宋福春,付聿旻

(沈陽(yáng)建筑大學(xué)交通與測(cè)繪工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110168)

斜拉索作為斜拉橋主要承重構(gòu)件,具有質(zhì)量輕、柔度大、阻尼低等特點(diǎn),極易在風(fēng)荷載的作用下產(chǎn)生各種類型的振動(dòng)從而引起結(jié)構(gòu)破壞。為抑制拉索的大幅振動(dòng),在拉索錨固端附近安裝阻尼器是目前廣泛使用的減振方法之一。黏滯阻尼器作為常用的阻尼器之一,以其參數(shù)穩(wěn)定、安裝方便、減振效果好等優(yōu)點(diǎn),適合作為斜拉索永久抑振措施。為了得到黏滯阻尼器抑振性能的數(shù)據(jù),學(xué)者們通過大量數(shù)值理論研究了斜拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程及其求解。

B.M.Pacheno[1],J.A.Main[2],S.Krenk[3-4]等學(xué)者通過不同的計(jì)算方法,得到了黏滯阻尼器的理論數(shù)值,但這些研究都是針對(duì)緊索情況,忽略了斜拉索的初始垂度以及抗彎剛度。部分學(xué)者研究了拉索中垂度和彎曲剛度對(duì)斜拉索阻尼的影響:H.Tabatabai等[5]認(rèn)為對(duì)于大多數(shù)斜拉索而言,拉索垂度的影響不顯著,而拉索抗彎剛度會(huì)對(duì)拉索阻尼比產(chǎn)生顯著影響;S.Krenk等[6]研究了安裝在下垂索末端附近黏滯阻尼器的最佳調(diào)諧和模態(tài)阻尼效果,計(jì)算低階模態(tài)的完整解,得到了相當(dāng)精確的解析近似值,并推廣了張緊拉索的計(jì)算結(jié)果;J.A.Main等[7]使用動(dòng)態(tài)剛度的方法,建立了帶有黏滯阻尼器受拉梁的自由振動(dòng)精確解析解;Y.Fujino等[8]對(duì)考慮抗彎剛度的下垂索進(jìn)行了綜合分析,對(duì)于黏滯阻尼器,影響參數(shù)被明確納入模態(tài)阻尼公式中的修正因子,說明了垂度和抗彎剛度對(duì)斜拉索模態(tài)阻尼的影響;周強(qiáng)等[9]對(duì)不同邊界條件、不同線性黏滯阻尼器參數(shù)下斜拉索抗彎剛度對(duì)系統(tǒng)一階模態(tài)阻尼比的影響進(jìn)行了研究,結(jié)果表明,考慮斜拉索抗彎剛度以及垂度會(huì)影響斜拉索模態(tài)阻尼比以及安裝的黏滯阻尼器最佳阻尼系數(shù)的取值,但斜拉索由于抗彎剛度較小,通常視為完全柔性,對(duì)忽略斜拉索抗彎剛度所帶來影響的研究還不夠深入。

綜上所述,筆者基于斜拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)振動(dòng)規(guī)律,以沈陽(yáng)市昆山西路斜拉橋?yàn)閷?shí)際工程背景,采用有限元分析方法,使用不同單元模擬斜拉索,研究風(fēng)荷載作用情況下,是否考慮抗彎剛度對(duì)斜拉索以及斜拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)的影響。研究表明,抗彎剛度在斜拉索以及斜拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)的動(dòng)力分析中非常重要,不可忽略。

1 斜拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)有限元建模

以沈陽(yáng)市內(nèi)昆山西路斜拉橋?yàn)槔?該橋?yàn)閱嗡崩瓨?橋跨長(zhǎng)度為275 m,橋?qū)?1 m,左跨長(zhǎng)155 m,選取左跨上的三根斜拉索,位置如圖1(b)中標(biāo)線所示,從短到長(zhǎng)依次編號(hào)為1、2、3號(hào)。三根斜拉索各項(xiàng)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 斜拉索編號(hào)與力學(xué)參數(shù)Table 1 The cable number and mechanical parameters

圖1 昆山西路斜拉橋Fig.1 The cable stayed bridge on Kunshan west road

計(jì)算時(shí)使用ANSYS軟件,模型示意圖如圖2所示。

圖2 斜拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)示意圖Fig.2 The schematic diagram of cable viscous damper system

以斜拉索弦線為x軸,梁端錨固點(diǎn)到塔端錨固點(diǎn)方向?yàn)閤軸正方向;以弦線垂線為y軸,斜拉索下垂方向?yàn)閥軸正方向。

斜拉索在每米自重(線密度)M作用下線型為懸鏈線,弦長(zhǎng)為L(zhǎng),抗彎剛度為EI。根據(jù)張緊索預(yù)應(yīng)力H求得斜拉索的實(shí)際預(yù)應(yīng)力T,以及其實(shí)際與水平方向夾角θa。

通過二分法,設(shè)置多次迭代計(jì)算,求得斜拉索索內(nèi)各微段水平力的大小。通過該水平力的值計(jì)算成橋狀態(tài)下斜拉索的曲線方程,建立分段模型。根據(jù)斜拉索無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度以及受荷時(shí)的長(zhǎng)度,得到初應(yīng)變大小,通過設(shè)置斜拉索材料初應(yīng)變的方式施加預(yù)應(yīng)力。模型在梁端錨固點(diǎn)A以及塔端錨固點(diǎn)C均約束所有自由度,每一段分別施加不同的風(fēng)荷載(見圖2中箭頭)。

在ANSYS軟件中,通常使用只承受拉壓的桿單元link180來模擬斜拉索。而梁?jiǎn)卧猙eam189除了承受拉壓以外,還可以承受彎矩。分別使用link180單元和beam189單元建模計(jì)算,將使用link180單元建模的模型稱為桿單元模型,使用beam189單元建模的模型稱為梁?jiǎn)卧Ｐ汀?/p>

黏滯阻尼器使用combin14單元模擬,在與A點(diǎn)距離為xc處的B點(diǎn)建立阻尼器單元,該單元一端與斜拉索相連,另一端固結(jié),與斜拉索弦線方向垂直,阻尼系數(shù)值為c。

采用上述方法建立有限元模型,并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。斜拉索試驗(yàn)的索采用7φ5鋼絞線,數(shù)據(jù)如下:斜拉索長(zhǎng)13.6 m,傾斜角度為57.7°,線密度為1.203 1 kg/m,橫截面積為0.001 237 m2,預(yù)應(yīng)力分別設(shè)置為50 kN和120 kN。鋼索一端固定,另一端用千斤頂張拉。在索上不同位置安裝加速度傳感器采集加速度信號(hào),使用頻率域的峰值法得到固有頻率[10]。

實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與有限元模態(tài)分析計(jì)算值對(duì)比如表2所示。

由表可知,計(jì)算結(jié)果誤差較小,使用該方法計(jì)算斜拉索模態(tài)頻率是可行的。計(jì)算得到表1中1、2、3號(hào)三根斜拉索第一階模態(tài)頻率分別為2.933 Hz、1.314 Hz、0.787 Hz。

2 風(fēng)荷載

2.1 風(fēng)速時(shí)程

根據(jù)大量風(fēng)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可以看出,在風(fēng)的順風(fēng)向時(shí)程曲線中包含兩個(gè)部分:一種是長(zhǎng)周期部分,其周期值常在10 min以上;另一種是短周期部分,其周期通常只有幾秒左右。因此,常把風(fēng)分為平均風(fēng)和脈動(dòng)風(fēng)加以分析:

(1)

平均風(fēng)沿高度方向成指數(shù)函數(shù)變化,使用規(guī)范規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)壓值轉(zhuǎn)換得到。脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程通常使用自回歸方法模擬,該方法模擬速度快計(jì)算量小且具有較高精度[11-12]。依據(jù)自回歸方法編制程序,水平方向脈動(dòng)風(fēng)速使用Simiu譜,豎直方向使用Panofsky譜。

計(jì)算得到各坐標(biāo)點(diǎn)處脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程后,使用快速傅里葉變換(FFT)得到隨機(jī)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程的功率譜,風(fēng)速時(shí)程計(jì)算結(jié)果與功率譜對(duì)比如圖3所示。由圖可知,模擬譜與目標(biāo)譜吻合較好,說明了程序計(jì)算的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程正確。

圖3 水平脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程計(jì)算結(jié)果Fig.3 The time history calculation results of horizontal fluctuating wind speed

2.2 風(fēng)荷載時(shí)程

斜拉索受到風(fēng)荷載作用時(shí),其受力可以分為平均風(fēng)速引起的靜風(fēng)荷載,脈動(dòng)風(fēng)引起的抖振力和流固耦合引起的自激力。拉索直徑很小,自激力量小,拉索的自激力荷載對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)影響不大,故忽略自激力的影響[13]。

單位長(zhǎng)度斜拉索所受的靜風(fēng)荷載:

(2)

(3)

式中:Ls,Ds分別為靜風(fēng)荷載的升力和阻力;ρ為空氣密度;U為任意高度處的平均風(fēng)速;B為斜拉索直徑;CL(γ),CD(γ)分別為風(fēng)攻角等于γ時(shí)的升力系數(shù)和阻力系數(shù),風(fēng)方向?yàn)轫槝蛳驎r(shí)阻力系數(shù)取為1[14]。

根據(jù)Davenport的準(zhǔn)定常假定,單位長(zhǎng)度拉索受到的抖振力[15]:

(4)

(5)

式中:Lb(t)、Db(t)分別為抖振力的升力和阻力;u(t)、w(t)分別為水平方向、豎直方向脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程;CL′(γ)、CD′(γ)分別為升力系數(shù)、阻力系數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。

將上述兩個(gè)部分相加得到單位長(zhǎng)度斜拉索受到的風(fēng)荷載大小,輸入斜拉橋所處位置環(huán)境參數(shù)及各點(diǎn)坐標(biāo)后,可以得到各點(diǎn)單位長(zhǎng)度荷載時(shí)程數(shù)據(jù)(見圖4)。

圖4 單位長(zhǎng)度斜拉索阻力、升力時(shí)程圖Fig.4 The drag force and lift force per unit length of stay cable

3 斜拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)數(shù)值模型

Y.Fujino等[8]研究得到了斜拉索垂度以及抗彎剛度兩個(gè)變量對(duì)斜拉索模態(tài)阻尼比和無(wú)量綱阻尼器參數(shù)的修正系數(shù)。在斜拉索計(jì)算中,n為模態(tài)階數(shù),ξn為斜拉索第n階模態(tài)阻尼比,Rsn為垂度引起的模態(tài)阻尼比修正系數(shù),Rf為考慮抗彎剛度時(shí)模態(tài)阻尼比的修正系數(shù)。在考慮斜拉索垂度的情況下,不考慮抗彎剛度的斜拉索最大模態(tài)阻尼比為

夜?jié)u漸地深了，涼棚里也安靜了下來，親友們都找到了躺處，姍姍離去；最后只剩下三五個(gè)至親零零散散地坐在外面打瞌睡，但沒有看見高木，他大概回麥村去了。黃方永玩累了，像煨灶貓一樣縮在母親的懷里。小家伙渾身是汗，頭發(fā)濕搭搭的。桃花輕輕地抱起他，去了里屋，把他放在自己的小床上。小家伙著床時(shí)嗚咿了幾聲，在桃花的輕拍下，終于甜甜地入睡了。

(6)

考慮抗彎剛度時(shí)斜拉索最大模態(tài)阻尼比為

(7)

在黏滯阻尼器參數(shù)的計(jì)算中,ηn為無(wú)量綱阻尼器參數(shù),ηsn為斜拉索初始垂度對(duì)無(wú)量綱阻尼器參數(shù)的修正系數(shù),ηf為斜拉索抗彎剛度對(duì)無(wú)量綱阻尼器參數(shù)的修正系數(shù)。

(8)

(9)

(10)

由此可以得到式(6)中系統(tǒng)模態(tài)阻尼比最大值在滿足式(11)條件時(shí)取得。

(11)

即不考慮抗彎剛度時(shí),第n階模態(tài)對(duì)應(yīng)的最佳阻尼系數(shù):

(12)

式(7)中系統(tǒng)模態(tài)阻尼比最大值在滿足式(13)條件時(shí)取得。

(13)

(14)

4 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

4.1 抗彎剛度對(duì)斜拉索初始垂度的影響

斜拉索初始垂度包括兩部分:第一部分為建立斜拉素模型時(shí)各點(diǎn)的垂度;第二部分為有限元進(jìn)行靜力計(jì)算的垂度。各關(guān)鍵點(diǎn)這兩個(gè)部分的垂度大小如表3所示。

表3 斜拉索各點(diǎn)初始垂度對(duì)比Table 3 The comparison of sag values at selected points for different stay cables

由表3可知,理論公式的計(jì)算結(jié)果包含了斜拉索上各點(diǎn)初始垂度大小的絕大部分。在有限元靜力計(jì)算中,使用梁?jiǎn)卧?jì)算時(shí),由于抗彎剛度的影響,靜力計(jì)算結(jié)果大于使用桿單元的計(jì)算結(jié)果,且斜拉索越長(zhǎng),使用不同單元計(jì)算得到的差值就越大。

4.2 抗彎剛度對(duì)斜拉索風(fēng)致振動(dòng)的影響

求解器選為瞬態(tài)分析,通過載荷步的方式施加風(fēng)荷載,由于斜拉索存在較大的幾何非線性,初始狀態(tài)需要通過幾個(gè)荷載步逐步添加。分別使用桿單元模型以及梁?jiǎn)卧Ｐ陀?jì)算斜拉索在無(wú)阻尼器情況下受到風(fēng)荷載作用時(shí)的振動(dòng)情況。對(duì)于同一斜拉索,使用不同單元模型計(jì)算時(shí)采用的風(fēng)荷載時(shí)程相同,其中2號(hào)斜拉索中點(diǎn)處的位移時(shí)程如圖5所示。

由圖可知,梁?jiǎn)卧Ｐ偷奈灰茣r(shí)程曲線最大值在5 mm左右,振幅在4.5 mm左右;桿單元模型的位移時(shí)程曲線最大值在10 mm左右,振幅在9 mm左右。使用不同單元模型計(jì)算得到的中點(diǎn)處位移時(shí)程有較大不同,位移時(shí)程在考慮抗彎剛度后降低為不考慮抗彎剛度時(shí)的1/2左右。

4.3 抗彎剛度對(duì)斜拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)風(fēng)致振動(dòng)的影響

采用式(12)和式(14)計(jì)算三根斜拉索上黏滯阻尼器在一階模態(tài),即n=1時(shí)對(duì)應(yīng)的最佳阻尼系數(shù)值,計(jì)算中阻尼器的安裝位置比xc/L均取為2%,一階模態(tài)頻率按表2中的計(jì)算結(jié)果取值,結(jié)果如表4所示。分別用梁?jiǎn)卧Ｐ秃蜅U單元模型依次計(jì)算阻尼系數(shù)為copt1和copt2的兩個(gè)不同參數(shù)黏滯阻尼器的抑振效果。對(duì)于同一根斜拉索,在使用不同的單元、輸入不同的阻尼器參數(shù)時(shí),使用的風(fēng)荷載均相同。

表4 不同斜拉索最佳阻尼系數(shù)值Table 4 The optimum damping coefficients of different stay cables

使用桿單元建模進(jìn)行計(jì)算時(shí),斜拉索上的各點(diǎn)的位移均方根(RMS)如表5所示。1、2、3號(hào)斜拉索安裝阻尼系數(shù)為copt1的阻尼器后,斜拉索上的1/4、1/2、3/4三點(diǎn)的RMS值均降至最低,明顯優(yōu)于安裝阻尼系數(shù)為copt2的黏滯阻尼器的情況。

表5 桿單元模擬斜拉索各點(diǎn)RMS值對(duì)比Table 5 The comparison of RMS values at selected points in cable element simulation for stay cable

使用梁?jiǎn)卧＿M(jìn)行計(jì)算時(shí),結(jié)果如表6所示。1、2、3號(hào)斜拉索在安裝阻尼系數(shù)為copt2的阻尼器后,斜拉索上的1/4、1/2、3/4三點(diǎn)RMS值均降至最低。

由文獻(xiàn)[16]研究可知,隨著阻尼系數(shù)的增加,阻尼器抑振能力先增強(qiáng)后減弱。在使用桿單元建模進(jìn)行計(jì)算時(shí),黏滯阻尼器最佳阻尼系數(shù)值先于使用梁?jiǎn)卧＿M(jìn)行計(jì)算時(shí)出現(xiàn),與理論公式的規(guī)律吻合。在1、2、3號(hào)斜拉索中,其對(duì)應(yīng)的copt2值都遠(yuǎn)大于copt1值,特別是在較短的1號(hào)索中,copt2為copt1的6.15倍。如果使用桿單元建模進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果會(huì)指向一個(gè)較小的最優(yōu)阻尼系數(shù)區(qū)間,導(dǎo)致出現(xiàn)較大的誤差。而使用梁?jiǎn)卧Ｓ?jì)算,則會(huì)指向更準(zhǔn)確地阻尼系數(shù)區(qū)間,從而更精確的模擬風(fēng)荷載作用下應(yīng)該使用什么參數(shù)的阻尼器,無(wú)需在計(jì)算基礎(chǔ)上較安全地選用更大阻尼系數(shù)的黏滯阻尼器。

將位移時(shí)程曲線轉(zhuǎn)換為頻率域中的位移功率譜密度(PSD)曲線,分析斜拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)在受到風(fēng)荷載時(shí)的峰值響應(yīng)大小。對(duì)比使用梁?jiǎn)卧Ｓ?jì)算的3號(hào)斜拉索上中點(diǎn)以及阻尼器安裝點(diǎn)C的響應(yīng)譜大小如圖6、7所示。

圖6 3號(hào)斜拉索阻尼器安裝點(diǎn)功率譜密度對(duì)比Fig.6 The comparison of damper installation position power spectrum density for No.3 stay cable

通常將0～3 Hz內(nèi)的振動(dòng)視為低頻振動(dòng),3 Hz以上的振動(dòng)視為高頻振動(dòng)[18]。在之前的計(jì)算中都只考慮了斜拉索的一階模態(tài)對(duì)應(yīng)的最佳阻尼系數(shù)值,而斜拉索在風(fēng)荷載作用下表現(xiàn)為多模態(tài)結(jié)合的振動(dòng)。由式(14)可知,對(duì)于斜拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng),計(jì)算中考慮的模態(tài)階數(shù)越高,對(duì)應(yīng)的最佳阻尼系數(shù)值越小,即copt1可以視為考慮抗彎剛度情況下斜拉索高階模態(tài)對(duì)應(yīng)的最佳阻尼系數(shù)值。圖6中,阻尼系數(shù)為copt1時(shí),前三個(gè)振動(dòng)峰值較阻尼系數(shù)為copt2時(shí)高,而3.582 Hz之后的振動(dòng)峰值較阻尼系數(shù)為copt2時(shí)低。對(duì)于圖7所示的斜拉索中點(diǎn)處的功率譜密度,阻尼系數(shù)為copt2時(shí),只有在0.508 Hz處的最大峰值較阻尼系數(shù)為copt1時(shí)低,其余峰值都不同程度的變大。考慮高階模態(tài)設(shè)計(jì)的黏滯阻尼器對(duì)于斜拉索的高頻振動(dòng)抑制效果有提升,但不能有效地抑制最大的低頻振動(dòng),由于1、2、3號(hào)斜拉索中的高頻振動(dòng)峰值較小,針對(duì)斜拉索1階模態(tài)設(shè)計(jì)黏滯阻尼器就能較好地抑制斜拉索的風(fēng)致振動(dòng)。

圖7 3號(hào)斜拉索中點(diǎn)功率譜密度對(duì)比Fig.7 The comparison of mid point power spectrum density for No.3 stay cable

5 結(jié) 論

(1)對(duì)于長(zhǎng)度在36～146 m間的1、2、3號(hào)斜拉索,考慮抗彎剛度時(shí),有限元靜力計(jì)算得到的初始垂度值更大,風(fēng)致振動(dòng)中的位移最大值和振幅大小為不考慮抗彎剛度時(shí)的2倍左右。

(2)對(duì)于安裝于斜拉索上黏滯阻尼器,1、2、3號(hào)斜拉索中其對(duì)應(yīng)的copt2分別是copt1的6.15倍、2.39倍和1.75倍;如果使用桿單元建模進(jìn)行計(jì)算,會(huì)指示錯(cuò)誤的阻尼系數(shù)區(qū)間,需使用能考慮抗彎剛度的梁?jiǎn)卧＿M(jìn)行斜拉索或者斜拉索-黏滯阻尼器系統(tǒng)的風(fēng)致振動(dòng)計(jì)算。

(3)設(shè)計(jì)黏滯阻尼器阻尼系數(shù)時(shí),考慮高階模態(tài)設(shè)計(jì)黏滯阻尼器能降低3 Hz以上的高頻振動(dòng),但低于3 Hz的振動(dòng)會(huì)變大,對(duì)斜拉索整體抑振不利;考慮第一階模態(tài)設(shè)計(jì)黏滯阻尼器則能在風(fēng)荷載作用時(shí)較好地抑制斜拉索振動(dòng)。