度與面內(nèi)俯仰角的關(guān)系為

(17)

當(dāng)子星逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)ω取負(fù)號(hào),順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)ω取正號(hào).

同時(shí),將式(17)代入式(10)可以得到在系繩不松馳狀態(tài)下系繩張力大小與面內(nèi)俯仰角的關(guān)系.

通過該解析關(guān)系分析可進(jìn)一步分析系統(tǒng)受力變化情況從而進(jìn)一步揭示運(yùn)動(dòng)形式與系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)系.顯然,該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)解析關(guān)系對(duì)于常規(guī)軌道系統(tǒng)同樣適用.

3 動(dòng)力學(xué)分析

下面將通過系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)解析關(guān)系式探究子星運(yùn)動(dòng)過程中角速度變化及受力變化情況,并分析初始狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的具體影響.

通過式(17)可得

(18)

將其對(duì)θ進(jìn)行求導(dǎo)得

(19)

(20)

實(shí)際情況下rO遠(yuǎn)大于L時(shí),可以求得

(21)

所以arctan(tanαsinβ)+kπ是|ω|的極大值點(diǎn),arctan(tanαsinβ)+(k+0.5)π是|ω|的極小值點(diǎn),其中k為任意整數(shù).

將整個(gè)系統(tǒng)向xoz平面投影,發(fā)現(xiàn)面內(nèi)俯仰角θ=arctan(tanαsinβ)所對(duì)應(yīng)的方向與地球與母星的連線方向在平面上的投影一致,為了描述方便,記θΔ=arctan(tanαsinβ),所對(duì)應(yīng)的位置為Δ,如圖3所示.

圖3 臨界位置Fig.3 Critical position

根據(jù)初始俯仰角和初始角速度的取值變化,系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為將分為3種情況:擺狀振蕩運(yùn)動(dòng)、自旋運(yùn)動(dòng)和不規(guī)則運(yùn)動(dòng).首先討論子星初始時(shí)刻逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(ω0<0),根據(jù)式(10)和式(17)的關(guān)系式計(jì)算得出了擺狀振蕩運(yùn)動(dòng)和自旋運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的子星角速度和系繩張力隨俯仰角變化關(guān)系圖如圖4所示.

圖4 初始角速度ω0<0狀態(tài)下角速度和系繩張力隨俯仰角關(guān)系變化曲線Fig.4 Angular velocity ω/Ω and tether force T versus pitch angle θ in initial angular velocity ω0<0

(1)擺狀振蕩運(yùn)動(dòng)(藍(lán)色線條)

由于角速度大小|ω|在θ∈(θΔ-π/2,θΔ)單調(diào)遞增,所以當(dāng)子星初始角速度大小|ω0|和初始俯仰角大小|θ0|小于一定值時(shí),子星角速度大小|ω|將在達(dá)到θ=θΔ-π/2對(duì)應(yīng)的極小值位置點(diǎn)之前減為零,隨后將順時(shí)針反向運(yùn)動(dòng).令式(17)中ω=0 可以得到衛(wèi)星可到達(dá)最遠(yuǎn)位置所對(duì)應(yīng)的俯仰角θmax.根據(jù)能量守恒,子星將在最遠(yuǎn)位置及其關(guān)于oΔ連線的對(duì)稱位置往復(fù)運(yùn)動(dòng),且運(yùn)動(dòng)過程中系繩張力始終存在,故系統(tǒng)不發(fā)生系繩松弛現(xiàn)象.

(2)自旋運(yùn)動(dòng)(紅色線條)

當(dāng)衛(wèi)星初始角速度大小|ω0|達(dá)到自旋閾值時(shí),可以保證衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)通過θ=θΔ-π/2對(duì)應(yīng)的極小值位置點(diǎn)時(shí)角速度大小|ω|仍大于零,運(yùn)動(dòng)過程中系繩張力始終存在,不發(fā)生系繩松弛現(xiàn)象.之后將繼續(xù)運(yùn)動(dòng),并再次回到初始位置,完成圓周運(yùn)動(dòng),且運(yùn)動(dòng)具有周期性.將θ=θΔ-π/2代入式(17)得到角速度ω(ω<0),將ω和θ=θΔ-π/2代入式(10),令T≥0,即可得到初始時(shí)刻逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(ω0<0)情況下的自旋閾值.

(3)不規(guī)則運(yùn)動(dòng)

子星在到達(dá)θ=θΔ-π/2對(duì)應(yīng)的極大值位置點(diǎn)之前系繩張力持續(xù)減少,根據(jù)式(10)可知,當(dāng)子星初始角速度大小|ω0|和初始俯仰角大小|θ0|達(dá)到一定值時(shí),系繩張力T可能減少為零,即系繩發(fā)生松弛而不規(guī)則運(yùn)動(dòng),之后運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)無規(guī)則.由于系繩松弛后系統(tǒng)將不再滿足第二節(jié)得出的解析關(guān)系式,故無法得出系繩松弛后不規(guī)則運(yùn)動(dòng)階段的子星角速度和系繩張力隨俯仰角變化關(guān)系.

對(duì)于子星初始時(shí)刻順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(ω0>0)的情況,根據(jù)式(10)可知衛(wèi)星順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中科氏慣性力朝著離心方向,系繩張力將大幅減小,說明順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中衛(wèi)星更容易不規(guī)則運(yùn)動(dòng).擺狀振蕩運(yùn)動(dòng)和自旋運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的子星角速度和系繩張力隨俯仰角變化的關(guān)系圖如圖5所示.

圖5 初始角速度ω0>0狀態(tài)下角速度和系繩張力隨俯仰角關(guān)系變化曲線Fig.5 Angular velocity ω/Ω and tether force T versus pitch angle θ in initial angular velocity ω0>0

(1)擺狀振蕩運(yùn)動(dòng)(藍(lán)色線條)

衛(wèi)星初始角速度大小|ω0|小于一定值時(shí),科氏慣性力較小,對(duì)系統(tǒng)張力影響不大,系繩張力持續(xù)存在,子星仍可進(jìn)行擺狀振蕩運(yùn)動(dòng).

(2)自旋軌道(紅色線條)

當(dāng)衛(wèi)星初始角速度大小|ω0|非常大時(shí),式(10)中項(xiàng)msω2L的ω次數(shù)大于項(xiàng)2msΩLω的ω次數(shù),所以系統(tǒng)初始條件達(dá)到自旋閾值時(shí)系統(tǒng)向心力的增加量將大于科氏慣性力的增加量,此時(shí)系繩張力持續(xù)存在,可發(fā)生自旋運(yùn)動(dòng).同樣將θ=θΔ+π/2代入式(17)得到角速度ω(ω>0),將ω和θ=θΔ+π/2代入式(10),令T≥0,即可得到初始時(shí)刻順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(ω0>0)情況下的自旋閾值.

(3)不規(guī)則運(yùn)動(dòng)

衛(wèi)星初始角速度大小|ω0|大于一定值時(shí),科氏慣性力較大,對(duì)系統(tǒng)張力影響顯著,子星在到達(dá)θ=θΔ+π/2對(duì)應(yīng)的極大值位置點(diǎn)之前系繩張力持續(xù)減少,在運(yùn)動(dòng)過程中系繩張力極有可能減少為零,系繩發(fā)生松弛而不規(guī)則運(yùn)動(dòng),隨后運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)無規(guī)則.

由此可見,系統(tǒng)初始狀態(tài)對(duì)動(dòng)力學(xué)行為有著十分顯著的影響,在執(zhí)行特定太空任務(wù)時(shí)可通過解析關(guān)系式和動(dòng)力學(xué)分析結(jié)論調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)和初始狀態(tài)參數(shù),保證系統(tǒng)保持預(yù)期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

4 數(shù)值模擬

本節(jié)對(duì)任意軌道平面外的直線型繩系衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)形式進(jìn)行了數(shù)值模擬,并與上節(jié)解析關(guān)系式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比和分析,以驗(yàn)證解析關(guān)系式和動(dòng)力學(xué)分析的科學(xué)性.

系統(tǒng)具體參數(shù)如下:母衛(wèi)星和子衛(wèi)星的質(zhì)量分別為mM=5×103kg和mS1(S2)=2×103kg,系繩的無應(yīng)變長(zhǎng)度和剛度分別為L(zhǎng)0=10 km和EA=2×107N,軌道高度為Ho=580 km.

取旋轉(zhuǎn)角β=π/6,通過解析關(guān)系式計(jì)算和模擬仿真兩種方式分別得到系統(tǒng)三維動(dòng)力學(xué)參數(shù)域,如圖6所示,圖中顯示了3種運(yùn)動(dòng)情況,即擺狀振蕩運(yùn)動(dòng)(藍(lán)色區(qū)域)、自旋運(yùn)動(dòng)(紅色區(qū)域)和不規(guī)則運(yùn)動(dòng)(黑色區(qū)域).由于參數(shù)域具有反對(duì)稱性質(zhì),在此僅展示α≤0的部分,從圖中可以看出旋轉(zhuǎn)角、初始平面內(nèi)俯仰角和初始角速度對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為有顯著的影響.

從中各選取兩組截面Γ1={(θ0,ω0/Ω0)|α=π/8}和Γ2={(θ0,ω0/Ω0)|α=-π/4}加以展示,如圖7所示.可以發(fā)現(xiàn),旋轉(zhuǎn)角α增大,系統(tǒng)越容易達(dá)到自旋閾值而發(fā)生自旋.接下來,再?gòu)慕孛姒?中選取3種動(dòng)力學(xué)行為對(duì)應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)P1、P2和P3加以分析,狀態(tài)點(diǎn)見圖7(a).

圖7 Γ動(dòng)力學(xué)參數(shù)域Fig.7 Parameter zone for Γ

(1)P1(π/8,-1)

該初始狀態(tài)參數(shù)下系統(tǒng)進(jìn)行擺狀振蕩運(yùn)動(dòng),所對(duì)應(yīng)的解析式計(jì)算結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果如圖8所示.圖8(a)顯示的是衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過程中俯仰角與當(dāng)前角速度的關(guān)系;圖8(b)為衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過程中俯仰角與系繩張力的關(guān)系,從圖中可以得出該初始狀態(tài)參數(shù)下衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的最大俯仰角θmax=0.899 rad和最小俯仰角θmin=0.490 rad,在θ=θΔ位置處衛(wèi)星達(dá)到最大角速度|ω|max=1.04Ω0且系繩達(dá)到最大張力Tmax=149.5 N;圖8(c)是衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡仿真圖,從中可以判斷系統(tǒng)做擺狀振蕩運(yùn)動(dòng);圖8(d)為衛(wèi)星角速度比ω/Ω0和系繩長(zhǎng)度隨軌道數(shù)變化的仿真計(jì)算結(jié)果,與解析計(jì)算結(jié)果相符合.

圖8 擺狀振蕩運(yùn)動(dòng)Fig.8 Pendulum-like oscillation

(2)P2(π/8,-2)

該初始狀態(tài)參數(shù)下系統(tǒng)進(jìn)行自旋運(yùn)動(dòng),所對(duì)應(yīng)的解析式計(jì)算結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果如圖9所示.圖9(a)顯示的是衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過程中俯仰角與當(dāng)前角速度的關(guān)系;圖9(b)為衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過程中俯仰角與系繩張力的關(guān)系,從圖中可以得出該初始狀態(tài)參數(shù)下在θ=θΔ位置處衛(wèi)星達(dá)到最大角速度|ω|max=2.02Ω0且系繩達(dá)到最大張力Tmax=267.3 N,在θ=θΔ-π/2位置處衛(wèi)星達(dá)到最小角速度|ω|min=1.19Ω0且系繩達(dá)到最小張力Tmin=89.5 N;圖9(c)是衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡仿真圖,從中可以判斷系統(tǒng)做自旋運(yùn)動(dòng);圖9(d)為衛(wèi)星角速度比ω/Ω0和系繩長(zhǎng)度隨軌道數(shù)變化的仿真計(jì)算結(jié)果,同樣與解析計(jì)算結(jié)果相符合.

圖9 自旋運(yùn)動(dòng)Fig.9 Periodic spin motion

(3)P2(π/8,2)

該初始狀態(tài)參數(shù)下子星不規(guī)則運(yùn)動(dòng)后運(yùn)動(dòng)無規(guī)則,所對(duì)應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果如圖10所示.圖10(a)是衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡仿真圖,從中可以判斷系統(tǒng)做無規(guī)則運(yùn)動(dòng);圖10(b)為衛(wèi)星角速度比ω/Ω0和系繩長(zhǎng)度隨軌道數(shù)變化的仿真計(jì)算結(jié)果.

圖10 不規(guī)則運(yùn)動(dòng)Fig.10 Irregular motion

顯然,若取旋轉(zhuǎn)角α=0、β=0,所建動(dòng)力學(xué)模型將退化為常規(guī)軌道平面的繩系編隊(duì)系統(tǒng)模型,對(duì)于上述解析式和分析結(jié)論同樣適用.圖11為常規(guī)軌道平面的繩系編隊(duì)系統(tǒng)仿真結(jié)果圖,其動(dòng)力學(xué)參數(shù)域如圖11(a)所示,從中選取了3種動(dòng)力學(xué)行為對(duì)應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)Q1、Q2、Q3加以展示.對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)仿真軌跡如圖11(b～d)所示.從仿真結(jié)果來看,常規(guī)軌道系統(tǒng)模型可以很好地契合所建動(dòng)力學(xué)模型,體現(xiàn)了所建模型的普適性.

圖11 常規(guī)軌道繩系編隊(duì)系統(tǒng)Fig.11 A linear tethered system in typical planes

5 結(jié) 論

在軌道平面外3顆呈直線排列的繩系編隊(duì)系統(tǒng)中,初始狀態(tài)對(duì)動(dòng)力學(xué)行為有著顯著的影響.通過推導(dǎo)初始狀態(tài)與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的解析關(guān)系及對(duì)運(yùn)動(dòng)形式臨界狀態(tài)的影響,可以得到不同初始狀態(tài)下系統(tǒng)的自旋閾值.可以發(fā)現(xiàn):在初始角速度較低的情況下,系統(tǒng)傾向于擺狀振蕩運(yùn)動(dòng),而初始角速度較大時(shí),系統(tǒng)傾向于自旋運(yùn)動(dòng);此外,運(yùn)動(dòng)平面旋轉(zhuǎn)角越大系統(tǒng)越容易到達(dá)自旋閾值;子星順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程科氏慣性力與向心力方向相同,可能導(dǎo)致系繩松弛不規(guī)則運(yùn)動(dòng)后無規(guī)則運(yùn)動(dòng).因此系統(tǒng)初始時(shí)刻盡量選擇初始時(shí)刻逆時(shí)針高速旋轉(zhuǎn)和大俯仰角以保證系統(tǒng)自旋穩(wěn)定.數(shù)值仿真結(jié)果與解析關(guān)系計(jì)算及分析結(jié)果相符,驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)狀態(tài)解析關(guān)系的正確性.